高中数学课件___直线与圆的位置关系.ppt

4.2,直线、圆的位置关系,4.2.1,直线与圆的位置关系,1.,理解直线与圆的位置关系,.,2.,掌握用圆心到直线的距离,d,与圆的半径,r,比较,以及通过方程组解的个数来判断直线与圆的位置关系的方法,.,3.,通过两种方法判断直线与圆的位置关系,进一步理解解析法在解决几何问题时的作用,.,直线与圆的位置关系,位置关系,几何特征,方程特征,几何法,代数法,相交,有两个,公共点,方程组有两,组实数解,_,0,相切,有且只有一,个公共点,方程组有一,组实数解,_,=0,相离,没有公共点,方程组无实,数解,_,0,dr,1.“,判一判”理清知识的疑惑点,(,正确的打“”,错误的打“,”).,(1),直线与圆最多有两个公共点,.(,),(2),如果一条直线被圆截得的弦长最长,则此直线过圆心,.(,),(3),若,A,B,是圆,O,外两点,则直线,AB,与圆,O,相离,.(,),(4),若,C,为圆,O,内一点,则过点,C,的直线与圆,O,相交,.(,),提示：,(1),正确,.,直线与圆的公共点的个数为,0,个,1,个,2,个,故此说法正确,.,(2),正确,.,直线被圆截,所得最长弦为直径,故此说法是正确的,.,(3),错误,.,过圆外两点的直线既可以与圆相交,也可以相切,又可以相离,故此说法错误,.,(4),正确,.,过圆内一点的直线一定与圆相交,此说法正确,.,答案：,(1),(2),(3),(4),2.“,练一练”尝试知识的应用点,(,请把正确的答案写在横线,上,).,(1),直线,x=1,与圆,(x+1),2,+y,2,=1,的位置关系是,.,(2),直线与圆相交,圆的半径为,r,且直线到圆心的距离为,5,则,r,与,5,的大小关系为,.,(3),过圆,x,2,+y,2,=1,上一点 的切线方程是,.,【,解析,】,(1),因为圆心,(-1,0),到直线,x=1,的距离,d=21,所以直,线,x=1,与圆,(x+1),2,+y,2,=1,相离,.,答案：,相离,(2),因为直线与圆相交,所以,dr,即,55,(3),因为,k,OP,=,所以切线的斜率,所以切线方程为,即 即,x+-2=0.,答案：,x+-2=0,一、直线与圆的位置关系,探究,1,：在我们的生活中到处都蕴含着数学知识,请根据美丽的海上日出图片,探究下列问题：,(1),从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢,?,提示：,直线,圆,.,(2),请同学们利用手中的工具再现海上日出的整个情景,.,提示：,(3),在再现过程中,你认为直线与圆的位置关系可以分为哪几类,?,分类的依据是什么,?,提示：,直线与圆的位置关系分为相交,相切,相离,.,分类的依据是直线与圆的公共点的个数,.,探究,2,：我们已经知道直线与圆的位置关系有三种,相交、相切、相离,请同学们观察下列图形,思考下列问题：,(1),设直线,l,：,Ax+By+C=0,圆,O,：,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,则圆心,O,到,直线,l,的距离,d,为,.,提示：,(2),如图,直线,l,与圆,O,无公共点,则,d,与,r,的关系如何,?,直线,l,与圆,O,的位置关系如何,?,提示：,dr,直线,l,与圆,O,相离,.,(3),直线,l,与圆,O,的位置关系除了用,d,与,r,的关系来判断外还有其,他判断方法吗,?,提示：,也可用方程组 解的个数来判断,.,【,探究提升,】,对直线与圆位置关系判断的三点说明,(1),判断直线与圆的位置关系的方法：代数法和几何法,.,(2),几何法比代数法要简便,一般选择几何法,.,(3),当已知位置关系,求参数的值时,选择代数法就是转化成方程的根的问题,;,选择几何法就是解不等式的问题,.,二、直线与圆的相切与相交问题,探究,1,：如图,在圆,O,上任取一点,A,连接,OA,过点,A,作直线,l,OA,思考以下问题：,(1),圆心,O,到直线,l,的距离,d,和圆的半径,r,有什么关系,?,提示：,相等,.,(2),直线,l,和圆,O,的位置有什么关系,?,依据是什么,?,提示：,相切,依据是,d=r.,(3),过平面内一点,P,可作几条圆的切线,?,提示：,当点,P,在圆内时,切线不存在,;,当点,P,在圆上时,只能作一条圆的切线,;,当点,P,在圆外时,可作两条圆的切线,.,探究,2,：如图直线,l,与圆,O,相交于,A,B,两点,结合图形思考下列问题：,(1),若弦,AB,的长记为,L,，结合图形请写出,L,，,d,r,之间的关系式,.,提示：,(2),直线,l,与圆,O,相交于,A,，,B,两点,当直线,l,满足什么条件时，截,得的弦长,|AB|,最长？,提示：,当直线,l,过圆,O,的圆心时，截得的弦长,|AB|,最长，且最,长为,2r.,(3),弦长的计算公式,设直线,y=kx+b,与圆相交于,A,，,B,两点，,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,).,则,|AB|,的长为多少？,提示：,【,探究提升,】,1.,求圆的切线方程的两点说明,(1),过一点求圆的切线方程,首先应明确点与圆的位置关系,从而确定切线的条数,.,(2),求解的方法可用代数法或几何法,一般采取几何法,.,2.,对直线与圆相交截得的弦长问题的三点说明,(1),当直线与圆相交时,要特别关注半径、弦心距、弦长一半构成的直角三角形,.,(2),掌握弦长的求法公式,.,(3),要会利用数形结合的方法解决弦的最长、最短问题,.,类型 一,直线与圆位置关系的判断,尝试完成下列题目,试归纳判断直线与圆位置关系的两种,基本方法,.,1.,直线,x+y+1=0,与圆,(x-1),2,+y,2,=2,的位置关系是,(,),A.,相交,B.,相离,C.,相切,D.,不能确定,2.(2013,长沙高一检测,),当,m,为何值时,直线,y=x+m,与圆,x,2,+y,2,=1,(1),相交,.,(2),相切,.,(3),相离,.,【,解题指南,】,1.,先求圆心到直线的距离,d,然后比较,d,与,r,的大小关系即可,.,2.,可先将直线,y=x+m,代入圆的方程,整理为关于,x,的一元二次方程,然后利用判别式与,0,的大小关系分别求,m,的范围,.,另外,本题也可采用几何法求解,.,【,解析,】,1.,选,C.,因为圆心,(1,，,0),到直线,x+y+1=0,的距离,又因为,r=,所以,d=r,所以直线与圆相切,.,2.,方法一：将,y=x+m,代入圆的方程整理得,2x,2,+2mx+m,2,-1=0,因为,=4m,2,-8(m,2,-1)=-4m,2,+8,所以,(1),当,0,，即 时，直线与圆相交,.,(2),当,=0,，即 时，直线与圆相切,.,(3),当,0,，即 时，直线与圆相离,.,方法二：因为圆心,(0,，,0),到直线,y=x+m,的距离为,半径,r=1.,所以,(1),当,d,r,即 亦即 时，,直线与圆相交,.,(2),当,d=r,，即,=1,亦即,m=,时,直线与圆相切,.,(3),当,d,r,，即 ,1,m,或,m,-,时，,直线与圆相离,.,【,技法点拨,】,直线与圆的位置关系判断的两种基本方法,(1),几何法：,把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径,;,利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离,并将此距离与圆的半径作比较,;,作判断：当,dr,时,直线与圆相离,;,当,d=r,时,直线与圆相切,;,当,d1.,点,O(0,0),到直线,ax+by=1,的距离 圆的半径,故直线与圆相交,.,类型 二,直线与圆相切问题,通过解答下列与圆的切线有关的题目,试总结求圆的切线,的方法,.,1.,圆,C,：,x,2,+y,2,-4x=0,在点,P(1,),处的切线方程为,.,2.,求与直线,y=x+2,平行且与圆,(x-2),2,+(y-3),2,=8,相切的直线的,方程,.,【,解题指南,】,1.,根据切线与直线,CP,垂直可先求出切线的斜率,然后由点斜式方程即可求出切线的方程,.,2.,可根据切线与直线,y=x+2,平行,先设出切线方程,然后根据圆心到切线的距离等于半径,求出切线的截距,.,【,解析,】,1.,因为 所以切线的斜率为,k=,所以切线方程为,y-=(x-1),，即,x-y+2=0.,答案：,x-y+2=0,2.,设直线的方程为,y=x+m,即,x-y+m=0.,(x-2),2,+(y-3),2,=8,的圆心坐标为,(2,3),，半径为,由 得,m=5,或,m=-3,所以直线的方程为,y=x+5,或,y=x-3.,【,互动探究,】,若将题,2,中条件“与直线,y=x+2,平行”换为“与,直线,y=x+2,垂直”，其他条件不变，结论又如何呢？,【,解析,】,设所求切线的方程为,y=-x+m,，即,x+y-m=0,由 得,m=1,或,m=9,所以切线方程为,y=-x+1,或,y=-x+9.,【,技法点拨,】,圆的切线方程的两种求解方法,(1),几何法：设出切线的方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量的值,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意则直接写出切线方程,.,(2),代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元,利用,=0,求未知量的值,.,若消元后的方程是一元一次方程,则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在,可直接写出切线的方程,.,提醒：,过一点求圆的切线方程,一定要判断该点是在圆上还是在圆外,在圆上只有一条切线方程,在圆外有两条切线方程,.,【,拓展延伸,】,过圆上一点,P(x,0,y,0,),的切线方程,(1),当点,(x,0,y,0,),在圆,x,2,+y,2,=r,2,上时,切线方程为,x,0,x+y,0,y=r,2,.,(2),若点,(x,0,y,0,),在圆,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,上,则切线方程为,(x,0,-a)(x-a)+(y,0,-b)(y-b)=r,2,.,类型 三,直线与圆相交截得的弦长问题,试着解答下列题目,试总结求圆的弦长的两种常用方法,.,1.,已知直线,l,：,2x-y-1=0,和圆,C,：,x,2,+y,2,-2y-1=0,相交于,A,B,两点,.,则弦长,|AB|=,.,2.,如果直线,x+y+2a=0,和圆,x,2,+y,2,=4,相交于,A,B,两点,且弦长,|AB|=,则,a=,.,3.(2013,长春高一检测,),设,ABC,顶点坐标,A(0,1),B(,0),C(,0),圆,M,为,ABC,的外接圆,.,(1),求圆,M,的标准方程,.,(2),直线,l,过点,(1,3),且与圆,M,相交于,P,Q,弦,PQ,长为,求直线,l,的方程,.,【,解题指南,】,1.,可以根据弦长公式,即用代数法求解，也可以通过弦长,的一半、弦心距、半径所构成的直角三角形，即用几何法求解,.,2.,直接利用弦长公式,l,=,即可求出,a,的值,.,3.(1),可先,设圆的,一般方程，然后利用待定系数法求出圆的一,般方程，再化为标准方程,.,(2),讨论直线,l,的斜率存在与不存在两种情况，分别求直线,l,的,方程,.,【,解析,】,1.,方法一：由方程组 消去,y,，,得,5x,2,-8x+2=0.,设,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),即,x,1,x,2,是方程,5x,2,-8x+2=0,的两根，所以,x,1,+x,2,=,x,1,x,2,=.,由两点间距离公式，得,方法二：已知圆方程可化为,x,2,+(y-1),2,=2,其圆心为,(0,1),半,径长为,r=,设圆心到直线,l,的距离为,d,则,弦长,答案：,2.,因为圆心,(0,，,0),到直线,x+y+2a=0,的距离为,又因为,r=2,L=,所以,所以,a=,1.,答案：,1,3.(1),设圆,M,的方程为,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,因为圆,M,过点,A(0,，,1),，,B(-,，,0),，,C(,，,0),，,所以 解得,所以圆,M,的方程为,x,2,+y,2,+2y-3=0,即,x,2,+(y+1),2,=4.,(2),若直线,l,与,x,轴垂直，则,l,：,x=1.,由 得,所以,|PQ|=,符合题意,.,若直线,l,与,x,轴不垂直，设,l,：,y=k(x-1)+3,即,kx-y-k+3=0,点,M(0,-1),到,l,的距离,解得 此时,l,的方程为,综上所述，直线,l,的方程是,x=1,或,【,技法点拨,】,求圆的弦长的两种方法,(1),几何法：直线被圆截得的半弦长,弦心距,d,和圆的半径,r,构成直角三角形，即,所以弦长,(2),代数法：解方程组,消元后可得关于,x,1,+x,2,x,1,x,2,或,y,1,+y,2,y,1,y,2,的关系式,.,则,【,变式训练,】,(2013,安徽高考,),直线,x+2y-5+=0,被圆,x,2,+y,2,-2x-4y=0,截得的弦长为,(),A.1 B.2 C.4 D.4,【,解题指南,】,由圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角,形，利用勾股定理即可求得,.,【,解析,】,选,C.,由,(x-1),2,+(y-2),2,=5,得圆心,(1,，,2),，半,r=,，,圆心到直线,x+2y-5+=0,的距离 在,半径、圆心距、半弦长组成的直角三角形中，弦长,l,=,【,拓展类型,】,与弦长有关的最值问题,尝试解答下列与弦长有关的最值问题,总结解决有关弦长最值问题的策略,.,1.,已知圆,C,：,(x-1),2,+(y-2),2,=25,直线,l,：,(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mR).,(1),证明不论,m,取什么实数,直线,l,与圆恒交于两点,.,(2),求直线被圆,C,截得的弦长最短时,l,的方程,.,2.,已知直线,l,：,kx-y-3k=0;,圆,M,：,x,2,+y,2,-8x-2y+9=0,(1),求证：直线,l,与圆,M,必相交,;,(2),当圆,M,截,l,所得弦最长时,求,k,的值,.,(3),当圆,M,截,l,所得弦最短时,求,k,的值,.,【,解题指南,】,1.(1),求出直线所过的定点,然后判断,.,(2),分析弦长最短时直线,l,的位置,然后求解,.,2.,在,(1),问中直接利用几何法判定,也可利用直线恒过定点来解决,;,在,(2)(3),问中,关键是分析出何时弦最长与最短,.,【,解析,】,1.(1),l,的方程为,(x+y,4)+m(2x+y,7)=0,，因为,mR,所以 解得,即,l,恒过定点,A(3,1).,因为圆心,C(1,2),AC=,5,所以点,A,在,圆,C,内,从而直线,l,恒与圆,C,相交于两点,.,(2),弦长最短时,l,AC,由于,k,AC,=,所以,l,的方程为,2x,y,5=0.,2.(1),方法一：将圆,M,的方程化为,(x-4),2,+(y-1),2,=8.,所以圆,M,的圆心,M(4,，,1),，半径,r,M,=,又直线,l,的方程可化为,k(x-3)-y=0,即无论,k,为何值，直线恒过,点,P(3,0).,所以,|PM|=r,M,即点,P,在圆,M,的内部，,所以直线,l,必与圆,M,相交,.,方法二：将圆,M,的方程化为,(x-4),2,+(y-1),2,=8,，,圆心,M,点到直线,l,的距离为,故,所以,d0),和圆,(x-1),2,+y,2,=4,相切,那么,a,的值是,(,),A.5 B.4 C.3 D.2,【,解析,】,选,C.,由题意得,|a-1|=2,故,a=3,或,a=-1(,舍去,).,4.,过点,A(1,0),与圆,C,：,(x-3),2,+(y-4),2,=4,相切的直线方程为,.,【,解析,】,易知点,A,在圆外,若直线斜率不存在,则直线,x=1,符合,题意,.,若直线斜率存在,设直线方程为,y=k(x-1),即,kx-y-k=0,由圆心到直线的距离等于半径得,解得,故所求切线方程为,3x-4y-3=0,因此所求直线方程是,x=1,或,3x-4y-3=0.,答案：,x=1,或,3x-4y-3=0,5.,已知圆,x,2,+y,2,=2,直线,y=x+b,当,b,为何值时：,(1),圆与直线有两个公共点,.,(2),圆与直线只有一个公共点,.,(3),圆与直线没有公共点,.,【,解析,】,圆心,O(0,0),到直线,y=x+b,的距离为,圆的半径,r=.,(1),当,dr,即,-2br,即,b2,或,b-2,时,直线与圆相离,无公共点,.,