第2章插值法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上页,下页,第2章 插 值 法,插值法的一种古老的数学方法，它来自生产实践.早在一千多年前的隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋朝刘焯(公元6世纪)将等距节点二次插值应用于天文计算.但插值理论都是在17世纪微积分产生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果.近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上得到进一步发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条(spline)插值，更获得广泛应用，称为计算机图形学的基础.,2.1.1,插值问题的提出,2.1 引言,许多实际问题都用函数,y=f,(,x,)来表示某种内在规律的关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的.虽然,f,(,x,)在某个区间,a,b,上是存在的，有的还是连续的，但却只能给出,a,b,上一系列点的,x,i,函数值,y,i,=,f,(,x,i,)(,i,=0,1,.,n,)，这只是一张函数表.有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表等.,为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值，因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数,y=f,(,x,)的特性，又便于计算的简单函数,P,(,x,)，用,P,(,x,)近似,f,(,x,).通常选一类较简单的函数(如代数多项式或分段代数多项式)作为,P,(,x,),并使,P,(,x,i,)=,f,(,x,i,)对,i,=0,1,.,n,成立.这样确定的,P,(,x,)就是我们希望得到的插值函数.例如，在现代机械工业中用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点(,x,i,y,i,)(,i,=0,1,.,n,)，加工时为控制每步走刀方向及步数，就要算出零件外形曲线其它点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题.下面我们给出有关插值法的定义.,定义,设,y=f,(,x,)在区间,a,b,上有定义，且已知在点,a,x,0,x,1,x,n,b,上的值,y,0,y,1,y,n,，若存在一简单函数,P,(,x,)，使,P,(,x,i,)=,y,i,(,i=,0,1,.,n,),(1.1),其中,a,i,为实数，就称,P,(,x,)为,插值多项式,，相应的插值法称为,多项式插值,.若,P,(,x,)为分段的多项式，就称为,分段插值,.若,P,(,x,)为三角多项式，就称为,三角插值,.本章只讨论多项式插值与分段插值.,成立，就称,P,(,x,)为,f,(,x,)的,插值函数,，点,x,0,x,1,x,n,称为,插值节点,，包含插值节点的区间,a,b,称为,插值区间,，求插值函数,P,(,x,)的方法称为,插值法,.若,P,(,x,)是次数不超过,n,的代数多项式，即,P,(,x,),=a,0,+a,1,x+a,2,x,2,+.+a,n,x,n,(1.2),从几何上看，插值法就是求曲线,y,=,P,(,x,)，使其通过给定的,n,+1个点(,x,i,y,i,),i=,0,1,n,，并用它近似已知曲线,y,=,f,(,x,)，见下图.,约瑟夫拉格朗日，全名约瑟夫路易斯拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 17351813）法国数学家、物理学家。,Lagrange,法1736,-,1813,2.2 拉格朗日插值,1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。,2.2.1,线性插值与抛物线插值,对给定的插值点为求得形如(1.2)式的插值多项式可以有不同方法，下面先讨论,n,=1的简单情形，假定给定一个区间,x,k,x,k,+1,及端点函数值,y,k,=,f,(,x,k,),y,k,+1,=,f,(,x,k,+1,)，要求线性插值多项式,L,1,(,x,)，使它满足,L,1,(,x,k,)=,y,k,L,1,(,x,k,+1,)=,y,k,+1,.,y,=,L,1,(,x,)的几何意义就是通过两点(,x,k,y,k,)与(,x,k,+1,y,k,+1,)的直线，如图所示，,L,1,(,x,)的表达式可由几何意义直接给出,由两点式看出，,L,1,(,x,),是由两个线性函数,(点斜式),(两点式),(2.1),(2.2),线性组合得到的，其系数分别为,y,k,及,y,k,+1,，即,显然，,l,k,(,x,)及,l,k,+1,(,x,)也是线性插值多项式，在节点,x,k,及,x,k,+1,上分别满足条件,(2.3),我们称函数,l,k,(,x,)及,l,k,+1,(,x,)为,线性插值基函数,，它们的图形为,插值基函数的特点,：,x,k,x,k,+1,l,k,1,0,l,k,+1,0,1,1,x,k,x,k,+1,l,k,l,k,+1,y,1,O,x,y,1,O x,我们知道,y,=,L,2,(,x,)在几何上就是通过三点(,x,k,-,1,y,k,-,1,),(,x,k,y,k,),(,x,k,+1,y,k,+1,)的抛物线，为了求出,L,2,(,x,)的表达式，可采用基函数方法，此时基函数,l,k,-,1,(,x,),l,k,(,x,),l,k,+1,(,x,)是二次函数，且在节点上分别满足条件,下面讨论,n,=2的情况，假定插值节点为,x,k,-,1,x,k,x,k,+1,，要求二次插值多项式,L,2,(,x,)，使它满足,L,2,(,x,k,-,1,)=,y,k,-,1,L,2,(,x,k,)=,y,k,L,2,(,x,k,+1,)=,y,k,+1,.,(2.4),满足条件(2.4)的插值基函数是很容易求出的，例如求,l,k,-,1,(,x,)，因它有两个零点,x,k,及,x,k,+1,，故可表示为,其中,A,为待定系数，可由条件,l,k,-,1,(,x,k,-,1,)=1定出,于是,同理可得,二次插值基函数,l,k,-,1,(,x,),l,k,(,x,),l,k,+1,(,x,)在区间,x,k,-,1,x,k,+1,上的图形见下图.,利用二次插值基函数,l,k,-,1,(,x,),l,k,(,x,),l,k,+1,(,x,)，立即得到二次插值多项式,(2.5),(2.5),显然，它满足条件,L,2,(,x,j,)=,y,j,(,j,=,k,-,1,k,k,+1).将上面求得的基函数,l,k,-,1,(,x,),l,k,(,x,),l,k,+1,(,x,)代入(2.5)式，得,2.2.2,拉格朗日插值多项式,上面我们对,n,=1及,n,=2的情况，得到了一次与二次插值多项式,L,1,(,x,)及,L,2,(,x,),它们分别由(2.3)式与(2.5)式表示，这种用插值基函数表示的方法容易推广到一般情形.下面讨论如何构造通过,n,+1个节点,x,0,x,1,x,n,的,n,次插值多项式,L,n,(,x,)，假设它满足条件,L,n,(,x,j,)=,y,j,j,=0,1,n,.(2.6),为了构造,L,n,(,x,)，我们先定义,n,次插值基函数.,定义1,若,n,次多项式,l,j,(,x,)(,j=,0,1,n,)在,n,+1个节点,x,0,x,1,x,n,上满足条件,(2.7),就称这,n,+1个,n,次多项式,l,0,(,x,),l,1,(,x,),l,n,(,x,)在为节点,x,0,x,1,x,n,上的,n,次插值基函数,.,对,n,=1及,n,=2时的情况前面已经讨论.用类似的推导方法，可得到,n,次插值基函数为,(2.8),显然它满足条件(2.7).于是，满足条件(2.6)的插值多项式,L,n,(,x,)可表示为,由,l,k,(,x,)的定义，知,形如(2.9)式的插值多项式,L,n,(,x,)称为,拉格朗日(Lagrange)插值多项式,，而(2.3)式与(2.5)式是当,n,=1和,n,=2时的特殊情况.,若引入记号,容易求得,于是公式(2.9)可改写成,注意，,n,次插值多项式,L,n,(,x,)通常是次数为,n,的多项式，特殊情况下次数可能小于,n,.例如通过三点(,x,0,y,0,),(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,)的二次插值多项式,L,2,(,x,)，如果三点共线，则,y,=,L,2,(,x,)就是一直线，而不是抛物线，这时,L,2,(,x,)是一次多项式.,注意:,(1)对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关;,(2)插值基函数,l,k,(,x,),仅由插值节点,x,k,(,k,=0,1,n,),确定,与被插函数,f,(,x,),无关;,(3)插值基函数,l,k,(,x,)的顺序与,插值节点,x,k,(,k,=0,1,n,),的顺序一致,.,所以,例1,已知 用线性插值(即一次插值多项式)求 的近似值。,基函数分别为:,解,插值多项式为,(),例2,求过点(,-,1,-,2),(1,0),(3,-,6),(4,3)的抛物线插值(即三次插值多项式).,解,以,以为节点的,基函数分别为:,则拉格朗日,的三次插值多项式为,若在,a,b,上用,L,n,(,x,)近似,f,(,x,)，则其截断误差为,R,n,(,x,)=,f,(,x,),-,L,n,(,x,)，也称为插值多项式的,余项,，也叫,n,次,Lagrange,插值多项式的余项,.关于插值余项估计有以下定理.,2.2.3,插值余项与误差估计,定理2,设,f,(,n,),(,x,)在,a,b,上连续，,f,(,n,+1),(,x,)在(,a,b,)内存在，节点,a,x,0,x,1,n,时恒等于,0,，,即,当,k,n,时是一个,n,-,k,次多,项式;而当,k,n,时由,(3.5),式立刻得到其,恒等于,0,.,2.3.3,牛顿插值多项式,设,x,是,a,，,b,上一点，由一阶均差定义得,同理，由二阶均差定义,如此继续下去，可得一系列等式,得,得,依次把后式代入前式，最后得,其中,(3.6),(3.7),可见,P,n,(,x,)为次数不超过,n,的多项式,且易知,R,n,(,x,i,)=0 即,P,n,(,x,i,)=,y,i,(,i,=0,1,n,),满足插值条件,故其为插值问题的解,P,n,(,x,)称为,牛顿插值多项式,。,R,n,(,x,)称为,牛顿型插值余项,。,由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多项式,(2.12)是等价的，即,L,n,(,x,),P,n,(,x,),且有如下,递推形式,和,余项公式,由此即得性质(3),.且,x,k,f,(,x,k,),一阶均差,二阶均差,三阶均差,四阶均差,0.40,0.55,0.65,0.80,0.90,0.41075,0.57815,0.69675,0.88811,1.02652,1.1160,1.1860,1.2757,1.3841,0.2800,0.3588,0.4336,0.1970,0.2137,0.0344,例4,已知,f,(,x,)=sh,x,的数表,求二次牛顿插值多项式,并由此计算,f,(0.596)的近似值.,解,由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为,又,还可得过前四点的三次牛顿插值多项式,故,可得,P,3,(,x,)的截断误差,书p32是前5点的四次牛顿插值多项式(自看).,用插值法计算,x,约为多少时,f,(,x,)=1（小数点后至少保留4位）.（提示：用反插值法）,补充例子(反插值法),已知单调连续函数,y,=,f,(,x,)的如下数据,1.58,1.17,0.10,1.23,1.80,1.50,0.00,0.11,解,作辅助函数,g,(,x,)=,f,(,x,),-,1，则问题转化为,x,为多少时,g,(,x,)=0，此时可作新的关于,g,(,x,i,)的函数表，由,f,(,x,)单调连续知也单调连续，因此可对,g,(,x,)的数值进行反插值.由数据表,0.58,0.17,-1.10,-2.23,1.80,1.50,0.00,-0.11,作出均差表,1.80,0.58,0.731707,1.50,0.17,-0.267497,1.181102,0.00,-1.10,-0.255894,0.451565,0.097345,-0.11,-2.23,三阶均,差,二阶均,差,一阶均,差,得牛顿型插值多项式为,故,2.3.4,差分形式的牛顿插值公式,前面给出的插值多项式是节点任意分布的情况，但实际应用时常遇到,等距节点,即,x,k,=,x,0,+,kh,(,i,=0,1,n,)的情形，这里,h,称为,步长,，此时插值公式可得到简化.设点,x,i,的函数值为,f,k,=,f,(,x,k,)，称,f,k,=,f,k,+1,-,f,k,为函数,f,(,x,)在点,x,k,处的,一阶,(,向前,),差分,.类似地称,2,f,k,=,f,k,+1,-,f,k,为函数,f,(,x,)在点,x,k,处的,二阶,(,向前,),差分,.一般地，称,n,f,k,=,n,-1,f,k,+1,-,n,-1,f,k,(3.8),为函数,f,(,x,)在点,x,k,处的,n,阶差分,.为了表示方便，再引入两个常用算子符号：,I,称为,不变算子,，,E,称为步长为,h,的,位移算子,，由此可推出：,I,f,k,=f,k,，,E,f,k,=f,k,+1,f,k,=,f,k,+1,-,f,k,=,E,f,k,-,I,f,k,=(,E,-,I,),f,k,其中 为二项式展开系数,(3.9)式表示各阶差分均可用函数值给出.反之也可用各阶差分表示函数值.实际上，由,可得,还可导出均差与差分的关系：,一般地，有,由(3.11)式及,(3.5),式又可得到差分与导数的关系：,由给定函数表计算各阶差分可由,差分表,给出.,函数值,一阶差分,二阶差分,三阶差分,四阶差分,.,f,(,x,0,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,3,),f,(,x,4,),.,f,0,(,f,1,),f,1,(,f,2,),f,2,(,f,3,),f,3,(,f,4,),.,2,f,0,(,2,f,2,),2,f,1,(,2,f,3,),2,f,2,(,2,f,4,),.,3,f,0,(,3,f,3,),3,f,1,(,3,f,4,),.,4,f,0,(,4,f,4,),.,.,在牛顿插值公式(3.6)中，用(3.11)式的差分代替均差，并令,x,=,x,0,+,th,，则得,(3.13)式称为,牛顿前插值公式,，由(3.7)式得其,余项,为,(3.14),例5,设,y,=,f,(,x,)=e,x,x,i,=1,1.5,2,2.5,3,用3次牛顿前插公式计算,f,(1.2)的近似值并估计误差.,解,相应的函数值及差分表如下:,x,i,f,(,x,i,),一阶差分,二阶差分,三阶差分,四阶差分,1,1.5,2,2.5,3,2.71828,4.48169,7.28906,12.18249,20.08554,1.76341,2.90347,4.79343,7.90305,1.14396,1.88606,3.10962,0.74210,1.22356,0.48146,取,x,=1.2,h,=0.5,且由 1.2=1+0.5,t,得,t,=0.4，得,由(3.14)式可得误差估计为,先计算,参见书p34的例5.,埃尔米特(Charles Hermite，18221901)法国数学家，1822年12月24日出生在洛林的小村庄Dieuge。巴黎综合工科学校毕业，曾任法兰西学院、巴黎高等师范学校、巴黎大学教授。法兰西科学院院士。,2.4 埃尔米特(Hermite)插值,在函数论、高等代数、微分方程等方面都有重要发现。1858年利用椭圆函数首先得出五次方程的解。1873年证明了自然对数的底e的超越性。在现代数学各分支中以他姓氏命名的概念（表示某种对称性）很多，如“埃尔米特二次型”、“埃尔米特算子”等。,Hermite,法1822-1901,插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式称为,埃尔米特(Hermite)插值多项式,.,2.4.1,重节点均差与泰勒插值,定理3,设,f,C,n,a,b,，,x,0,x,1,x,n,为,a,b,上的互异节点，则,f,x,0,x,1,x,n,是其变量的连续函数.,如果区间,a,b,的节点互异，根据均差定义，若,f,(,x,),C,1,a,b,，则有,由此定义重节点均差,类似地可定义重节点的二阶均差，当,x,1,x,0,时，有,当,x,1,x,0,时，有,一般地，可定义,n,阶重节点的均差，由(3.5)式则得,在牛顿均差插值多项式(3.6)中，若令,x,i,x,0,(,i,=1,2,n,),，则由(4.1)式可得泰勒多项式,它实际上是在点,x,0,附近逼近,f,(,x,),的一个带导数的插值多项式，它满足条件,称(4.2)式为,泰勒插值多项式,，它就是一个,埃尔米特插值多项式,，其余项为,一般地只要给出,m,+1个插值条件(含函数值和导数值)就可造出次数不超过,m,次的埃尔米特插值多项式，由于导数条件各不相同，这里就不给出一般的埃尔米特插值公式，只讨论两个典型的例子.,它与插值余项(2.12)式中令,x,i,x,0,(,i,=1,2,n,),的结果一致.实际上泰勒插值是牛顿插值的极限形式，是只在一点,x,0,处给出,n,+1个插值条件(4.3)得到的,n,次埃尔米特插值多项式.,2.4.2,两个典型的埃尔米特插值,先考虑满足条件,的插值多项式及其余项表达式.,由给定条件，可确定次数不超过3的插值多项式.由于此多项式通过点,(,x,0,f,(,x,0,),，,(,x,1,f,(,x,1,),，,(,x,2,f,(,x,2,)，,故其形式为,其中,A,为待定常数，可由条件确定，通过计算可得,为了求出余项,R,(,x,)=,f,(,x,),-,P,(,x,),的表达式，可设,其中,k,(,x,),为待定函数，构造,在(,a,b,)内有5个零点,x,0,x,1,(二重),x,2,x,，反复应用罗尔定理，得到,得,余项表达式为,例6,见书p36的例6.,另一个典型例子是,三次埃尔米特插值,，插值节点取为,x,k,及,x,k,+1,，插值多项式为,H,3,(,x,),，满足条件,采用基函数方法，令,条,件,函,数,函数值,导数值,x,k,x,k,+1,x,k,x,k,+1,k,(,x,),1,0,0,0,k,+1,(,x,),0,1,0,0,k,(,x,),0,0,1,0,k,+1,(,x,),0,0,0,1,由,可将它写成,书p38另一种设法,可得满足条件的,三次埃尔米特插值多项式,为,其,余项公式,类似(4.5)式可得,设,则当,x,(,x,k,x,k,+1,)时,余项有如下估计式（,误差限,）,例,已知,f,(,x,)=,x,1/2,及其一阶导数的数据见下表，用埃尔米特插值公式计算125,1/2,的近似值,并估计其截断误差.,x,121,144,f,(,x,),11,12,f,(,x,),1/22,1/24,解,得,由,可求得,2.5 分段低次插值,2.5.1,高次插值的病态性质,上面我们根据区间,a,b,上给出的节点做插值多项式,L,n,(,x,)近似,f,(,x,)，一般总认为,L,n,(,x,)的次数,n,越高，逼近,f,(,x,)的精度越好.但实际上并非如此。,先看下面的例子,对,(,x,)=(1+25,x,2,),-1,在区间-1,1上取等距节点,x,i,=,-,1+,ih,i,=0,1,10,h,=0.2,作,(,x,),关于节点,x,i,(,i,=0,1,10)的10次插值多项式,L,10,(,x,),如图所示,x,y,o,1,-,1,0.5,1,1.5,y=L,10,(x),这个现象被称为,龙格Runge现象,.表明高次插值的不稳定性.实际上,很少采用高于7次的插值多项式.,详见书p39计算结果,.,这正是我们下面要讨论的分段低次插值的出发点,.,2.5.2,分段线性插值,(1),I,h,(,x,),C,a,b,；,(2),I,h,(,x,k,)=,f,k,(,k=,0,1,.,n,);,(3),I,h,(,x,)在每个小区间,x,k,x,k,+1,上是线性函数.,则称满足上述条件的函数,I,h,(,x,),为,分段线性插值函数,.,分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近函数,f,(,x,).设已知,记求一个折线函数,I,h,(,x,),使其满足:,分别作线性插值得,在每个子区间,x,k,x,k,+1,已知,或,由线性插值的误差即得分段线性插值在区间,x,k,x,k,+1,上的,余项估计式,为,因此，,在插值区间,a,b,上有余项,由此还可得到,在,a,b,上一致成立，故,I,h,(,x,),在,a,b,上一致收敛到,f,(,x,),.,2.5.3,分段,三次Hermite插值,分段线性插值函数,I,h,(,x,),的导数是间断的，若在节点,x,k,(,k=,0,1,.,n,),上除已知函数值,f,k,外还给出,f,(,x,),的导数值,(,k=,0,1,.,n,),，这样就构造一个导数连续的分段插值函数,I,h,(,x,),，它满足条件：,(1),I,h,(,x,),C,1,a,b,；,(2),I,h,(,x,k,)=,f,k,(,k=,0,1,.,n,);,(3),I,h,(,x,)在每个小区间,x,k,x,k,+1,上是三次多项式.,则称满足上述条件的函数,I,h,(,x,),为,分段三次埃尔米特插值函数,.,或,x,i,，,x,i,+1,上,得在每个小区间,记,分段三次埃尔米特插值在区间,x,i,x,i,+1,上的,余项估计式,为,因此，,在插值区间,a,b,上有余项估计式,为,定理4,设,f,C,1,a,b,，,I,h,(,x,)为,f,(,x,)在节点,上的分段三次埃尔米特插值多项式，则有,其中,定理4表明分段三次埃尔米特插值比分段线性插值效果明显改善.但这种插值要求给出节点上的导数值，所要提供的信息太多，其光滑度也不太高(只有一阶导数连续)，改进这种插值以克服其缺点就导致三次样条插值的提出.,例,构造函数,f,(,x,)=ln,x,在1,x,10上的数表,应如何选取步长,h,才能使利用数表进行分段插值时误差不超过0.510,-4,。,解,欲使,即进行分段线性插值时，应取,h,210,-2,，误差不超过0.510,-4,。,欲使,即进行分段三次埃尔米特插值时,应取误差不超过0.510,-4,。,2.6 三次样条插值,上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数.早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条(所谓样条)用压铁固定的样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后延木条画下曲线，称为样条曲线.样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念.下面我们讨论最常用的三次样条函数.,2.6.1,三次样条函数,定义3,若函数,S,(,x,),C,2,a,b,，且在每个小区间,x,k,x,k,+1,上是三次多项式，其中,a,=,x,0,x,1,x,n,=,b,是给定节点，则称,S,(,x,)是节点,x,0,x,1,x,n,上的,三次样条函数,.若在节点,x,j,上给定函数值,y,j,=,S,(,x,j,)(,j,=0,1,n,),并成立,S,(,x,j,)=,y,j,(,j,=0,1,n,),(6.1),则称,S,(,x,)为,三次样条插值函数,.,从定义知道所求的三次样条插值函数,S,(,x,)必须满足以下3条：,S,(,x,i,)=,y,i,(,i,=0,1,n,);,在每个小区间,x,i,x,i,+1,(,i,=0,1,.,n,-1),上是次数不超过,3,的多项式,;,在每个内节点,x,i,(,i,=1,2,.,n,-1),上具有,二阶连续导数,.,S,(,x,)在每个小区间,x,i,x,i,+1,上是一个次数不超过3的多项式,因此需确定,四个待定常数,一共有,n,个小区间,故应,确定4,n,个系数,S,(,x,)在,n,-1个内节点上,具有二阶连续导数，应满足条件,即有3,n,-3个连续条件，再加上,S,(,x,)满足的插值条件,n,+1个，共计4,n,-2个，因此还需要2个条件(两个端点各1个)才能确定,S,(,x,)，通常补充两个,边界条件,.,常见的三种边界条件：,(1)已知两端一阶导数值，即,(2)已知两端二阶导数值，即,特殊情况为,自然边界条件,(3)周期边界条件，即,注意：由插条件(6.1)已有,这样确定的条件函数,S,(,x,)称为,周期条件函数,.,2.6.2,样条插值函数的建立,其中,i,(,x,),i,(,x,)是由(4.8),(4.11)式表示的插值基函数，利用条件(6.2)式相应边界条件(6.3),(6.5)式，则可得到关于,m,i,(,i,=0,1,n,),的三对角方程组，求出,m,i,则得到所求的三次样条插值函数,S,(,x,).,构造满足插值条件(6.1)及相应边界条件的三次样条插值函数,S,(,x,)的表达式可以有多种方法.例如，可以直接利用分段三次埃尔米特插值，只要假定，,再由插值条件(6.1)可得,下面我们利用,S,(,x,)的二阶导数值表达,S,(,x,).因为,S,(,x,)在,x,i,x,i,+1,上是三次多项式，所以,M,i,来求,S,(,x,)的方法称为,三弯矩法,。,为参数,这种通过,确定,设,在,x,i,x,i,+1,上是一次多项式,且可表示为,对 积分两次并利用,S,(,x,i,)=,y,i,和,S,(,x,i,+1,)=,y,i,+1,定出积分常数得,对,S,(,x,)求导得,所以,(,i,=1,2,.,n,-1),由,得,其中,由公式,1.对第一种边界条件(6.3),得,从中解出,M,i,(,i,=0,1,.,n,)得三次样条函数,S,(,x,).,得,从中解出,M,i,(,i,=1,2,.,n-,1)得 三次样条函数,S,(,x,).,2、对第二种边界条件(6.4),3、对第三种边界条件(6.5)周期函数,有,M,0,=,M,n,，,整理得,其中,从中解出,M,i,(,i,=1,2,.,n,),得三次样条函数,S,(,x,).,线性方程组(6.13),(6.14.1)和(6.16)是关于,M,i,的三对角线性方程组，,M,i,在力学上解释为细梁在,x,i,截面处的弯矩，称为,S,(,x,)的矩.线性方程组(6.13),(6.14.1)和(6.16)称为,三弯矩方程,.方程组(6.13),(6.14.1)和(6.16)的系数矩阵中元素,i,i,已完全确定.并且满足,i,0,i,0,i,+,i,=1,.因此系数矩阵为严格对角占优矩阵，从而方程组6.13),(6.14.1)和(6.16)有唯一解.求解方法可见5.3节追赶法，将解得结果代入(6.8)式即可得,S,(,x,).,例7,解,由此得矩阵形式的线性方程组(6.13)为,通常求三次样条函数可根据上述例题的计算步骤直接编程上机计算，或直接使用数学库中的软件，根据具体要求算出结果即可.,例8,见书p45,.,2.6.3,误差界与收敛性,三次样条函数的收敛性与误差估计比较复杂，这里不加证明地给出一个主要结果.,定理5,设,f,(,x,),C,4,a,b,，,S,(,x,)为满足第一种或第二种边界条件(6.3)或(6.4)的三次样条函数，则有估计式,其中,误差有如下估计式,即设,f,(,x,),在,a,b,上有直到四阶的连续导数，有,这个定理不但给出了三次样条插值函数,S,(,x,)的误差估计，而且说明了一致收敛性，即有,评注 见p46,.,补充介绍 三转角方程,用分段,埃尔米特插值,，得到,S,(,x,),在,上,S,(,x,),的表达式为,设,为参数，这种通过,确,定,m,i,来求,S,(,x,),的方法叫,三转角法,。,所以,同理,同三弯矩方程一样，有三种条件,：,1、,已知,其中：,由,S,(,x,),二阶连续可微，即,2、,已知,由,可得,由,可得,则方程组化为：,于是有,),(,1,2,1,-,=,n,i,L,即矩阵形式为：,3、,已知,则有：,