数学建模与数学实验-回归分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,电子发烧友,*,数学建模与数学实验,后勤工程学院数学教研室,回归分析,3/2/2026,1,电子发烧友,实验目的,实验内容,2、掌握用数学软件求解回归分析问题。,1、直观了解回归分析基本内容。,1、,回归分析的基本理论,。,3、,实验作业。,2、,用数学软件求解回归分析问题。,3/2/2026,2,电子发烧友,一元线性回归,多元线性回归,回归分析,数学模型及定义,*,模型参数估计,*,检验、预测与控制,可线性化的一元非线,性回归（曲线回归,）,数学模型及定义,*,模型参数估计,*,多元线性回归中的,检验与预测,逐步回归分析,3/2/2026,3,电子发烧友,一、数学模型,例1,测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下：,以身高,x,为横坐标，以腿长,y,为纵坐标将这些数据点（,x,I,，,y,i,）,在平面直角坐标系上标出.,散点图,解答,3/2/2026,4,电子发烧友,一元线性回归分析的,主要任务,是：,返回,3/2/2026,5,电子发烧友,二、模型参数估计,1、回归系数的最小二乘估计,3/2/2026,6,电子发烧友,3/2/2026,7,电子发烧友,返回,3/2/2026,8,电子发烧友,三、检验、预测与控制,1、回归方程的显著性检验,3/2/2026,9,电子发烧友,（）,F,检验法,（）,t,检验法,3/2/2026,10,电子发烧友,（）,r,检验法,3/2/2026,11,电子发烧友,2、回归系数的置信区间,3/2/2026,12,电子发烧友,3、预测与控制,（,1）预测,3/2/2026,13,电子发烧友,（,2）控制,返回,3/2/2026,14,电子发烧友,四、可线性化的一元非线性回归,（曲线回归）,例2,出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，,容积不断增大.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关,系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：,解答,3/2/2026,15,电子发烧友,散,点,图,此即,非线性回归,或,曲线回归,问题,（,需要配曲线,）,配曲线的一般方法是：,3/2/2026,16,电子发烧友,通常选择的六类曲线如下：,返回,3/2/2026,17,电子发烧友,一、数学模型及定义,返回,3/2/2026,18,电子发烧友,二、模型参数估计,3/2/2026,19,电子发烧友,返回,3/2/2026,20,电子发烧友,三、多元线性回归中的检验与预测,（）,F,检验法,（,）,r,检验法,(,残差平方和）,3/2/2026,21,电子发烧友,2、预测,（1）点预测,（2）区间预测,返回,3/2/2026,22,电子发烧友,四、逐步回归分析,（4）“有进有出”的逐步回归分析。,（1）从所有可能的因子（变量）组合的回归方程中选择最优者；,（2）从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不显著因子；,（3）从一个变量开始，把变量逐个引入方程；,选择“最优”的回归方程有以下几种方法：,“最优”的回归方程,就是包含所有对,Y,有影响的变量,而不包含对,Y,影响不显著的变量回归方程。,以第四种方法，即,逐步回归分析法,在筛选变量方面较为理想.,3/2/2026,23,电子发烧友,这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。,逐步回归分析法,的思想：,从一个自变量开始，视自变量,Y,作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程。,当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉。,引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步。,对于每一步都要进行,Y,值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对,Y,作用显著的变量。,返回,3/2/2026,24,电子发烧友,统计工具箱中的回归分析命令,1、多元线性回归,2、多项式回归,3、非线性回归,4、逐步回归,返回,3/2/2026,25,电子发烧友,多元线性回归,b=regress(Y,X),1、,确定回归系数的点估计值：,3/2/2026,26,电子发烧友,3、,画出残差及其置信区间：,rcoplot,（r，,rint,）,2、,求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：,b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha),回归系数的区间估计,残差,用于检验回归模型的统计量，,有三个数值：相关系数,r,2,、,F,值、与,F,对应的概率,p,置信区间,显著性水平,（缺省时为0.05）,3/2/2026,27,电子发烧友,例1,解：,1、,输入数据：,x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159,160 162 164;,X=ones(16,1)x;,Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;,2、,回归分析及检验：,b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X),b,bint,stats,To,MATLAB(liti11),题目,3/2/2026,28,电子发烧友,3、残差分析，作残差图：,rcoplot,(r,rint,),从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型,y=-16.073+0.7194x,能较好的符合原始数据，而第二个,数据可视为异常点.,4、预测及作图：,z=b(1)+b(2)*x,plot(x,Y,k+,x,z,r),返回,To,MATLAB(liti12),3/2/2026,29,电子发烧友,多 项 式 回 归,（,一）一元多项式回归,（,1）,确定多项式系数的命令：,p，S=,polyfit,（x，y，m）,（,2）,一元多项式回归命令：,polytool,（x，y，m）,1、回归：,y=a,1,x,m,+a,2,x,m-1,+,+,a,m,x,+a,m+1,2、预测和预测误差估计：,（1）,Y=,polyval,（p，x）,求,polyfit,所得的回归多项式在,x,处 的预,测值,Y；,（2）Y，DELTA=,polyconf,（p，x，S，alpha）,求,polyfit,所得,的回归多项式在,x,处的预测值,Y,及预测值的显著性为1-,alpha,的置信区间,Y DELTA；alpha,缺省时为0.5.,3/2/2026,30,电子发烧友,法一,直接作二次多项式回归：,t=1/30:1/30:14/30;,s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90,85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;,p,S=,polyfit,(t,s,2),To,MATLAB（liti21）,得回归模型为：,3/2/2026,31,电子发烧友,法二,化为多元线性回归：,t=1/30:1/30:14/30;,s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90,85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;,T=ones(14,1)t(t.2);,b,bint,r,rint,stats=regress(s,T);,b,stats,To,MATLAB(liti22),得回归模型为：,Y=,polyconf,(p,t,S),plot(t,s,k+,t,Y,r),预测及作图,To,MATLAB(liti23),3/2/2026,32,电子发烧友,（二）多元二项式回归,命令：,rstool,（x，y，model,alpha）,n,m,矩阵,显著性水平,（缺省时为0.05）,n,维列向量,3/2/2026,33,电子发烧友,例3,设某商品的需求量与消费者的平均收入、商品价格的统计数,据如下，建立回归模型，预测平均收入为1000、价格为6时,的商品需求量.,法一,直接用多元二项式回归：,x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;,x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;,y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60;,x=x1 x2;,rstool,(x,y,purequadratic,),3/2/2026,34,电子发烧友,在画面左下方的下拉式菜单中选”,all”,则,beta、,rmse,和,residuals,都传送到,Matlab,工作区中.,在左边图形下方的方框中输入1000，右边图形下方的方框中输入6。,则画面左边的“,Predicted Y”,下方的数据变为88.47981，即预测出平均收入为1000、价格为6时的商品需求量为88.4791.,3/2/2026,35,电子发烧友,在,Matlab,工作区中输入命令：,beta,rmse,To,MATLAB(liti31),3/2/2026,36,电子发烧友,结果为:,b=,110.5313,0.1464,-26.5709,-0.0001,1.8475,stats=,0.9702 40.6656 0.0005,法二,To,MATLAB(liti32),返回,将,化为多元线性回归：,3/2/2026,37,电子发烧友,非线性回 归,（,1）,确定回归系数的命令：,beta，r，J=,nlinfit,（x，y，model,beta0）,（,2）,非线性回归命令：,nlintool,（x，y，,model,beta0，alpha）,1、回归：,残差,Jacobian,矩阵,回归系数的初值,是事先用,m-,文件定义的非线性函数,估计出的回归系数,输入数据,x、y,分别为,矩阵和,n,维列向量，对一元非线性回归，,x,为,n,维列向量。,2、预测和预测误差估计：,Y，DELTA=,nlpredci,（,model,x，beta，r，J,）,求,nlinfit,或,nlintool,所得的回归函数在,x,处的预测值,Y,及预测值的显著性为1-,alpha,的置信区间,Y,DELTA.,3/2/2026,38,电子发烧友,例 4,对第一节例2，求解如下：,2、输入数据：,x=2:16;,y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60,10.90 10.76;,beta0=8 2;,3、,求回归系数：,beta,r,J=,nlinfit,(x,y,volum,beta0)；,beta,得结果：,beta=,11.6036,-1.0641,即得回归模型为：,To,MATLAB(liti41),题目,3/2/2026,39,电子发烧友,4、预测及作图：,YY,delta=,nlpredci,(,volum,x,beta,r,J)；,plot(x,y,k+,x,YY,r),To,MATLAB(liti42),3/2/2026,40,电子发烧友,例5,财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。,下表列出了1952-1981年的原始数据,，试构造预测模型。,解,设国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资分别为,x,1,、x,2,、x,3,、x,4,、x,5,、x,6,，,财政收入为,y，,设变量之间的关系为：,y=ax,1,+bx,2,+cx,3,+dx,4,+ex,5,+fx,6,使用非线性回归方法求解。,3/2/2026,41,电子发烧友,1,对回归模型建立,M,文件,model.m,如下:,function,yy,=model(beta0,X),a=beta0(1);,b=beta0(2);,c=beta0(3);,d=beta0(4);,e=beta0(5);,f=beta0(6);,x1=X(:,1);,x2=X(:,2);,x3=X(:,3);,x4=X(:,4);,x5=X(:,5);,x6=X(:,6);,yy,=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6;,3/2/2026,42,电子发烧友,2.,主程序,liti6.m,如下:,X=598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.00,.,2927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00;,y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00 286.00 357.00 444.00 506.00.,271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00.,564.00 638.00 658.00 691.00 655.00 692.00 657.00 723.00 922.00.,890.00 826.00 810.0;,beta0=0.50-0.03-0.60 0.01-0.02 0.35;,betafit,=,nlinfit,(X,y,model,beta0),To,MATLAB(liti6）,3/2/2026,43,电子发烧友,betafit,=,0.5243,-0.0294,-0.6304,0.0112,-0.0230,0.3658,即,y=0.5243x,1,-0.0294x,2,-0.6304x,3,+0.0112x,4,-0.0230 x,5,+0.3658x,6,结果为:,返 回,3/2/2026,44,电子发烧友,逐 步 回 归,逐步回归的命令是：,stepwise（x，y，,inmodel,，alpha）,运行,stepwise,命令时产生三个图形窗口：,Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History.,在,Stepwise Plot,窗口，显示出各项的回归系数及其置信区间.,Stepwise Table,窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差（,RMSE）、,相关系数（,R-square）、F,值、与,F,对应的概率,P.,矩阵的列数的指标，给出初始模型中包括的子集（缺省时设定为全部自变量）,显著性水平（缺省时为0.5）,自变量数据,阶矩阵,因变量数据，,阶矩阵,3/2/2026,45,电子发烧友,例6,水泥凝固时放出的热量,y,与水泥中4种化学成分,x,1,、x,2,、x,3,、x,4,有关，今测得一组数据如下，试用逐步回归法确定一个 线性模,型.,1、数据输入：,x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;,x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;,x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;,x4=60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12;,y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3,109.4;,x=x1 x2 x3 x4;,3/2/2026,46,电子发烧友,2、逐步回归：,（1）先在初始模型中取全部自变量：,stepwise(x,y),得图,Stepwise Plot,和表,Stepwise Table,图,Stepwise Plot,中四条直线都是虚线，说明模型的显著性不好,从表,Stepwise Table,中看出变量,x,3,和,x,4,的显著性最差,.,3/2/2026,47,电子发烧友,（2）在图,Stepwise Plot,中点击直线3和直线4，移去变量,x,3,和,x,4,移去变量,x,3,和,x,4,后模型具有显著性.,虽然剩余标准差（,RMSE）,没有太大的变化，但是统计量,F,的,值明显增大，因此新的回归模型更好.,To,MATLAB(liti51）,3/2/2026,48,电子发烧友,（3）对变量,y,和,x,1,、x,2,作线性回归：,X=ones(13,1)x1 x2;,b=regress(y,X),得结果：,b=,52.5773,1.4683,0.6623,故最终模型为：,y=52.5773+1.4683x,1,+0.6623x,2,To,MATLAB(liti52）,返回,3/2/2026,49,电子发烧友,作 业,1、考察温度,x,对产量,y,的影响，测得下列10组数据：,求,y,关于,x,的线性回归方程，检验回归效果是否显著，并预测,x=42,时产量的估值及预测区间（置信度95%）.,2、某零件上有一段曲线，为了在程序控制机床上加工这一零件，需要求这段曲线的解析表达式，在曲线横坐标,x,i,处测得纵坐标,y,i,共11对数据如下：,求这段曲线的纵坐标,y,关于横坐标,x,的二次多项式回归方程.,3/2/2026,50,电子发烧友,3/2/2026,51,电子发烧友,4、混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加，现将一批混凝土作成12个试块，记录了养护日期,x（,日）及抗压强度,y（kg/cm,2,）,的数据：,3/2/2026,52,电子发烧友,谢谢大家,3/2/2026,53,电子发烧友,