第4章电路定理.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.1 叠加定理,4.2 替代定理,4.3 戴维南定理和诺顿定理,4.4 特勒根定理,4.5 互易定理,第4章,电路定理,电路理论,重点:,1.熟练掌握叠加定理、戴维南定理和诺顿定理；,3.了解特勒根定理、互易定理。,2.掌握替代定理；,电路理论,4.1叠加定理(,Superposition Theorem,),图示电路，求,u,ab,，,i,3,u,S1,R,1,R,3,+,i,S,i,3,b,a,解：,原电路=,u,S1,R,1,R,3,+,i,3,_,b,a,+,R,1,R,3,i,3,_,b,a,+,+,电路理论,一、叠加定理,:,在线性电阻电路中，任一支路电流(或支路电压)都是电路中各个,独立电源单独作用,时，在该支路产生的电流(或电压)的叠加,。,1、内容,电路理论,2、使用叠加定理应注意以下几点:,1）叠加定理只适用于线性电路。,2）一个电源作用，其余电源置零,电压源为零,用短路替代,电流源为零,用开路替代,3）只有电压、电流能叠加，功率不能叠加(因为功率为电压和电流的乘积)。,4）叠加时要注意各分量的方向（代数和）。,5）含受控源(,线性,)电路亦可用叠加定理,单独受控源对电路不起激励,其大小和方向随控制量的变化而改变,电路理论,例1.,求图中电压,u,。,解:,(1)10,V,电压源单独作用，4,A,电流源开路,u,=4V,(2)4,A,电流源单独作用，10,V,电压源短路,u,=,-,4,2.4=,-,9.6V,叠加,：,u,=,u,+,u,=4+(,-,9.6)=,-,5.6V,+,10,V,6,+,4,u,6,+,10,V,4,A,+,4,u,6,4,A,+,4,u,电路理论,例2.,求电压,U,s,。,(1)10,V,电压源单独作用：,(2)4,A,电流源单独作用：,解:,U,s,=,-,10,I,1,+4,I,1,=,-,10,1+4,1=,-,6V,U,s,=,-,10,I,1,+2.4,4,=,-,10,(,-,1.6)+9.6=25.6V,叠加：,U,s,=,U,s,+,U,s,=,-,6+25.6=19.6V,+,10,V,6,I,1,+,U,s,+,10,I,1,4,10,V,+,6,I,1,4,A,+,U,s,+,10,I,1,4,6,I,1,4,A,+,U,s,+,10,I,1,4,电路理论,线性电路中,，当所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的,K,倍数，则电路中响应(电压或电流)也将增大(或减小)同样的,K,倍数（,K,为实常数）。,当激励只有一个时，则响应与激励成正比。,二、齐性定理,（,homogeneity property,):,e(t),r(t),ke(t,),kr(t,),对于多激励,e,1,(t),r(t),e,2,(t),ke,1,(t),kr(t,),ke,2,(t),电路理论,5,A,例3.,解:,采用倒推法：设,i,=1A,，,推出此时,u,s,=,34V,。,则,用齐性定理分析梯形电路特别有效。,求电流,i,。,已知,：,R,L,=2,，,R,1,=1,，,R,2,=1,，,u,s,=51V,。,+,2,V,2,A,+,3,V,+,8,V,+,21,V,+,u,s,=34V,3,A,8,A,21,A,13,A,R,1,R,1,R,1,R,2,R,2,R,L,+,u,s,i,R,2,i,=,1A,本例计算是先从梯形电路最远离电源的一段开始，倒退至激励处。这种计算方法称为,“,倒退法,”,。,电路理论,A,I,3,U,s,例4,.,如图电路，,A,为有源网络，当,U,S,=,4V,时，,I,3,=,4A,；,当,U,S,=6,V,时，,I,3,=,5A,；,求当,U,S,=2V,时，,I,3,为多少？,U,S,=2V,时，,I,3,=3A,4=4,G+I,3,5=6,G,+,I,3,解得,G,=,0,.,5S,，,I,3,=,2A,即,I,3,=0.5,U,S,+2,解：设,有源网络单独作用下产生的分量为,I,3,I,3,=,G,U,S,+,I,3,电路理论,4.2,替代定理,(,Substitution Theorem,),对于给定的任意一个电路，其中第,k,条支路电压,u,k,和电流,i,k,已知，那么这条支路就可以用一个具有电压等于,u,k,的独立电压源，或者用一个电流等于,i,k,的独立电流源来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。,A,+,u,k,=,i,k,A,=,A,i,k,+,u,k,支,路,k,定理内容,:,替代定理所提到的第,K,条支路可以是电阻、电压源和电阻的串联组合或电流源和电阻的并联组合。,电路理论,证明：,A,R,U,I,A,R,I,U=RI,U=RI,a,b,c,用电压源替代,A,I,U,a、b,为自然等位点，短路后不影响其余电路的数值。,电路理论,用电流源替代,证明：,电流为零的支路断开后不影响其余支路的电压和电流。,A,R,U,I,A,R,U,I,I,I,支路电流为零,A,R,I,I,I,电路理论,注意,：,1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。,2.第,K,条支路中有受控源时，则该支路不能被替代。,受控源的电压和电流随控制量的变化而变化，不能用恒定的电压源、电流源替代。,3.,第,K,条支路中有受控源的控制量时，而替代后该电压或电流不复存在，则该支路同样不能被替代。,电路理论,例,1.,试求图示电路在,I,=2A,时，20,V,电压源发出的功率。,解：用2,A,电流源替代上图电路中的电阻,R,x,和单口网 络,N,2,，,得到右图所示电路。,电路理论,求得,20,V,电压源吸收的功率为,列出网孔方程,电路理论,80W,4),(,20,=,-,=,P,解：,用替代定理,把,R,x,支路用电流源替代。,U,=,U,+,U,=(0.1,-,0.075),I,=0.025,I,+,0.5,0.5,1,+,U,0.5,0.5,0.5,1,+,U,I,0.5,例,2.,若要使,试求,R,x,。,0.5,0.5,1,+,U,I,0.5,+,0.5,0.5,+,10,V,3,1,R,x,I,x,U,I,0.5,+,电路理论,例3,.,图(,a),电路中,g,=2S。,试求电流,I,。,注：此处受控电流源的控制量数值已经确定，故可用独立电流源替代。,用电流为,gU,=12A,的电流源替代受控电流源，得到图(,b),电路，该电路不含受控电源，可以用叠加定理求得电流为,解：先用分压公式求受控源控制变量,U,电路理论,4,.,3,戴维南定理和诺顿定理,(,Thevenin,-,Norton Theorem,),工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的情况。这时，可以将除我们需保留的支路外的其余部分的电路(通常为二端网络或称一端口网络)，等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路)，可大大方便我们的分析和计算。戴维南定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。,R,3,R,1,R,5,R,4,R,2,i,R,x,a,b,+,u,s,电路理论,概述：二端（单口、一端口）网络及其等效电路,(1),无源二端网络（无独立源）,N,o,a,b,i,i,(2)有源二端网络,a,b,R,i,N,S,a,b,i,i,a,b,R,eq,U,oc,+,-,a,b,R,eq,I,sc,诺顿定理,戴维南定理,电路理论,一,.,戴维宁定理,:,1）对外电路来说,，有源二端网络,可以等效成电压源和电阻的串联组合。,2）电压源的电压=,有源二端网络,的开路电压,U,oc,，,电压源内,阻=,有源二端网络内所有,独立电源置零后的输入电阻,R,eq,。,N,S,a,b,i,i,a,b,R,eq,U,oc,+,-,N,S,a,b,a,b,N,o,+,u,oc,独立电源置零,R,eq,=,R,ab,电路理论,5,+,10,V,4,A,10,I,a,b,例：求,I,a,b,R,eq,U,oc,+,-,I,10,解：,求,U,oc,5,+,10,V,4,A,a,b,U,oc,=,U,ab,开,=4,51030,V,求,R,eq,R,eq,5,oc,eq,u,30,I=2A,R +10 15,用结点电压法验证,电路理论,证明:,(,对图,a,),利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时,u,和,i,值不变。计算,u,值,。,=,+,根据叠加定理，可得：,电流源,i,为零,网络,N,S,中独立源全部置零,i,(,a,),a,b,N,S,+,u,N,(,b,),i,U,oc,+,u,N,a,b,+,R,eq,a,b,N,S,+,u,u,=,U,oc,(,外电路开路时,a,、,b,间开路电压,),u,=,R,eq,i,则,u,=,u,+,u,=,U,oc,-,R,eq,i,此关系式恰与图(,b),电路相同,。,i,a,b,N,0,+,u,R,eq,a,b,N,S,i,+,u,电路理论,解题步骤：,(2),求,U,oc,，,等于将外电路断开时的开路电压,；,(3),求,R,eq,，,一端口网络内部独立源全部置零(电压源短路,电流源开路)后的等效电阻。,等效电阻的计算方法：,当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联等方法计算；,1,2,加压求流法或加流求压法,开短路法,3,2,3,方法更有一般性(含受控源）。,(1),画戴维宁等效电路。,(4),计算所求值。,电路理论,下一页,返回,上一页,将有源二端网络,N,S,内所有独立电源均变为零,，化为无源一端口网络,N,0,后，外加,U,，,求端口处的电流,I,（,外加电流,I,，,求端口处的电压,U,），,则输入电阻,（,等效电阻,）,为,：,（2）,开短路法,（,开路电压,、短路电流法)：,分别求出有源一端口网络的开路电压,U,o,c,和短路电流,I,sc,，,则有源一端口网络,等效电阻,为,：,（1）,加压求流法或加流求压法（无源）,：,N,0,U,I,R,eq,a,b,b,N,S,a,I,SC,注意两种计算式中的电流的正方向不同。,等效电阻,除了串并联公式计算外，还有以下两种计算方法：,+,-,I,U,R,eq,章目录,+,-,I,sc,U,oc,R,eq,+,-,电路理论,例1.,计算,R,x,分别为,1.2,、,5.2,时的,I,。,I,R,x,a,b,+,10,V,4,6,6,4,解：,(1)戴维南等效电路,：,I,a,b,U,oc,+,R,x,R,eq,电路理论,(2)求开路电压,U,oc,=,U,1,+,U,2,=,-,10,4/(4+6)+10,6/(4+6),=,-,4+6=2V,a,b,+,10,V,4,6,6,+,U,2,4,+,U,1,+,-,U,oc,(3)求等效电阻,R,i,R,i,=4/6+6/4=4.8,(4),R,x,=1.2,时，,I,=,U,oc,/(,R,i,+,R,x,)=2/6=0.333A,R,x,=5.2,时，,I,=,U,oc,/(,R,i,+,R,x,)=2/10=0.2A,R,i,a,b,4,6,6,4,R,i,电路理论,含受控源电路戴维南定理的应用,求,U,0,。,3,3,6,I,+,9,V,+,U,0,a,b,+,6,I,例2,.,a,b,U,oc,+,R,eq,3,U,0,-,+,解：,(2),求开路电压,U,oc,U,oc,=6,I,+3,I,I,=9/9=1A,U,oc,=9V,3,6,I,+,9,V,+,U,oc,a,b,+,6,I,(1),等效电路,电路理论,(3),求等效电阻,R,i,方法,1,：,加压求流法,U,=6,I,+3,I,=9,I,I,=,I,a,6/(6+3)=(2/3),I,a,U,=9,(2/3),I,a,=6,I,a,R,eq,=,U,/,I,a,=6,3,6,I,+,U,a,b,+,6,I,I,a,方法,2,：,开短路法,(,U,oc,=9V),6,I,1,+3,I,=9,I,=,-,6,I,/3=,-,2,I,I,=0,I,sc,=,I,1,9/6=1.5,A,R,eq,=,U,oc,/,I,sc,=9/1.5=6,3,6,I,+,9,V,I,sc,a,b,+,6,I,I,1,电路理论,(4)由等效电路,a,b,U,oc,+,R,eq,3,U,0,-,+,电路理论,例3.,解：,(2),a,、,b,开路,，,I,=0,，,U,oc,=10V,(3),求,R,eq,：,加压求流法,U,0,=(,I,0,-,0.5,I,0,),10,3,+,I,0,10,3,=1500,I,0,R,eq,=,U,0,/,I,0,=1.5k,a,b,U,oc,+,+,U,R,0.5k,R,eq,用戴维南定理求,U,.,+,10,V,1,k,1,k,0.5,I,a,b,R,0.5k,+,U,I,1,k,1,k,0.5,I,a,b,+,U,0,I,I,0,(1)等效电路,电路理论,U,=,U,oc,500/(1500+500)=2.5,V,I,sc,=,-,I,，,(,I,-,0.5,I,),10,3,+,I,10,3,+10=0,1500,I,=,-,10,I,=,-,1/150 A,即,I,sc,=1/150 A,R,eq,=,U,oc,/,I,sc,=10,150=1500,(4)由等效电路：,A.,利用开短路法求,R,eq,：,R,eq,=,U,oc,/,I,sc,U,oc,=10,V,（,已求,出,）,求短路电流,I,sc,(,将,a,、,b,短路,),：,方法二：,+,10,V,1,k,1,k,0.5,I,a,b,I,I,sc,电路理论,B.,加流求压法求,R,i,I,=,I,0,U,0,=0.5,I,0,10,3,+,I,0,10,3,=1500,I,0,R,eq,=,U,0,/,I,0,=1500,1,k,1,k,0.5,I,a,b,+,U,0,I,I,0,解毕！,电路理论,最大功率传输定理：,任何一个复杂的含源一端口网络都可以用一个戴维宁等效电路来替代。,R,eq,U,OC,R,L,I,L,U,L,当,R,L,R,eq,时，负载,R,L,才能获得最大功率,称为最大功率传输定理。,习惯上，把这种工作状态称为负载与电源匹配。,问题：,在小功率电路中（电子线路），常需要负载和电源匹配，而在大功率的动力系统中，是否需要匹配，为什么？,1）匹配时，电源效率为50，内阻损耗负载损耗，效率低。,2）大功率系统，电源电压高，内阻小，若匹配，则回路电流,过大，易损坏电气设备。,电路理论,例：,电路如下图所示，已知,U,S1,24V,，,U,S2,5V,，,电流源,I,S,1A,，,R,1,3,，,R,2,4,，,R,3,6,，,计算：,（,1,）,当负载电阻,R,L,12,时，,R,L,中的电流和功率。,（,2,）,设,R,L,可调，则,R,L,为何值时才能获得最大功率，其值为多少？,R,L,U,S1,R,1,I,S,R,3,U,S2,R,2,R,eq,R,L,I,L,U,OC,解 等效电路,电路理论,U,S1,R,1,I,S,R,3,U,S2,R,2,a,b,U,oc,求,U,OC,求等效电阻,R,eq,由等效电路,计算,R,L,及,P,Lmax,当,R,L,R,eq,6,时，负载可获得最大功率。最大功率为：,电路理论,二、诺顿定理：,N,S,a,b,a,b,G,eq,(,R,eq,),I,sc,1）对外电路来说,，有源二端网络,可以等效成电流源和电阻的并联组合。,2）电流源的电流=,有源二端网络,的短路电流,I,SC,，,电流源内阻同,戴维宁等效电路内阻,（即：有源二端网络内所有独立电源置零后的输入电阻,R,eq,）,。,a,b,N,o,独立电源置零,N,S,a,b,I,sc,R,eq,=,R,ab,电路理论,4,I,R,eq,I,s,例.,求电流,I,。,12,V,2,10,+,24,V,4,I,+,(2),求,I,sc,I,1,=12/2=6A,I,2,=(24+12)/10=3.6A,I,sc,=,-,I,1,-,I,2,=,-,3.6,-,6=,-,9.6A,解：,2,10,+,24,V,I,sc,+,I,1,I,2,12,V,(1),等效电路,电路理论,(3),求,R,eq,：,串并联,R,eq,=10,2/(10+2)=1.67,(4),由等效电路,:,I,=,-,I,sc,1.67/(4+1.67),=9.6,1.67/5.67,=2.83A,R,eq,2,10,a,b,4,I,1.67,-,9.6,A,电路理论,例:,电路如图(,a),所示，其中,g,=3S。,试求,R,x,为何值时电流,I,=2A，,此时电压,U,为何值?,电路理论,解：为分析方便，可将虚线所示的两个单口网络,N,1,和,N,2,分别用戴维南等效电路代替，到图(,b),电路。单口,N,1,的开路电压,U,oc1,可从图(,c),电路中求得，列出,KVL,方程,解得,电路理论,为求,R,o1,，,将20,V,电压源用短路代替，得到图(,d),电路，再用外加电流源,I,计算电压,U,的方法求得,R,o1,。,列出,KVL,方程,解得,电路理论,再由图(,e),电路求出单口,N,2,的开路电压,U,oc2,和输出电阻,R,o2,电路理论,最后从图(,b),电路求得电流,I,的表达式为,电路理论,令,I,=2A,，,求得,R,x,=3,。,此时电压,U,为,或,电路理论,4.4,特勒根定理,(,Tellegens,Theorem,),特勒根定理是电路理论中对集总电路普遍适用的基本定理，在这个意义上，它与基尔霍夫定理等价。特勒根定理有两种形式。,对于一个具有,n,个结点和,b,条支路的电路，假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并令,（,i,1,，,i,2,，,i,b,）、（,u,1,，,u,2,，,u,b,）,分别为,b,条电路的电流和电压，则对任何时间,t,，,有,1.特勒根定理1：,电路理论,此定理可通过右图所示电路的图证明如下：令,u,n,1,、,u,n,2,、,u,n,3,分别表示结点 的结点电压，按,KCL,可得出各支路电压与结点电压的关系为,3,1,2,0,1,2,3,5,6,4,u,1,=,u,n,1,；,u,2,=,u,n,1,-,u,n,2,；,u,3,=,u,n,2,-,u,n,3,；,u,4,=-,u,n,1,+,u,n,3,；,u,5,=,u,n,2,；,u,6,=,u,n,3,对结点,、,、应用,KCL,，,得,i,1,+,i,2,i,4,=0,；,i,2,+,i,3,+,i,5,=0,；,i,3,+,i,4,+,i,6,=0,而,把支路电压用结点电压表示后，代入上式并经整理可得,电路理论,鐢佃矾鐞嗚,上式中各括号内的电流分别为结点、处电流的代数和，根据各结点的,KCL,方程，有：,上述证明可推广至任何具有,n,个结点和,b,条支路的电路，有：,或,注意：证明过程中，只根据电路的拓扑性质应用了基尔霍夫定律，并不涉及电路内容，,因此特勒根定理对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用。特勒根,定理实质上是,功率守恒的数学表达式,，它表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。,电路理论,2.具有相同拓扑结构（特征）的电路,两个电路，支路数和结点数都相同，而且对应支路与结点的联接关系也相同。,N,N,R,5,R,4,R,1,R,3,R,2,R,6,+,u,s1,1,2,3,4,R,5,R,4,R,1,R,3,R,6,u,s6,i,s2,+,1,2,4,3,故两个电路具有相同拓扑结构，即它们的拓扑图（图）完全相同。,电路理论,左图为上述两个电路的拓扑图。由于上述两个电路的支路与结点联接关系相同，因此它们的图也相同。,假设两个电路中对应支路电压方向相同，支路电流均取和支路电压相同的参考方向。,3.特勒根定理2,4,6,5,1,2,3,4,2,3,1,如果有两个具有,n,个结点和,b,条支路的电路，它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成。假设各支路电流和电压都取关联参考方向，并分别用,（,i,1,，,i,2,，,，,i,b,）、（,u,1,，,u,2,，,u,b,）,和,、,表示两个电路中,b,条支路,的电流和电压，则在任何时间,t,，,有,电路理论,证明：,设两个电路的图如下图所示，取结点4为参考结点。,4,6,5,1,2,3,4,2,3,1,u,1,u,n,1,；,u,2,u,n,1,u,n,3,；,u,3,u,n,3,；,u,4,u,n,1,u,n,2,；,u,5,u,n,2,；,u,6,u,n,2,u,n,3,电路1,电路2,对电路1，可列写,KVL,方程,有,:,对电路2，可列写,KCL,方程，有,电路理论,而,把电路1的,KVL,方程代入上式，整理可得,把电路2的,KCL,方程代入上式，可知：,此上述证明可推广至任何具有,n,个结点和,b,条支路的电路，即有：,同理可证明定理的第二部分，即有：,电路理论,4.功率守恒定理：,在任一瞬间，任一电路中的所有支路所吸收的瞬时功率的代数和为零,，即,将特勒根定理1用于同一电路中各支路电流、电压即可证得上述关系。,值的注意的是,，,特勒根定理2不能用功率守恒解释,，,它仅仅是对两个具有相同拓扑的电路中,，,一个电路的支路电压和另一个支路电流,，,或者可以是同一电路在不同时刻的相应支路电压和电流必须遵守的数学关系,。,由于它仍具有功率之和的形式，所以有时又称为,“,拟功率定理,”。,注意：,特勒根定理适用于一切,集总参数,电路。只要各支路,u,，,i,满足,KVL,、,KCL,即可。特勒根定理与,KVL,、,KCL,三者中取其两个即可。,电路理论,例1,.,(1),R,1,=,R,2,=2,U,s,=8V,时,I,1,=2A,U,2,=2V,(2),R,1,=1.4,R,2,=0.8,U,s,=9V,时,I,1,=3A,求,U,2,。,解：,利用特勒根定理,2,由已知条件(1)可得：,U,1,=4V,I,1,=2A,U,2,=2V,I,2,=,U,2,/,R,2,=1A,无源,电阻,网络,N,0,+,U,1,+,U,s,R,1,I,1,I,2,+,U,2,R,2,可知,：,电路理论,例2.,已知：,U,1,=10V,I,1,=5A,U,2,=0,I,2,=1A,；,解：,P,+,U,1,+,U,2,I,2,I,1,P,+,+,2,电路理论,4.5,互易定理,(,Reciprocity Theorem,),第一种形式:,电压源激励，电流响应。,给定任一仅由,线性电阻,构成的网络,N,0,(,见下图,),，,设支路,j,中有唯一电压源,u,j,，,其在支路,k,中产生的电流为,i,kj,(,图,a,),；,若支路,k,中有唯一电压源,u,k,，,其在支路,j,中产生的电流为,i,jk,(,图,b,),。,c,d,线性电阻网络,N,0,i,jk,+,u,k,a,b,(,b,),i,kj,线性电阻网络,N,0,+,u,j,a,b,c,d,(,a,),电路理论,当,u,k,=,u,j,时,，,i,kj,=,i,jk,。,则两个支路中电压电流有如下关系：,证明:,用特勒根定理。,由特勒根定理2：,(,设,a-b,支路为支路1，,c-d,支路为支路2，其余支路为,3,b,),。,图,(,a,),与图,(,b,),有相同拓扑特征，图,(,a,),中用,u,k,、,i,k,表示支路电压、电流，图,(,b,),中用,表示支路电压、电流,。,电路理论,即：,两式相减，得,电路理论,将图(,a,),与图(,b,),中支路1，2的条件代入，即,即：,证毕！,当,u,k,=,u,j,时,，,i,kj,=,i,jk,互易定理的第一种形式,，,即对一个仅含线性电阻的电路,，,在单一电压源激励而响应为电流时,，,当激励和响应互换位置时,，,将不改变同一激励所产生的响应,。,电路理论,第二种形式:,电流源激励，电压响应。,在任一线性电阻网络的一对节点,j,，,j,间接入唯一电流源,i,j,，,它在另一对节点,k,，,k,之间将产生电压,u,kj,(,见图,a,),；,若改在节点,k,，,k,间接入唯一电流源,i,k,，,它在节点,j,，,j,之间将产生电压,u,jk,(,图,b,),，,则上述电压、电流有如下关系：,当,i,k,=,j,j,时，,u,kj,=,u,jk,。,u,kj,i,j,+,j,j,k,k,(,a,),i,k,+,u,jk,j,j,k,k,(,b,),电路理论,证明：,设,j,-,j,支路为支路1，,k,-,k,支路为支路2,其余支路为,3,b,),。,图,(,a,),与图,(,b,),有相同拓扑特征，图,(,a,),中用,u,k,、,i,k,表示支路电压、电流，图,(,b,),中用,表示支路电压、电流,。,根据式：,将图,(,a,),与图,(,b,),中支路1，2的条件代入，即,即,或,当,i,k,=,j,j,时，,u,kj,=,u,jk,证毕！,电路理论,鐢佃矾鐞嗚,给定任一仅由线性电阻构成的网络,N,0,(,见下图,),，,设支路,j,有唯一的电流源,i,j,，,其在支路,k,中产生的电流为,i,kj,(,图,a,),；,若支路,k,中有唯一的电压源,u,k,，,其在支路,j,中产生的电流为,u,jk,(,图,b,),。,第三种形式:,电流源激励、电流响应与电压源激励、电压响应的互易形式。,当,u,k,=,i,j,（,在数值上,）,时,，,则有,u,kj,=,i,jk,（,在数值上,）。,c,a,(,b,),d,线性电阻网络,N,0,u,jk,+,u,k,b,i,kj,线性电阻网络,N,0,i,j,a,b,c,d,(,a,),i,1,例：,2,1,2,4,+,8,V,2,I,a,b,c,d,求电流,I,。,解：,利用互易定理,I,1,=,I,2/(4+2)=2/3A,I,2,=,I,2/(1+2)=4/3A,I,=,I,1,-,I,2,=,-,2/3A,2,1,2,4,+,8,V,2,I,a,b,c,d,I,1,I,2,I,电路理论,