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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,随机事件及概率随机变量及分布,样本空间,随机试验,E,所有可能的结果,样本空间的元素,即,E,的直接结果,称为,随机事件,的子集,记为,A,B,它是满足某些条件的样本点所组成的集合,.,组成的集合称为,样本空间,记为,样本点,(,or,基本事件,),常记为，,=,吸收律,幂等律,差化积,重余律,运算律,对应,事件,运算,集合,运算,交换律,结合律,分配律,反演律,运算顺序,：,逆交并差，括号优先,B,C,A,B,A,C,A,分配律,图 示,A,例,3,化简事件,解,原式,例3,例,4,利用事件关系和运算表达多,个事件的关系,A,B,C,都不发生,A,B,C,不都发生,例,4,概率的,统计定义,概率的定义,在相同条件下重复进行的,n,次,试验中,事件,A,发生的频率稳定地在某一,常数,p,附近摆动,且随,n,越大摆动幅度越,小,则称,p,为事件,A,的概率,记作,P,(,A,).,对本定义的评价,优点：直观,易懂,缺点：粗糙,模糊,不便,使用,设,是,随机试验,E,的,样本空间，若能找到,一个法则，使得对于,E,的每一事件,A,赋于一个,实数，记为,P,(,A,),称之为事件,A,的概率，这种,赋值满足下面的三条公理：,非负性：,归一性：,可列可加性：,其中 为两两互斥事件，,概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫,哥洛夫,(,A.H.,)1933,年建立,.,概率的,公理化定义,公理化定义,概率的性质,有限可加性,:,设,两两互斥,若,对任意两个事件,A,B,有,B,A,B=AB+,(,B A,),P,(,B,),=P,(,AB,),+,P,(,B AB,),B-AB,AB,例,4,小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答,出甲、乙二类问题的概率分别为,0.7,和,0.2,两类问题都能答出的概率为,0.1.,求小王,解,事件,A,B,分别表示“能答出甲,乙类问题”,(1),(1),答出甲类而答不出乙类问题的概率,(2),至少有一类问题能答出的概率,(3),两类问题都答不出的概率,(2),(3),例,1,设 随机试验,E,具有下列特点：,基本事件的个数有限,每个基本事件等可能性发生,则称,E,为,古典,(,等可能,),概型,古典概型中概率的计算：,记,则,古典（等可能）概型,概率的,古典定义,古典概型,设有,k,个不同的球,每个,球等可能地落入,N,个盒子中（）,设,每个盒子容球数无限,求下列事件的概率,:,（,1,）某指定的,k,个盒子中各有一球；,（,4,）恰有,k,个盒子中各有一球；,（,3,）某指定的一个盒子没有球,；,（,2,）某指定的一个盒子恰有,m,个球,(),（,5,）至少有两个球在同一盒子中；,（,6,）每个盒子至多有一个球,.,例,4,（分房模型）,例,4,解,设,(1)(6),的各事件分别为,则,例,5,“,分房模型”的应用,生物系二年级有,n,个人，求至少有两,人生日相同（设为事件,A,),的概率,.,解,为,n,个人的生日均不相同,这相当于,本问题中的人可被视为“球”，,365,天为,365,只“盒子”,若,n=,64,，,每个盒子至多有一个球,.,由例,4,（,6,）,例,5,解,设,A,表示事件“,n,次取到的数字的乘积,能被,10,整除”,设,A,1,表示事件“,n,次取到的数字中有偶数”,A,2,表示事件“,n,次取到的数字中有,5”,A=A,1,A,2,例,7,在,1,2,3,9,中重复地任取,n,(),个数,求,n,个数字的乘积能被,10,整除的概率,.,例,7,若,P(A)0.01,则称,A,为小概率事件,.,小概率事件,一次试验中小概率事件一般是不,会发生的,.,若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件,.,小概率原理,小概率原理,(,即实际推断原理,),例,8,区长办公室某一周内曾接待过,9,次来,访,这些来访都是周三或周日进行的,是否,可以断定接待时间是有规定的？,解,假定办公室每天都接待，则,P(,9,次来访都在周三、日,)=0.0000127,这是小概率事件,一般在一次试验中不会发,发生,.,现居然发生了,故可认为假定不成立,从而推断接待时间是有规定的,.,例,8,条件概率也是概率,故具有概率的性质：,非负性,归一性,可列可加性,利用条件概率求积事件的概率即,乘法公式,推广,乘法公式,B,1,B,n,AB,1,AB,2,AB,n,全概率公式,A,Bayes,公式,全概率公式与,Bayes,公式,B,2,每,100,件产品为一批,已知每批产品中,次品数不超过,4,件,每批产品中有,i,件,次品的概率为,i,0 1 2 3 4,P,0.1 0.2 0.4 0.2 0.1,从每批产品中不放回地取,10,件进行检验,若,发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，,否则就认为这批产品合格,.,求,(1),一批产品通过检验的概率,(2),通过检验的产品中恰有,i,件次品的概率,例,5,例,5,解,设一批产品中有,i,件次品为事件,B,i,i,=,0,1,4,A,为一批产品通过检验,则,已知,P,(,B,i,),如表中所示，且,由全概率公式与,Bayes,公式可计算,P,(,A,),与,例,1,已知袋中有,5,只红球,3,只白球,.,从袋中,有放回地取球两次,每次取,1,球,.,事件的独立性,设第,i,次,求,取得白球为事件,A,i,(,i,=1,2),.,解,1.4,独立性,事件,A,1,发生与否对,A,2,发生的概率没有影,响可视为,事件,A,1,与,A,2,相互独立,定义,设,A,B,为两事件，若,则称,事件,A,与事件,B,相互独立,三事件,A,B,C,相互独立,是指下面的关系式同时成立：,注,：,1),关系式,(1)(2),不能互相推出,2),仅满足,(1),式时,称,A,B,C,两两独立,(1),(2),A,B,C,相互独立,A,B,C,两两独立,定义,例,5,设每个人的血清中含肝炎病毒的概率,为,0.4%,求来自不同地区的,100,个人的,血清混合液中含有肝炎病毒的概率,解,设这,100,个人的血清混合液中含有肝炎,病毒为事件,A,第,i,个人的血清中含有,肝炎病毒为事件,A,i,i,=1,2,100,则,例,5,若,B,n,表示,n,个人的血清混合液中含有肝,炎病毒，则,不能忽视小概率事件,小概率事件迟早要发生,一个元件,(,或系统,),能正常工作的概率称为,元件,(,或系统,),的可靠性,系统由元件组成,常见的元件连接方式,：,串联,并联,1,2,2,1,例,6,一个元件,(,或系统,),能正常工作的概率称为,元件,(,或系统,),的可靠性,系统由元件组成,常见的元件连接方式,：,串联,并联,1,2,2,1,系统的可靠性问题,(,教材,P.40,例,5),例,6,例,6,设,两系统都是由,4,个元件组成,每个元件,正常工作的概率为,p,每个元件是否正常工,作相互独立,.,两系统的连接方式如下图所示，,比较两系统的可靠性,.,A,1,A,2,B,2,B,1,S,1,:,A,1,A,2,B,2,B,1,S,2,:,注,利用导数可证,当 时,恒有,公,Bayes,式,在医学上的应用,应用,应用举例,肠癌普查,设事件 表示第,i,次检查为阳性,事件,B,表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下：,某患者首次检查反应为阳性,试判断该,患者是否已患肠癌？若三次检查反应均为,阳性呢？,由,Bayes,公式得,首次检查反应为阳性,患肠癌的概率并不大,接连两次检查为阳性,患肠癌的可能性过半,两次检查反应均为阳性,还不能断,定患者已患肠癌,.,连续三次检查为阳性,几乎可断定已患肠癌,某型号火炮的命中率为,0,.,8,现有一架,敌机即将入侵，如果欲以,99,.,9%,的概率,击中它，则需配备此型号火炮多少门？,设需配备,n,门此型号火炮,设事件 表示第,i,门火炮击中敌机,故需配备,5,门此型号火炮,.,n,重,Bernoulli,试验中事件,A,出现,k,次的概率 记为,且,伯努利试验概型,每次试验的结果与其他次试验无关,称为这,n,次试验是相互独立的,试验可重复,n,次,每次试验只有两个可能的结果：,n,重,伯努利,(,Bernoulli),试验概型：,伯努利试验,例,7,袋中有,3,个白球,2,个红球,有放回地取球,4,次,每次一只,求其中恰有,2,个白球的概率,.,解,古典概型,设,B,表示,4,个球中恰有,2,个白球,例,7,解二,每取一个球看作是做了一次试验,记取得白球为事件,A,，,有放回地取,4,个球看作做了,4,重,Bernoulli,试验,记第,i,次取得白球为事件,A,i,感兴趣的问题为,:4,次试验中,A,发生,2,次的概率,一般地,，,若,则,例,8,八门炮同时独立地向一目标各射击一,发炮弹,若有不少于,2,发炮弹命中目标时,目,标就被击毁,.,如果每门炮命中目标的概率为,0.6,求目标被击毁的概率,.,解,设,i,门炮击中目标为事件,A,i,i=28,标被击毁为事件,B,各炮命中概率,p,=0.6,则,例,8,设目,伯努利,Jacob Bernoulli,1654-1705,瑞士数学家,概率论的奠基人,伯努利,伯努利,(,Jacob Bernoulli),简介,伯努利,家属祖孙三代出过十多位,数学家,.,这在世界数学史上绝无仅有,.,伯努利,幼年遵从父亲意见学神学,当读了,R,笛卡尔的书后,顿受启发,兴,趣转向数学,.,1694,年,首次给出直角坐标和极坐,标下的曲率半径公式,同年关于双纽线,性质的论文,使伯努利双纽线应此得名,.,此外对对数螺线深有研究,发现,对数螺线经过各种变换后,结果还是,对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余,遗言把对数螺线刻在自己的墓碑上,并附以颂词,:,纵使变化,依然故我,1695,年提出著名的伯努利方程,1713,年出版的巨著,推测术,是,组合数学及概率史的一件大事,.,书中给,出的,伯努利数、伯努利方程、伯努利,分布等,有很多应用,还有伯努利定理,这是大数定律的最早形式,.,随,机,量,变,其,及,分,布,第二章,为更好地揭示随机现象的规律性并利,用数学工具描述其规律,有必要引入随机,变量来描述随机试验的不同结果,.,例,电脑寿命可用一个连续变量,T,来描述,.,例,检测,一件产品可能出现的两个结果,也可以用一个离散变量来描述,2.1,随机变量及其分布函数,设,是试验,E,的,样本空间,若,则称,X,(,),为 上的,随机变量,r.v.,一般用大写,字母,X,Y,Z,或小写希腊字母,表示,.,定义,随机变量,(random variable),2.1,按一定法则,简记,r.v.,X,.,随机变量,是,上的映射,此映射具有如下特点,定义域,事件域,随机性,r.v.,X,的可能取值不止一个,试验前只能预知它的可能的取值，但不,能预知取哪个值,概率特性,X,以一定的概率取某个值,引入,r.v.,后,可用,r.v.,的等式或不等式表达随机事件,例如,表示“某天,9:00 10:00,接到电话次数超过,100,次”这一事件,为事件,A,的,示性变量,r.v.,的函数一般也是,r.v.,可根据随机事件定义,r.v.,设,A,为随机事件，则称,在同一个样本空间可以同时定义多个,r.v.,例如,=,儿童的发育情况,X,(,),身高,Y,(,),体重,Z,(,),头围,.,各,r.v.,之间可能有一定的关系,也可能没有关系,即 相互独立,离散型,非离散型,r.v.,分类,其中一种重要的类型为,连续性,r.v.,引入,r.v.,重要意义,任何随机现象可,被,r.v.,描述,借助微积分方法,将讨论进行到底,为,X,的,分布函数,.,设,X,为,r.v.,x,是任意实数,称函数,随机变量的分布函数,定义,（,a,b,（,用分布函数计算,X,落在,(,a,b,里的概率,：,分布函数,分布函数的性质,F,(,x,),单调不减，即,且,F,(,x,),右连续，即,请,填,空,用分布函数表示概率,设,r.v.,X,的分布函数：,计算,例,1,解,例,1,2.2,离散型随机变量及其概率分布,定义,若随机变量,X,的可能取值是有限,个或可列个,则称,X,为,离散型随机变量,描述,X,的概率特性常用,概率分布,或,分布律,X,P,或,离散随机变量及分布律,即,2.2,分布律的性质,非负性,归一性,X,或,F,(,x,),是分段阶梯函数,在,X,的可能取,值,x,k,处发生间断,间断点为第一类跳跃间,断点,在间断点处有跃度,p,k,.,离散随机变量及分布函数,其中,.,解,例,1,设汽车在开往甲地途中需经,过,4,盏信号灯,每盏信号灯独立地,以概率,p,允许汽车通过,.,出发地,甲地,首次停下时已通过的信号灯盏数,求,X,的概,率分布与,p=,0.4,时的分布函数,.,令,X,表示,例,1,0,1,2,3,4,x,x,k,p,k,0 1 2 3 4,0.6,0.24,0.096,0.0384,0.0256,代入,0,1,2,3,4,x,F,(,x,),o,o,1,o,o,o,用分布律或分布函数来计算事件的概率,例,2,在上例中,分别用分布律与分布函数计,算,例,2,解,或,此式应理解为极限,定义,设,X,是随机变量,若存在一个非负,可积函数,f,(,x,),使得,其中,F,(,x,),是它的分布函数,则称,X,是,连续型,r.v.,，,f,(,x,),是它的,概率,密度函数,(,p.d.f.,),，,简记为,d.f.,连续型,r.v.,的概念,2.3,连续,x,f,(,x,),x,F,(,x,),分布函数与密度函数,几何意义,p.d.f.,f,(,x,),的性质,常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性,r.v.,的,d.f.,在,f,(,x,),的连续点处，,f,(,x,),描述了,X,在,x,附近单位长度的,区间内取值的概率,对于连续型,r.v.,X,b,x,f,(,x,),a,例,1,已知某型号电子管的使用寿命,X,为连,续,r.v.,其,d.f.,为,(1),求常数,c,(3),已知一设备装有,3,个这样的电子管,每个电子管能否正常工作相互独立,求在使用的最初,1500,小时只有一个损坏的概率,.,(2),计算,例,1,解,(,1),令,c,=1000,(2),(3),设,A,表示一个电子管的寿命小于,1500,小时,设在使用的最初,1500,小时三个电子管中,损坏的个数为,Y,r.v,.,函数的分布,方法,将与,Y,有关的事件转化成,X,的事件,2.4,求,随机因变量,Y,=g,(,X,),的密度函数,或分布律,问题,已知,r.v.,X,的,d.f.,或分布律,.,