高考数学总复习 第一单元第二节命题及其关系、充分条件与必要条件课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件,四种命题关系及真假的判定,若,a,、,b,、,c,R,，写出命题“若,ac,0,，则,ax,2,bx,c,0,有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假,分析,认清命题的条件,p,：,ac,0,和结论,q,：,b,2,4,ac,0,，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题根据方程,ax,2,bx,c,0,有两个不相等的实数根的条件，得,b,2,4,ac,0,，根据不等式,ac,0,和不等式,b,2,4,ac,0,的关系，判断三个命题的真假,解,逆命题：若,ax,2,bx,c,0(,a,、,b,、,c,R,),有两个不相等的实数根，则,ac,0,，是假命题如当,a,1,，,b,3,，,c,2,时，方程,x,2,3,x,2,0,有两个不等实根,x,1,1,，,x,2,2,，但,ac,2,0.,否命题：若,ac,0,，则方程,ax,2,bx,c,0(,a,、,b,、,c,R,),没有两个不相等的实数根，是假命题因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题,逆否命题：若,ax,2,bx,c,0(,a,、,b,、,c,R,),没有两个不相等的实数根，则,ac,0,，是真命题因为原命题是真命题，它与原命题等价,规律总结,由一个命题可以写出其他三种形式的命题，其关键是认清原命题的条件和结论，严格按照逆命题、否命题、逆否命题的形式定义依次写出判断命题的真假，需要依据相关的定义、公式、定理和结论等知识当然，有些命题间有“同真假关联性”，也可以作为判断的依据,变式训练,1,写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断命题的真假,(1),若,x,2,y,2,0,，则,x,、,y,全为,0,；,(2),若,a,b,是偶数，则,a,、,b,都是偶数；,(3),若,x,3,或,x,7,，则,(,x,3)(,x,7),0.,【,解析,】,因为原命题是“若,p,，则,q,”,的形式，根据其他三种命题的构造方法，分别写出逆命题、否命题、逆否命题,(1),逆命题：若,x,、,y,全为,0,，则,x,2,y,2,0,，命题为真；,否命题：若,x,2,y,2,0,，则,x,、,y,不全为,0,，命题为真；,逆否命题：若,x,、,y,不全为,0,，则,x,2,y,2,0,，命题为真,(2),逆命题：若,a,、,b,都是偶数，则,a,b,是偶数，命题为真；,否命题：若,a,b,不是偶数，则,a,、,b,不都是偶数，命题为真；,逆否命题：若,a,、,b,不都是偶数，则,a,b,不是偶数，命题为假,(3),逆命题：若,(,x,3)(,x,7),0,，则,x,3,或,x,7,，命题为真；,否命题：若,x,3,且,x,7,，则,(,x,3)(,x,7)0,，命题为真；,逆否命题：若,(,x,3)(,x,7)0,，则,x,3,且,x,7,，命题为真,充分条件与必要条件的判定,指出下列各组命题中，,p,是,q,的什么条件,(,在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种作答,),(1),在,ABC,中，,p,：,A,B,，,q,：,sin,A,sin,B,；,(2),对于实数,x,，,y,，,p,：,x,y,8,，,q,：,x,2,或,y,6,；,(3),在,ABC,中，,p,：,sin,A,sin,B,，,q,：,tan,A,tan,B,；,(4),已知,x,，,y,R,，,p,：,(,x,1),2,(,y,2),2,0,，,q,：,(,x,1)(,y,2),0.,分析,在上述题目中，给出了四个小题各小题内容涉及三角函数、不等式和方程的许多知识首先认定条件和结论，再利用相关知识判断命题的真假，进一步判断,p,和,q,的关系,解,(1),在,ABC,中，由正弦定理,=,，,故,sin,A,sin,B,a,b,，又由,a,b,A,B,，,所以,sin,A,sin,B,A,B,，即,p,是,q,的充要条件,(2),因为命题“若,x,2,且,y,6,，则,x,y,8”,是真命题，故,pq,；命题“若,x,y,8,，则,x,2,且,y,6”,是假命题，故,q,不能推出,p.,所以,p,是,q,的充分不必要条件,(3),取,A,120,，,B,30,，,p,不能推出,q,；取,A,30,，,B,120,，,q,不能推出,p,所以,p,是,q,的既不充分也不必要条件,(,4),因为,P,(1,2),，,Q,(x,，,y)|x,1,或,y,2,，,PQ.,所以,p,是,q,的充分不必要条件,规律总结,在充要条件的判断中，首先搞清哪个是命题的条件，哪个是命题的结论，准确理解充分性和必要性的含义常用的判断方法有：定义法直接判断；利用逆否命题的等价性转化然后判断，特别是条件和结论都是从否定形式给出时，更有必要；利用集合间的包含关系，转化后再判断总之，要注意恰当利用两个条件的特点，采取适当的方法判断,变式训练,(1),是否存在实数,m,，使得,2,x,m,0,是,x,2,2,x,3,0,的充分条件；,(2),是否存在实数,m,，使得,2,x,m,0,是,x,2,2,x,3,0,的必要条件,【,解析,】,(1),欲使,2,x,m,0,是,x,2,2,x,3,0,的充分条件，只要 ,x,|,x,1,或,x,3,，则只要 ,1,，即,m,2.,故存在实数,m,2,，使,2,x,m,0,是,x,2,2,x,3,0,的充分条件,(2),欲使,2,x,m,0,是,x,2,2,x,3,0,的必要条件，,则只要,x,|,x,1,或,x,3,故不存在实数,m,，使,2,x,m,0,是,x,2,2,x,3,0,的必要条件,充分必要条件的证明,求证：关于,x,的方程,ax,2,bx,c,0,有一根为,1,的充分必要条件是,a,b,c,0.,分析,分两个步骤完成，即必要性和充分性分别证明充分性、条件：,a,b,c,0,，结论：,ax,2,bx,c,0,有一根为,1,；必要性、条件：,ax,2,bx,c,0,有一根为,1,，结论：,a,b,c,0.,证明,必要性，即“若,x,1,是方程,ax,2,bx,c,0,的根，则,a,b,c,0”,x,1,是方程的根，将,x,1,代入方程，得,a,12,b,1,c,0,，即,a,b,c,0.,结论成立,充分性，即“若,a,b,c,0,，则,x,1,是方程,ax,2,bx,c,0,的根”,a,b,c,a,12,b,1,c,0,，,x,1,是方程,ax,2,bx,c,0,的根,综合知命题成立,规律总结,充要条件证明的关键是：根据定义确定哪个是已知条件，哪个是结论；再去确定充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题证明的过程实质上是两个互逆的推理过程证明的方式有时可以直接证明，有时转化后再证明,变式训练,3,求证：关于,x,的方程,x,2,mx,1,0,有两个负实根的充要条件是,m,2.,【,证明,】,充分性：,m,2,，,m,2,40,，,方程,x,2,mx,1,0,有实根,设,x,2,mx,1,0,的两个实根为,x,1,、,x,2,，,由根与系数的关系知,x,1,x,2,10,，,x,1,、,x,2,同号,又,x,1,x,2,m,2,，,x,1,、,x,2,同为负根,必要性：,x,2,mx,1,0,的两个实根,x,1,、,x,2,均为负，,且,x,1,x,2,1,，,m,2,(,x,1,x,2,),2,2,0,，,m,2.,综合知命题得证,反证法的应用,用反证法证明：设三个正实数,a,、,b,、,c,满足条件 ,2,，求证：,a,、,b,、,c,中至少有两个不小于,1.,分析,用反证法证题时，首先对结论进行否定，即“,a,，,b,，,c,中至多有一个不小于,1”,共有两种情况：“,a,、,b,、,c,三数均小于,1”,和“,a,、,b,、,c,中有两数小于,1”,由此作为基础，推出矛盾,证明,假设,a,，,b,，,c,中至多有一个不小于,1,，这包含下面两种情况：,a,、,b,、,c,三数均小于,1,，即,0,a,1,0,b,1,0,c,3,，与已知条件矛盾,a,、,b,、,c,中有两数小于,1,，设,0,a,1,0,b,2,2,，也与已知条件矛盾,假设不成立，,a,、,b,、,c,中至少有两个不小于,1.,规律总结,反证法有两种情形：其一，利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为易判断真假的逆否命题,(,尤其是对否定语句的命题,),，充分利用等价转化的思想方法，此时证明的命题为原命题的逆否命题其二，假设结论不成立，利用已知条件，推出与已知或已知定理相矛盾的结论，此时证明的命题不再是原命题的否命题总之，不论哪种情形的反证法，正确的反设，是正确运用反证法的前提,变式训练,4,已知,a,、,b,、,c,是互不相等的非零实数,求证：三个方程,ax,2,2,bx,c,0,，,bx,2,2,cx,a,0,，,cx,2,2,ax,b,0,至少有一个方程有两个相异实根,【,证明,】,(,反证法,),假设三个方程中都没有两个相异实根，,则,1,4,b,2,4,ac,0,，,2,4,c,2,4,ab,0,，,3,4,a,2,4,bc,0.,上述三个不等式两边分别相加有,a,2,2,ab,b,2,b,2,2,bc,c,2,c,2,2,ac,a,2,0,，,即,(,a,b,),2,(,b,c,),2,(,c,a,),2,0.,由题意,a,、,b,、,c,互不相等，式不能成立,假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根,1,否命题是将原命题的条件否定后作条件，将原命题的结论否定后作结论得到的命题写否命题最容易出现错误，学习中要注意掌握以下常见词语和其否定词语,.,原词语,等于,大于,小于,是,都是,至多有一个,至多有,n,个,至少有一个,任意的,任意两个,p,或,q,能,否定词语,不等于,不大于,不小于,不是,不都是,至少有两个,至少有,n,1,个,一个也没有,某个,某两个,綈,q,且綈,p,不能,注：在实数范围内，,“,不大于,”,就是,“”,，,“,不小于,”,就是,“”,2,对于不是“若,p,，则,q,”,型的命题，先将命题改写为“若,p,，则,q,”,的形式，才能写出命题的逆命题、否命题和逆否命题，凡是不能写成“若,p,，则,q,”,形式的命题，是没有所谓的逆命题、否命题和逆否命题的,3,互为逆否命题的真假性是一致的,(,这是反证法的理论基础,),，互逆命题和互否命题的真假性没有关系,4,充分、必要条件的判断方法,(1),定义法,p,是,q,的充分不必要条件,p,是,q,的必要不充分条件,p,是,q,的充要条件,p,是,q,的既不充分也不必要条件,(2),集合法,若,A,B,，则“,x,A,”,是“,x,B,”,的充分条件,5,用反证法证明问题的一般步骤,(1),反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；,(2),归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；,(3),结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确,6,适宜用反证法证明的数学命题,(1),结论本身以否定形式出现的命题；,(2),关于唯一性、存在性的命题；,(3),结论以“至多”“至少”等形式出现的命题,若,p,：,x,2,2,x,3,0,，,q,：,0,，则 的什么条件？,错解,：,x,2,2,x,30,1,x,3,，,：,0,2,x,3,，,的既不充分也不必要条件,错解分析,上述解法的错误在于对命题的否定的概念理解错误，误认为 ：,0.,事实上，当,x,2,x,6,0,也属于 的一部分，这样导致了不等价变换,正解,p,：,x,2,2,x,3,0,x,1,或,x,3,，,：,1,x,3.,q,：,0,x,2,或,x,3,，：,2,x,3.,，但 ，,是 的充分不必要条件,