高考数学总复习 13.3 合情推理与演绎推理课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,13.3,合情推理与演绎推理,要点梳理,1.,合情推理主要包括,和,.,合情推理的过程,从具体问,题出发,观察、分析、,比较、联想,归纳、类比,提出猜想,归纳推理,类比推理,基础知识 自主学习,（,1,）归纳推理：由某类事物的,具有某些,特征，推出该类事物的,都具有这些特征,的推理，或者由,概括出,的推理,称为归纳推理（简称归纳）,.,简言之，归纳推理是,由,到,、由个别到,的推理,.,归纳推理的基本模式,:,，,结论,:,d,M,，,d,也具有某属性,.,（,2,）类比推理：由,具有某些类似特征和,其中,的某些已知特征，推出,也,具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比），,简言之，类比推理是由,的推理,.,a,、,b,、,c,M,且,a,、,b,、,c,具有,某属性,两类对象,一类对象,另一类对象,特殊到特殊,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,部分,整体,一般,类比推理的基本模式,:,A,:,具有属性,a,b,c,d,；,B,:_,；,结论,:,B,具有属性,d,.,（,a,b,c,d,与,a,b,c,d,相似或相同）,2.,演绎推理：从,的原理出发，推出某个,的结论，我们把这种推理称为演绎推理,.,简言之，演绎推理是由,到,的推理,.,具有属性,a,b,c,一般性,特,殊情况下,一般,特殊,（,1,）,“,三段论,”,是演绎推理的一般模式，包括：,大前提,已知的一般原理；,小前提,所研究的特殊情况；,结论,根据一般原理,对特殊情况做出的判断,.,（,2,）,“,三段论,”,可以表示为,大前提：,M,是,P,；,小前提：,S,是,M,；,结论：,S,是,P,.,用集合说明：即若集合,M,的所有元素都具有性质,P,，,S,是,M,的一个子集，那么,S,中所有元素也都具有性质,P,.,基础自测,1.,下面几种推理是合情推理的是,(),由圆的性质类比出球的有关性质；,由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的,内角和是,180,，归纳出所有三角形的内角和都,是,180,；,张军某次考试成绩是,100,分，由此推出全班同,学的成绩都是,100,分；,三角形内角和是,180,四边形内角和是,360,五边形内角和是,540,，由此得凸,n,边形内角和,是（,n,-2,）,180,.,A.B.C.D.,解析,是类比推理，是归纳推理，是归纳,推理，所以为合情推理,.,C,2.,下面几种推理过程是演绎推理的是,(),A.,两条直线平行,同旁内角互补,如果,A,和,B,是两条平行直线的同旁内角,则,A,+,B,=180,B.,某校高三,(1),班有,55,人,(2),班有,54,人,(3),班有,52,人，由此得高三所有班人数超过,50,人,C.,由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质,D.,在数列,a,n,中，,a,1,=1,，,（,n,2,），由此归纳出,a,n,的通项公式,解析,两条直线平行，同旁内角互补 大前提,A,与,B,是两条平行直线的同旁内角 小前提,A,+,B,=180,结论,A,3.,某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,，按这种规律,往下排，那么第,36,个圆的颜色应是,(),A.,白色,B.,黑色,C.,白色可能性大,D.,黑色可能性大,解析,由图知，图形是三白二黑的圆周而复始,相继排列，是一个周期为,5,的三白二黑的圆列，,因为,36,5=7,余,1,，所以第,36,个圆应与第,1,个圆颜,色相同，即白色,.,A,4.,给出下列三个类比结论,.,(,ab,),n,=,a,n,b,n,与,(,a,+,b,),n,类比,则有,(,a,+,b,),n,=,a,n,+,b,n,;,log,a,(,xy,)=log,a,x,+log,a,y,与,sin(,+,),类比，则,有,sin(,+,)=sin,sin,;,(,a,+,b,),2,=,a,2,+2,ab,+,b,2,与,(,a,+,b,),2,类比，则有,(,a,+,b,),2,=,a,2,+2,a,b,+,b,2,.,其中结论正确的个数是,(),A.0 B.1 C.2 D.3,解析,正确,.,B,5.,若数列,a,n,中，,a,1,=1,a,2,=3+5,a,3,=7+9+11,a,4,=13+,15+17+19,，,，则,a,8,=,.,解析,由,a,1,a,2,a,3,a,4,的形式可归纳，,1+2+3+4+,+7=,a,8,的首项应为第,29,个正奇数，即,2,29-1=57.,a,8,=57+59+61+63+65+67+69+71,512,题型一 归纳推理,在数列,a,n,中,a,1,=1,a,n,+1,=,n,N,*,猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？,请说明理由,.,根据已知条件和递推关系,先求出数,列的前几项,然后总结归纳其中的规律,写出其,通项公式,.,解,在,a,n,中,a,1,=1,a,2,=,所以猜想,a,n,的通项公式,思维启迪,题型分类 深度剖析,这个猜想是正确的，证明如下,:,通过归纳推理得出的结论可能正确,也,可能不正确,它的正确性需通过严格的证明,猜想,所得结论可用演绎推理给出证明,虽然由归纳推理,所得出的结论未必是正确的,但它所具有的由特殊,到一般、由具体到抽象的认识过程，对于科学的,发明是十分有用的,.,通过观察实验，对有限的资料,作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学,研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：,（,1,）通过观察个别情况发现某些相同的性质；,（,2,）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一,般性命题（猜想）,.,知能迁移,1,设 先分别求,f,(0)+,f,(1),f,(-1)+,f,(2),f,(-2)+,f,(3),然后归纳猜想一般性结,论，并给出证明,.,解,并注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等,于,1.,归纳猜想得,:,当,x,1,+,x,2,=1,时,均有,f,(,x,1,)+,f,(,x,2,),证明：设,x,1,+,x,2,=1,题型二 类比推理,在,Rt,ABC,中，,AB,AC,，,AD,BC,于,D,，,求证：那么在四面体,A,BCD,中，类比上述结论,你能得到怎样的猜想？并说明,理由,.,首先利用综合法证明结论正确，然后,依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想,结论，并予以证明,.,解,如图所示，由射影定理知,AD,2,=,BD,DC,，,AB,2,=,BD,BC,，,AC,2,=,BC,DC,，,四面体,A,BCD,中，,AB,、,AC,、,AD,两两垂直,图,如图，连接,BE,交,CD,于,F,，,连接,AF,.,AB,AC,，,AB,AD,，,AB,平面,ACD,.,而,AF,平面,ACD,，,AB,AF,，,在,Rt,ABF,中，,AE,BF,图,类比推理是根据两个对象有一部分属,性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种,推理方法,.,例如分式与分数类比、平面几何与立体,几何的某些对象类比等,.,当然类比时有可能出现,错误，如：在平面内，直线,a,、,b,、,c,，若,a,b,，,b,c,，则,a,c,；在空间内，三个平面,、,、,，,若,，但,与,之间可能平行，也可,能相交,.,知能迁移,2,已知,O,是,ABC,内任意一点,连结,AO,、,BO,、,CO,并延长交对边于,A,B,C,则,这是一道平面几何题，其,证明常采用,“,面积法,”,.,请运用类比思想，对于空间中的四面体,V,BCD,，,存在什么类似的结论？并用体积法证明,.,证明,在四面体,V,BCD,中，任取一点,O,连结,VO,、,DO,、,BO,、,CO,并延长分别交四个面于,E,、,F,、,G,、,H,点，,题型三 演绎推理,（,12,分）（,1,）证明函数,f,(,x,)=-,x,2,+2,x,在,（,-,，,1,上是增函数；,（,2,）判断函数,f,（,x,）在区间,-5,，,-2,上的单,调性，并加以说明,.,（,1,）证明本题的大前提是增函数的,定义，即增函数,f,(,x,),满足,:,在给定区间内任取自,变量的两个值,x,1,x,2,，且,x,1,x,2,f,(,x,1,),f,(,x,2,),小前提,是函数,f,（,x,）,=-,x,2,+2,x,，,x,（,-,，,1,，结论是,满足增函数定义,.,（,2,）关键是看,-5,，,-2,与,f,（,x,）的增区间或减,区间的关系,.,解,（,1,）,方法一,任取,x,1,x,2,（,-,，,1,x,1,x,2,则,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)=(,x,2,-,x,1,)(,x,2,+,x,1,-2),2,分,x,1,x,2,1,x,2,+,x,1,-20,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,f,(,x,1,),f,(,x,2,),4,分,于是，根据,“,三段论,”,可知，,f,(,x,)=-,x,2,+2,x,在（,-,，,1,上是增函数,.8,分,方法二,f,(,x,)=-2,x,+2=-2(,x,-1),2,分,当,x,(-,1),时，,x,-10,f,(,x,)0,在,x,(-,1),上恒成立,.6,分,故,f,(,x,),在,(-,，,1,上是增函数,.8,分,(2),f,(,x,),在（,-,，,1,上是增函数，,9,分,而,-5,，,-2,是区间（,-,，,1,的子区间，,11,分,f,（,x,）在,-5,，,-2,上是增函数,.12,分,三段论推理的依据用集合论的观点来讲,就是：若集合,M,的所有元素都具有性质,P,，,S,是,M,的,子集，那么,S,中所有元素都具有性质,P,.,三段论推理,中包含三个判断：第一个判断称为大前提,它提供,了一个一般的原理；第二个判断叫小前提,它指出,了一个特殊情况；这两个判断联合起来,揭示了一,般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个,判断：结论,.,知能迁移,3,已知函数 （,x,R,），,（,1,）判定函数,f,（,x,）的奇偶性；,（,2,）判定函数,f,（,x,）在,R,上的单调性，并证明,.,解,（,1,）对,x,R,有,-,x,R,，,所以,f,（,x,）是奇函数,.,（,2,）,f,(,x,),在,R,上单调递增，证明如下：,任取,x,1,x,2,R,，并且,x,1,x,2,x,1,x,2,2,x,1,2,x,2,0,即,2,x,1,-2,x,2,0,又,2,x,1,+10,2,x,2,+10.,f,(,x,1,),f,(,x,2,).,f,(,x,),在,R,上为单调递增函数,.,思想方法 感悟提高,方法与技巧,1.,合情推理主要包括归纳推理和类比推理,.,数学研,究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜,测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情,推理常常能为证明提供思路与方向,.,2.,合情推理的过程概括为,:,从具体问题出发,观察、分析、比较、联想,归纳、类比,提出猜想,3.,演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊,情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推,理，常用的一般模式是三段论,.,数学问题的证明,主要通过演绎推理来进行,.,4.,合情推理仅是,“,合乎情理,”,的推理，它得到的,结论不一定正确,.,但合情推理常常帮助我们猜测,和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法,.,而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理,形式都正确的前提下）,.,失误与防范,1.,合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发,现与猜想的结论都要经过进一步严格证明,.,2.,演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证,明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，,书写格式的规范性,.,3.,合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜,想或拓展依据,.,一、选择题,1.,下面使用类比推理恰当的是,(),A.,“,若,a,3=,b,3,，则,a,=,b,”,类推出,“,若,a,0,=,b,0,，则,a,=,b,”,B.,“,(,a,+,b,),c,=,ac,+,bc,”,类推出,“,”,C.,“,(,a,+,b,),c,=,ac,+,bc,”,类推出,“,(,c,0),”,D.,“,（,ab,）,n,=,a,n,b,n,”,类推出,“,（,a,+,b,）,n,=,a,n,+,b,n,”,解析,由类比推理的特点可知,.,C,定时检测,2.,（,2009,湖北文，,10,）,古希腊人常用小石头在,沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：,他们研究过图（,1,）中的,1,，,3,，,6,，,10,，,，由,于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；,类似的，称图（,2,）中的,1,，,4,，,9,，,16,，,这样的,数为正方形数,.,下列数中既是三角形数又是正方形数的是,(),A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378,解析,设图（,1,）中数列,1,3,6,10,的通项公式,为,a,n,其解法如下,：,a,2,-,a,1,=2,a,3,-,a,2,=3,a,4,-,a,3,=4,a,n,-,a,n,-1,=,n,.,故,a,n,-,a,1,=2+3+4+,+,n,而图（,2,）中数列的通项公式为,b,n,=,n,2,因此所给的,选项中只有,1 225,满足,C,3.,给出下面类比推理命题,(,其中,Q,为有理数集,R,为实数,集,C,为复数集,):,“,若,a,b,R,则,a,-,b,=0,a,=,b,”,类比推出,“,若,a,b,C,，则,a,-,b,=0,a,=,b,”,；,“,若,a,b,c,d,R,则复数,a,+,b,i=,c,+,d,i,a,=,c,b,=,d,”,类比推出,“,若,a,b,c,d,Q,，则,a,+,b,=,c,+,d,a,=,c,b,=,d,”,;,若,“,a,b,R,，则,a,-,b,0,a,b,”,类比推出,“,若,a,b,C,，则,a,-,b,0,a,b,”,.,其中类比结论正确的个,数是,(),A.0 B.1 C.2 D.3,解析,正确，错误,.,因为两个复数如果不全,是实数，不能比较大小,.,C,4.,（,2009,山东理，,10,）,定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足,则,f,(2 009),的值,为,(),A.-1 B.0 C.1 D.2,解析,当,x,0,时，,f,(,x,)=,f,(,x,-1)-,f,(,x,-2),f,(,x,+1)=,f,(,x,)-,f,(,x,-1).,f,(,x,+1)=-,f,(,x,-2),，即,f,(,x,+3)=-,f,(,x,),f,(,x,+6)=,f,(,x,).,即当,x,0,时，函数,f,(,x,),的周期是,6.,又,f,(2 009)=,f,(334,6+5)=,f,(5),由已知得,f,(-1)=log,2,2=1,，,f,(0)=0,f,(1)=,f,(0)-,f,(-1)=,-1,f,(2)=,f,(1)-,f,(0)=-1,f,(3)=,f,(2)-,f,(1)=-1-(-1)=0,f,(4)=,f,(3)-,f,(2)=0-(-1)=1,f,(5)=,f,(4)-,f,(3)=1.,C,5.,定义,A,*,B,，,B,*,C,，,C,*,D,，,D,*,A,的运算分别对应下图,中的,(1),、,(2),、,(3),、,(4),，那么下图中的,(A),、,(B),所对应的运算结果可能是,(),A.,B,*,D,A,*,D,B.,B,*,D,A,*,C,C.,B,*,C,A,*,D,D.,C,*,D,A,*,D,解析,由（,1,）（,2,）（,3,）（,4,）图得,A,表示,|,，,B,表,示，,C,表示,，,D,表示，故图（,A,）（,B,）表示,B,*,D,和,A,*,C,.,答案,B,6.,设 又记,f,1,(,x,)=,f,(,x,),f,k,+1,(,x,)=,f,(,f,k,(,x,),k,=1,2,则,f,2 009,(,x,),等于,(),A.B.,x,C.D.,解析,D,二、填空题,7.,考察下列一组不等式：,2,3,+5,3,2,2,5+2,5,2,2,4,+5,4,2,3,5+2,5,3,2,5,+5,5,2,3,5,2,+2,2,5,3,.,将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下,加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的,特例，则推广的不等式可以是,.,注：填,2,m,+,n,+5,m,+,n,2,m,5,n,+2,n,5,m,(,m,n,为正整数,),也对,.,a,m+n,+b,m+n,a,m,b,n,+,a,n,b,m,(,a,b0,a,b,m,n,0)(,或,a,b,0,a,b,m,n,为正整数,),8.,（,2009,江苏，,8,）,在平面上，若两个正三角形,的边长比为,12,，则它们的面积比为,14,，类,似地，在空间中,若两个正四面体的棱长比为,12,则它们的体积比为,.,解析,两个正三角形是相似的三角形，它,们的面积之比是相似比的平方,.,同理，两个正四,面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的,立方，所以它们的体积比为,18.,18,9.,现有一个关于平面图形的命题：,如图所示，同一个平面内有两个,边长都是,a,的正方形,其中一个的,某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的,面积恒为,.,类比到空间,有两个棱长均为,a,的正方,体，其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正,方体重叠部分的体积恒为,.,解析,在已知的平面图形中，中心,O,到两边的距离相等（如右图），即,OM,=,ON,.,四边形,OPAR,是圆内接四边形，所以,Rt,OPN,Rt,ORM,，,因此,S,四边形,OPAR,=,S,正方形,OMAN,=.,同样地，类比到空间，如下图,.,两个棱长均为,a,的正方体重叠部分的体积为,.,答案,三、解答题,10.,把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比,试由,“,平行四边形对边相等,”,得出平行六面体的,相关性质,.,解,如图所示，,由平行四边形的性质可知,AB,=,DC,，,AD,=,BC,，,于是类比平行四边形的性质,在平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,我们猜想：,S,ABCD,=,S,S,=,S,S,=,S,且由平行六面体对面是全等的平行四边形知，,此猜想是正确的,.,11.,用三段论的形式写出下列演绎推理,.,(1),若两角是对顶角，则两角相等，所以若两角,不相等，则两角不是对顶角；,(2),矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，,正方形的对角线相等；,(3)0.332,是有理数；,(4),y,=sin,x,（,x,R,）是周期函数,.,解,(1),若两个角是对顶角,则两角相等,(,大前提,),1,和,2,不相等，,(,小前提,),1,和,2,不是对顶角,.(,结论,),.,(2),每一个矩形的对角线相等，,(,大前提,),正方形是矩形，,(,小前提,),正方形的对角线相等,.(,结论,),(3),所有的循环小数是有理数，,(,大前提,),0.332,是循环小数，,(,小前提,),所以,0.332,是有理数,.(,结论,),(4),三角函数是周期函数，,(,大前提,),y,=sin,x,是三角函数，,(,小前提,),y,=sin,x,是周期函数,.(,结论,),.,.,12.,已知椭圆具有性质：若,M,、,N,是椭圆,C,上关于原,点对称的两个点，点,P,是椭圆上任意一点，当直线,PM,、,PN,的斜率都存在，并记为,k,PM,，,k,PN,时，那么,k,PM,与,k,PN,之积是与点,P,的位置无关的定值,.,试对双曲,线 写出具有类似特性的性质,并加以证,明,.,解,类似的性质为：若,M,、,N,是双曲线,上关于原点对称的两个点，点,P,是双曲线上任意,一点,当直线,PM,、,PN,的斜率都存在,并记为,k,PM,，,k,PN,时，那么,k,PM,与,k,PN,之积是与点,P,的位置无关的,定值,.,证明如下：,设点,M,、,P,的坐标分别为（,m,，,n,），（,x,，,y,），则,N,（,-,m,，,-,n,）,.,因为点,M,（,m,n,）在已知双曲线上，,返回,