第3章连续时间信号的傅里叶分析.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信号,响应,系统,？,信号与系统,Signals and systems,第三章 连续时间信号的傅立叶分析,Fourier analysis of continuous time signals,信号的分解,f(t),可分解为无限个,单位冲激响应,的时移加权和,LTI,系统,LTI,系统,LTI,特性,信号的分解,将输入信号,f(t),分解为时延冲激信号,(t),这样的,简单信号,的加权和,根据系统的,LTI,特性，信号,f(t),的响应便可表示为时延冲激响应,h(t-,),的加权和，即卷积积分的形式,3.1 LTI,连续时间系统对复指数信号的响应,f,(,t,),?,f(t),能否分解为其他简单信号的加权和,?,复指数信号通过,LTI,系统,特征值,特征函数,常数,=,H,(,s,),e,st,复指数信号通过,LTI,系统,思考,：如果信号,能表示为,由系统的线性，“和的响应等于响应的和”，信号,通过,LTI,系统的响应为,3.2,连续时间周期信号的复指数分解,傅立叶级数,周期为,T,的连续时间周期信号,f,(,t,),可分解为,复指数信号,的线性组合,信号,f,(,t,),的基波角频率,傅立叶级数表示,Fourier Series representation,傅立叶级数系数,Fourier Series coefficient,(3.2.1),(3.2.3),傅氏级数的物理意义,展开傅立叶级数,直流分量,一次谐波,二次谐波,k,次谐波,f,(,t,),(3.2.4),(3.2.5),傅氏级数 例题,例,3.2.1,已知连续时间信号,求其傅立叶级数表示式及傅氏系数,解,：,欧拉公式,，,傅氏级数 例题,(1),例,3.2.2,连续时间周期脉冲信号,f,(,t,),如图，求其傅立叶级,数表示式,解：,f,(,t,),周期为,T,基波角频率,辛格函数,抽样函数,傅氏级数 例题,(2),取,T,=8,T,1,(3.2.9),傅氏级数 例题,(2),取,T,=4,T,1,(3.2.9),傅氏级数 例题,(2),a,k,是等间隔的离散谱线，峰值处的,a,0,表征了直流分量的大小；,a,k,的值随,k,的增大而减小，即,f,(,t,),中所含的高次谐波成分随,k,的增大而减小,当,T,1,不变而周期,T,减小时,，,a,k,的包络形状不变，但谱线间隔增大、幅度增加,傅氏级数的收敛,傅氏级数的收敛条件,狄里赫利条件,（,Dirichlet condition,）,1,信号,f,(,t,),在任意一个周期,T,内绝对可积,2,3,信号,f,(,t,),在任意一个周,期,T,内，只有有限个极大和极小值点,信号,f,(,t,),在任意一个周期,T,内，只有有限个间断点，而且在这些间断点处,f,(,t,),必须是有限值,(3.2.21),不满足狄里赫利条件的周期信号,狄里赫利条件,信号,f,(,t,),在任意一个周期,T,内绝对可积,信,号,f,(,t,),在任意一个周,期,T,内，只有有限个极大和极小值点,信号,f,(,t,),在任意一个周期,T,内，只有有限个间断点，而且在这些间断点处,f,(,t,),必须是有限值,1,2,3,不满足条件,1,不满足条件,2,不满足条件,3,吉布斯现象,满足狄里赫利条件的周期信号可以用傅立叶级数表示,在实际应用中，通常只能取有限项傅氏级数来,近似,N,越大，,近似误差越小；项数趋于无穷时的极限就是理想的傅立叶级数表示,(,共,2,N,+1,项,),(3.2.22),(3.2.23),吉布斯现象,取,N,=1,5,21,81,用有限项傅氏级数,逼近,连续时间,周期脉冲信号,f,(,t,),吉布斯（,Gibbs,）现象,信号的跳变点附近出现纹波,随项数增加，波纹峰值大小不变，但被挤向信号的间断点处,信号连续点处傅氏级数收敛于信号本身,信号跳变点处，傅氏级数收敛于该处左极限和右极限的平均值,周期信号通过,LTI,连续时间系统,LTI,系统,LTI,系统,LTI,特性,周期信号通过,LTI,系统的响应，仍是一个由原谐波分量线性组合而成的周期信号,特征值,周期信号通过,LTI,连续时间系统,周期,信号,通过,LTI,系统的响应的求解步骤,:,1,计算傅氏级数系数，得到傅氏级数表达式,2,计算特征值，得到系统响应,周期信号通过,LTI,系统 例题,例,3.2.4,LTI,系统的冲激响应为,求如图周期信号,f,(,t,),通过该系统的响应,y,(,t,),解,：,1,求傅氏级数系数,f,(,t,),的,傅氏级数表示,周期信号通过,LTI,系统 例题,2,求,f,(,t,),通过,LTI,系统后各谐波分量的特征值,系统响应,周期信号通过,LTI,系统 例题,(1),例,3.2.5,LTI,系统的冲激响应为,求正弦信号,通过该系统的响应,y,(,t,),解,：,特征值表示为模和相角形式,LTI,(3.2.26),周期信号通过,LTI,系统 例题,(1),系统响应可表示为,如果,h,(,t,),是实信号，则,LTI,系统的作用是对输入信号的第,k,次谐波分量幅度加权 ，并移相,(3.2.26),(3.2.27),周期信号通过,LTI,系统 例题,(2),本例中，输入信号,傅氏系数为,欧拉公式,系统响应,(3.2.30),周期信号通过,LTI,系统 例题,(2),3.3,连续时间非周期信号的复指数分解,傅立叶变换,周期信号可分解为复指数信号之和,傅立叶级数,非周期信号能否分解为复指数信号之和,?,周期信号,f,T,(,t,),非周期信号,f,(,t,),?,周期,T,周期方波信号的非周期演变,周期方波信号,f,T,(,t,),非周期信号,f,(,t,),周期,T,(3.3.1),周期信号的非周期演变,周期信号,f,T,(,t,),非周期信号,f,(,t,),周期,T,(3.3.3),(3.3.5),傅立叶变换,傅立叶变换,Fourier Transform,傅立叶逆变换,Inverse Fourier Transform,f,(,t,),称为信号的时域表示,F,(,),称为信号的频域表示,(3.3.3),(3.3.5),信号,f,(,t,),与其傅氏变换,F,(,),一一对应,傅氏变换的物理意义,傅氏逆变换式可写为,非周期信号可以分解为无穷多个复指数信号 之和,傅氏变换 称为信号的频谱密度函数,复指数信号 的幅度为,幅度谱,相位谱,(3.3.9),常用信号的傅立叶变换,单边指数信号,(3.3.11),常用信号的傅立叶变换,双边指数信号,(3.3.13),常用信号的傅立叶变换,矩形脉冲信号（门函数）,(3.3.14),常用信号的傅立叶变换,单位冲激信号,单位冲激信号的傅立叶变换的幅度恒为,1,单位冲激信号等幅地包含所有频率成份,常用系统的单位冲激响应来描述,LTI,连续时间系统,(3.3.15),常用信号的傅立叶变换,信号,定义频域单位冲激信号,取傅氏逆变换,(3.3.16),常用信号的傅立叶变换,信号,频域门函数,取傅氏逆变换,(3.3.17),傅氏变换的收敛,傅氏变换的存在条件,狄里赫利条件,1,信号,f,(,t,),绝对可积,2,3,信号,f,(,t,),在任意有限区间内，只有有限个极大和极小值点,信号,f,(,t,),在任意有限区间内，只有有限个间断点，而且在这些间断点处,f,(,t,),必须是有限值,(3.3.18),吉布斯现象,满足狄里赫利条件的连续时间信号存在傅氏变换，可以用傅氏逆变换表示,然而当积分区间只取有限频段,近似,时,和周期信号的情况一样，在,f,(,t,),的跳变点附近会出现吉布斯现象,(3.3.19),吉布斯现象,矩形脉冲信号的频谱,取傅氏逆变换,取 在 内积分,取 在 内积分,理想矩形脉冲波形,有限频带近似结果,3.4,傅立叶变换的性质,傅立叶变换的性质从不同侧面反映了一个信号的时域特性和频域描述间的对应关系,掌握这些性质对理解和认识傅氏变换的实质及熟练应用傅氏变换解决信号处理中的具体问题十分重要,线性,若 ，则,其中 、为任意常数,两个信号加权求和的傅氏变换等于各个信号傅氏变换的加权求和,线性同样适用于多个信号加权求和的情况,(3.4.1),线性,已知信号,根据线性，其傅氏变换为,已知信号,f,(,t,),的傅氏变换,根据线性，该信号为,时移特性,信号的时移不改变其傅立叶变换的幅度谱，仅在其相位谱上增加 的相移,若 则,(3.4.2),时移特性,已知 ，根据时移特性,已知 ，根据时移特性,频移特性,若 ，则,信号在时域乘以一个复指数信号 ，其傅氏变换在频域被频移,(3.4.6),傅氏变换的性质 例题,(1),例,3.4.1,利用傅氏变换的性质，求下列信号的傅氏变换,欧拉公式,（,1,）复指数信号,（,2,）余弦信号,（,3,）正弦信号,解：,（,1,）,（,2,）,频移特性,线性,(3.4.7),(3.4.8),傅氏变换的性质 例题,(2),欧拉公式,（,3,）,线性,(3.4.9),时间和频率标度,若 ，则,如果信号在时域上压缩（或扩展）倍，相应的傅立叶变换就在频域上扩展（或压缩）倍，该性质又称为傅氏变换的,尺度变换特性,已知 ，根据尺度变换特性,(3.4.10),时间和频率标度,时宽为 的门函数,时宽为 的门函数,沿时间轴压缩两倍,时域反转特性,在尺度变换特性中，令 则,信号在时域上关于纵坐标反转，则其傅氏变换在频域上也反转,已知,a,-,a,(3.4.15),傅氏变换的性质 例题,例,3.4.2,已知 ，求信号 的傅氏,变换,解：,令,时移特性,令,尺度变换,(3.4.18),共轭对称性,若 ，则,已知,根据尺度变换特性,(3.4.19),实信号的共轭对称性,f,(,t,),为实信号,实信号,f,(,t,),的傅氏变换 是共轭对称的,若已知信号,f,(,t,),当,的频谱，则 时,的频谱可以求出,(3.4.21),实信号的共轭对称性,正弦信号 的傅氏变换,满足共轭对称性,实信号的共轭对称性,实信号傅氏变换的实部是关于 的偶函数，虚部是关于 的奇函数,(3.4.23),实信号的共轭对称性,单边指数信号 的傅氏变换,实部是关于 的偶函数，虚部是关于 的奇函数,实偶信号的共轭对称性,f,(,t,),为实的偶信号,实偶信号,f,(,t,),的傅氏变换 是关于 的实的偶函数,双边指数信号 、门函数 、单位冲激信号 、余弦信号 的傅氏变换都是关于 的实的偶函数,(3.4.24),实奇信号的共轭对称性,实奇信号,f,(,t,),的傅氏变换 是关于 的纯虚的奇函数,正弦信号 是实奇信号，其傅氏变换是关于 的纯虚的奇函数,f,(,t,),为实的奇信号,(3.4.25),实信号奇部和偶部的傅氏变换,实信号,f,(,t,),偶部,奇部,(3.4.26),(3.4.27),傅氏变换的性质 例题,例,3.4.3,实因果信号,f,(,t,),的傅氏变换为 ，且,。求信号,f,(,t,),解：,线性、时移特性,因果信号,(3.4.28),对偶性,若 ，则,对某些信号，直接由定义式计算傅氏变换可能非常困难，但利用对偶性可使问题变得十分简单,(3.4.29),傅氏变换的性质 例题,(1),例,3.4.4,求信号 的傅氏变换,解：,对偶性,直接计算积分困难！,脉宽 的矩形脉冲,矩形脉冲是实偶信号,令,(3.4.31),傅氏变换的性质 例题,(2),若信号在时域为门函数，则其频谱为抽样函数,若信号的频谱为门函数，则其时域为抽样函数,傅氏变换的性质 例题,例,3.4.5,求信号 的傅氏变换,解：,对偶性,按傅氏变换定义式直接计算积分困难！,双边指数信号,线性,(3.4.32),时域卷积特性,若 ，则,两个信号在时域上的卷积，对应于两信号在频域上频谱的乘积,利用时域卷积特性可简化对,LTI,系统的响应的求解,(3.4.33),傅氏变换的性质 例题,(1),例,3.4.6,已知一,LTI,连续时间系统冲激响应为,解：,直接计算冲激响应与输入信号的卷积较困难！,下面采用傅氏变换的时域卷积特性求解：,时域卷积特性,求输入信号 的响应,傅氏变换的性质 例题,(2),傅氏变换的性质 例题,例,3.4.7,求如图三角脉冲信号的傅立叶变换,解：,时域卷积特性,三角脉冲信号可表示为两个宽度为,的矩形脉冲信号 的卷积,(3.4.34),时域微分特性,若 ，则,信号,f,(,t,),在时域求导，则对应其频谱在频域乘以,连续对,f,(,t,),求导,n,次，则,(3.4.35),(3.4.36),时域微分特性,，利用时域微分特性：,对余弦信号的傅氏变换对利用时域微分特性,线性、整理,(3.4.37),傅氏变换的性质 例题,(1),例,3.4.8,求下列信号的傅立叶变换,解：,(1),对符号函数求一阶导数,(1),符号函数,(2),阶跃信号,傅氏变换的性质 例题,(1),设 ，由时域微分特性得,对偶性,sgn(,t,),为,奇函数,对符号函数求一阶导数,(3.4.38),(3.4.39),傅氏变换的性质 例题,(2),(2),由图可见，单位阶跃信号,u,(,t,),可,表示为,线性,(3.4.40),时域积分特性,若 ，则,(3.4.41),傅氏变换的性质 例题,例,3.4.9,求如图所示三角脉冲信号,的傅氏变换,解：,对,连,续求导两次,，得 ，,傅氏变换的性质 例题,对,积分两次,，,由时域积分特性,能量定理,帕斯瓦关系,若 ，则,对信号功率的积分对能量谱密度的积分总能量,：信号功率，单位时间内的能量,：,能量谱密度,，单位频率内的能量,帕斯瓦关系,Parsevals relation,帕斯瓦关系又称,能量定理,(3.4.43),幅度调制（时域相乘）特性,若 ，则,两个信号在时域相乘，对应它们在频域的卷积,两个信号在时域相乘，可以看成是用一个信号的幅度去改变（调制）另一个信号的幅度，所以称为幅度调制特性,(3.4.45),傅氏变换的性质 例题,例,3.4.10,已知信号,f,(,t,),的频谱 如图，,解：,，设,。,求信,号,y,(,t,),的傅立叶变换,幅度调制特性 的频谱为,频谱搬移,形状不变,幅度减半,傅氏变换的性质 例题,(1),例,3.4.11,求信号 的频谱,解：,幅度调制特性,卷积的微分积分特性,傅氏变换的性质 例题,(2),频域微分和积分特性,若 ，则,频域积分特性,为,频域微分特性,为,对,求,n,阶导数,(3.4.47),(3.4.46),傅氏变换的性质 例题,例,3.4.12,求信号 的傅氏变换,解：,频域微分特性,(3.4.51),(3.4.49),3.5,周期信号的傅立叶变换,周期信号,f,(,t,),傅立叶级数表示,复指数信号的傅立叶变换,周期信号,f,(,t,),的,傅立叶变换,(3.5.1),周期信号的傅立叶变换,周期信号的傅立叶变换由冲激串组成,冲激出现在各次谐波频率 处,求周期信号傅氏变换的步骤,:,1,求傅氏级数系数，得到傅氏级数表示,2,求傅氏变换,第,k,个冲激的强度与相应的傅立叶级数系数 成正比,周期信号的傅立叶变换 例题,(1),例,3.5.1,冲激串信号 ，求其傅立叶变换,解：,的傅氏系数,的傅氏级数表示,1,周期信号的傅立叶变换 例题,(2),2,的傅氏变换,(3.5.2),