高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 231 直线与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2.3,直线、平面垂直的判定及其性质,2.3.1,直线与平面垂直的判定,1.,直线与平面垂直的定义,自,然,语,言,文字叙述,有关概念,如果直线,l,与平面,内的,任意一条直线,都垂直,就说直线,l,与平面,互相垂直,记作,l,.,直线,l,叫做平面,的垂线,平面,叫做直线,l,的垂面,.,直线与平面垂直时,它们惟一的公共点,P,叫做垂足,.,图,形,语,言,图示,注释,画直线,l,与平面,垂直时,通常把直线画成与表示平,面的平行四边形的一边垂直,符号,语言,任意,a,都有,l,a,l,【,思考,】,定义中的“任何一条直线”与“所有直线”、“无数条直线”是同义语吗,?,提示,:,“,任何一条直线”与“所有直线”是同义语,;“,任何一条直线”与“无数条直线”不是同义语,.,2.,直线与平面垂直的判定定理,文字,语言,一条直线与一个平面内的,两条相交,直线都垂直,则该直线与此平面垂直,图形,语言,符号,语言,l,a,l,b,a,b,ab=P,l,【,思考,】,判定定理的条件中,把“两条相交直线”改为“两条直线”或“无数条直线”可以吗,?,提示,:,不可以,.,若两条直线不相交,(,即平,行,),即使直线垂直于平面内无数条直,线也不能判定直线与平面垂直,.,例如正,方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,AB,1,与平面,ABCD,内无数条直线垂,直,(,与直线,AD,平行或重合的所有直线,),但是,AB,1,与平面,ABCD,不垂直,.,3.,直线与平面所成的角,(1),预备知识,:,一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足,.,过斜线上,斜足以外的一点,向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影,.,(2),定义,:,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角,.,(3),基本模型,:,如图所示,PO,平面,直线,PA,与平面,交于点,A,直线,PA,与平面,所成的角是,PAO.,(4),规定,:,一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于,90;,一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于,0.,(5),范围,:,直线与平面所成的角,的范围是,090.,【,思考,】,斜线上斜足以外的一点可以任意选取吗,?,点的不同会影响角的大小吗,?,提示,:,斜线上斜足以外的一点可以任意选取,且直线与平面所成的角的大小不会因点的不同而改变,.,【,素养小测,】,1.,思维辨析,(,对的打“”,错的打“,”),(1),斜线与它在平面上的射影所成的角为,则,090.(,),(2),若三条直线,OA,OB,OC,两两垂直,则直线,OA,垂直于平面,OBC.(,),(3),若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线平行,.(,),提示,:,(1).,由直线与平面所成角的定义可知,此说法正确,.,(2).,因为,OAOB,OAOC,OBOC=O,且,OB,OC,确定一个平面,OBC,所以,OA,平面,OBC.,(3),.,例如在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,A,1,A,B,1,B,与底面,ABCD,所成的角相等,此时两直线平行,;A,1,B,1,B,1,C,1,与底面,ABCD,所成的角相等,此时两直线相交,;A,1,B,1,BC,与底面,ABCD,所成的角相等,此时两直线异面,.,2.,空间四边形,ABCD,的四边相等,则它的两对角线,AC,BD,的关系是,(,),A.,垂直且相交,B.,相交但不一定垂直,C.,垂直但不相交,D.,不垂直也不相交,【,解析,】,选,C.,取,BD,中点,O,连接,AO,CO,则,BDAO,BDCO,所以,BD,平面,AOC,所以,BDAC,又,BD,AC,异面,故不相交,.,3.,如图,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,直线,AB,1,与平面,ABCD,所成的角等于,_;AB,1,与平面,ADD,1,A,1,所成的角等于,_;AB,1,与平面,DCC,1,D,1,所成的角等于,_.,【,解析,】,B,1,AB,为,AB,1,与平面,ABCD,所成的角,即,45;B,1,AA,1,为,AB,1,与平面,ADD,1,A,1,所成的角,即,45;AB,1,与平面,DCC,1,D,1,平行,即所成的角为,0.,答案,:,45,45,0,类型一线面垂直的定义及判定定理的理解,【,典例,】,1.,下列说法中,正确的是,(,),A.,若直线,l,不垂直于平面,则,内没有与,l,垂直的直线,B.,若直线,l,垂直于平面,则,l,与平面,内的直线可能相交,可能异面,也可能平行,C.,若,ab,a,l,则,l,b,D.,若,ab,b,则,a,2.,如果一条直线垂直于一个平面内的,_,则能保证该直线与平面垂直,.(,),三角形的两边梯形的两边圆的两条直径,正六边形的两条边,A.,B.,C.,D.,3.,已知,m,和,n,是两条不同的直线,和,是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出,m,的是,(,),A.,且,m,B.mn,且,n,C.mn,且,n,D.mn,且,n,【,思维,引,】,1.,依据线面垂直的定义逐项判断,.,2.,依据线面垂直的判定定理和有关平面图形的性质逐个判断,.,3.,根据面面平行、线面平行的定义和线面垂直的定义逐项判断,.,【,解析,】,1.,选,C.,当,l,与,不垂直时,l,可能与,内的无数条平行直线垂直,故,A,错,;,当,l,时,l,与,内的直线相交或异面,但不会平行,故,B,错,;,由,a,l,又,ab,所以,l,b,所以,C,正确,;,而,D,中,a,可能在,内,所以,D,错误,.,2.,选,A.,由线面垂直的判定定理知,直线垂直于平面,;,对于图形中的两边不一定是相交直线,所以该直线与它们所在的平面不一定垂直,.,3.,选,B.A,项,且,m,则,m,故,A,不正确,;,B,项,n,则,n,垂直于,内的任意一条直线,又,mn,可知,m,也垂直于平面,内的任意一条直线,所以,m,故正确,;C,项,D,项,由,mn,n,或,mn,n,可得,m,与,的关系可以是,m,或,m,或,m,与,相交,故不正确,.,【,内化,悟,】,空间中直线与直线垂直有哪两种情况,?,证明方法有何不同,?,提示,:,(1),相交垂直,.,利用等腰三角形三线合一的性质、菱形对角线垂直、勾股定理逆定理等方法证明,;,(2),异面垂直,.,通常转化为证明线面垂直,.,【,类题,通,】,1.,直线与平面垂直的定义的双重作用,一是判定,是指如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么这条直线就与这个平面垂直,;,二是性质,是指如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线,.,2.,线面垂直判定定理的两点注意,一是注意平面内的两条相交直线,;,二是注意某直线与哪两条相交直线垂直,.,【,习练,破,】,下列说法中,正确的有,(,),过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条,.,过直线,l,外一点,P,有且仅有一个平面与,l,垂直,;,垂直于角的两边的直线必垂直于角所在的平面,;,过点,A,垂直于直线,a,的所有直线都在过点,A,垂直于,a,的平面内,.,A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,【,解析,】,选,D.,正确,;,正确,;,正确,.,【,加练,固,】,1.,直线,l,平面,直线,m,则,l,与,m,不可能,(,),A.,平行,B.,相交,C.,异面,D.,垂直,【,解析,】,选,A.,因为直线,l,平面,所以,l,与,相交,.,又因为,m,所以,l,与,m,相交或异面,.,由直线与平面垂直的定义,可知,l,m.,故,l,与,m,不可能平行,.,2.,下列表述正确的个数为,(,),若直线,a,平面,直线,ab,则,b;,若直线,a,平面,b,且,ab,则,a;,若直线,a,平行于平面,内的两条直线,则,a;,若平面,内有一条直线与直线,l,不垂直,则直线,l,与平面,不垂直,.,A.0B.1C.2D.3,【,解析,】,选,B.,错误,b,与,还可能平行、斜交或,b,在平面,内,.,错误,a,与,还可能平行或斜交,错误,a,还可能在平面,内,.,正确,根据线面垂直的定义,若,l,则,l,与,内的所有直线都垂直,.,类型二线面垂直判定定理的应用,【,典例,】,1.,如图,PAO,所在的平面,AB,是,O,的直径,C,是,O,上的一点,AEPB,于,E,AFPC,于,F,给出下列结论,:BC,平面,PAC;AF,平面,PCB;EFPB;AE,平面,PBC.,其中正确结论的个数是,(,),A.1B.2C.3D.4,2.(2018,全国卷,改编,),如图,在三棱锥,P-ABC,中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O,为,AC,的中点,.,证明,:PO,平面,ABC.,【,思维,引,】,1.,首先推出,BC,平面,PAC,进而推出其他线面垂直关系,.,2.OPAC,是比较明显的,所以关键是证明,OPOB,可考虑用勾股定理的逆定理,.,【,解析,】,1.,选,C.,因为,PA,O,所在的平面,BC,O,所在,的平面,所以,PABC,而,BCAC,ACPA=A,所以,BC,平,面,PAC,故正确,;,又因为,AF,平面,PAC,所以,AFBC,而,AFPC,PCBC=C,所以,AF,平面,PCB,故正确,;,而,PB,平面,PCB,所以,AFPB,而,AEPB,AEAF=A,所以,PB,平面,AEF,而,EF,平面,AEF,所以,EFPB,故正确,;,因为,AF,平面,PCB,假设,AE,平面,PBC,所以,AFAE,显然不成立,故不正确,.,2.,因为,AP=CP=AC=4,O,为,AC,的中点,所以,OPAC,且,OP=2 .,连接,OB.,因为,AB=BC=AC,所以,ABC,为等腰直角三角形,且,OBAC,OB=AC=2.,由,OP,2,+OB,2,=PB,2,知,OPOB.,由,OPOB,OPAC,OBAC=O,知,PO,平面,ABC.,【,素养,探,】,在与线面垂直判定定理的应用有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究线线垂直、线面垂直的判定,体会线线垂直和线面垂直的相互转化,.,将本例,2,三棱锥满足的条件改为,PABC,PCAB,求证,:PBAC.,【,证明,】,过,P,作,PO,平面,ABC,于,O,连接,OA,OB,OC.,因为,PO,平面,ABC,BC,平面,ABC,所以,POBC.,又因为,PABC,PAPO=P,所以,BC,平面,PAO.,又因为,OA,平面,PAO,所以,BCOA.,同理,可证,ABOC.,所以,O,是,ABC,的垂心,.,所以,OBAC.,又因为,POAC,POOB=O,所以,AC,平面,PBO.,又,PB,平面,PBO,所以,PBAC.,【,类题,通,】,线面垂直的判定方法,(1),证明线面垂直的方法,线面垂直的定义,.,线面垂直的判定定理,.,如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,.,如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面,.,(2),利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤,:,在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直,;,确定这个平面内的两条直线是相交的直线,;,根据判定定理得出结论,.,【,习练,破,】,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,求证,:A,1,C,平面,BC,1,D.,【,证明,】,如图,连接,AC,由题知,ACBD.,又因为,BDA,1,A,ACAA,1,=A,AC,A,1,A,平面,A,1,AC,所以,BD,平面,A,1,AC,因为,A,1,C,平面,A,1,AC,所以,BDA,1,C.,同理可证,BC,1,A,1,C.,又因为,BDBC,1,=B,BD,BC,1,平面,BC,1,D,所以,A,1,C,平面,BC,1,D.,【,加练,固,】,如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面,ABCD,是矩形,PA,平面,ABCD,AP=AB=2,BC=2 ,E,F,分别是,AD,PC,的中点,.,证明,:PC,平面,BEF.,【,证明,】,如图,连接,PE,EC,在,RtPAE,和,RtCDE,中,PA=AB=CD,AE=DE,所以,PE=CE,即,PEC,是等腰三角形,.,又,F,是,PC,的中点,所以,EFPC.,又,BP=BC,F,是,PC,的中点,所以,BFPC.,又,BFEF=F,所以,PC,平面,BEF.,类型三直线与平面所成的角,【,典例,】,1.(2018,全国卷,),在长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,AB=BC=2,AC,1,与平面,BB,1,C,1,C,所成的角为,30,则该长,方体的体积为,(,),A.8B.6 C.8 D.8,2.,如图所示,在四棱台,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,底面,ABCD,是平,行四边形,DD,1,平面,ABCD,AB=2AD,BD=AD,AD=A,1,B,1,.,(1),证明,:BD,平面,ADD,1,A,1,.,(2),证明,:CC,1,平面,A,1,BD.,(3),若,DD,1,=AD,求直线,CC,1,与平面,ADD,1,A,1,所成角的正弦值,.,【,思维,引,】,1.,根据,AB,平面,BB,1,C,1,C,找到直线,AC,1,与平面,BB,1,C,1,C,所成的角,进而依据题目条件求出,CC,1,.,2.(1),依据题目条件证明,ADBD,DD,1,BD;,(2),作辅助线构造平行四边形,用线面平行的判定定理证明,;,(3),一方面要注意依据,(2),的结论进行转化,另一方面要依据,(1),的结论作出所求角,.,【,解析,】,1.,选,C.,如图,连接,AC,1,和,BC,1,因为,AB,平面,BB,1,C,1,C,AC,1,与平面,BB,1,C,1,C,所成角为,30,所以,AC,1,B=30,所以,=tan 30,BC,1,=2 ,所以,CC,1,=2 ,所以,V=222 =8 .,2.(1),在,ABD,中,因为,AB=2AD,BD=AD,所以,AD,2,+BD,2,=AB,2,所以,ADBD,因为,DD,1,平面,ABCD,且,BD,平面,ABCD.,所以,DD,1,BD,又,ADDD,1,=D,所以,BD,平面,ADD,1,A,1,.,(2),连接,AC,A,1,C,1,设,ACBD=E,连接,EA,1,因为四边形,ABCD,是平行四边形,所以,EC=AC,由棱台定义及,AB=2AD=2A,1,B,1,知,A,1,C,1,EC,且,A,1,C,1,=EC,所以四边形,A,1,ECC,1,是平行四边形,因此,CC,1,EA,1,又因为,EA,1,平面,A,1,BD,所以,CC,1,平面,A,1,BD.,(3),由,(2),可知直线,EA,1,与平面,ADD,1,A,1,所成角即是直线,CC,1,与平面,ADD,1,A,1,所成角,.,因为,BD,平面,ADD,1,A,1,所以,EA,1,D,是直线,EA,1,与平面,ADD,1,A,1,所成角,在,A,1,D,1,D,中,DD,1,=AD,A,1,D,1,=AD,A,1,D,1,D=90,所以,A,1,D=AD,又因为,BD=AD,所以,DE=AD,所以,A,1,E=AD.,则,sinEA,1,D=,故直线,CC,1,与平面,ADD,1,A,1,所成角的正弦值为,.,【,内化,悟,】,作出直线与平面所成角的关键是什么,?,提示,:,关键是找出直线在平面内的射影,为此需找出过直线上一点的平面的垂线,.,【,类题,通,】,求斜线与平面所成角的步骤,(1),作图,:,作,(,或找,),出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算,.,(2),证明,:,证明某平面角就是斜线与平面所成的角,.,(3),计算,:,通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算,.,【,习练,破,】,已知三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为 的正三角形,若,P,为底面,A,1,B,1,C,1,的中心,则,PA,与平面,ABC,所成角的大小为,(,),A.75B.60C.45D.30,【,解析,】,选,B.,取正三角形,ABC,的中心,O,连接,OP,则,PAO,是,PA,与平面,ABC,所成的角,.,因为底面边长为,所以,AD=,AO=AD=1.,三棱柱的体积为,AA,1,=,解得,AA,1,=,即,OP=AA,1,=,所以,tanPAO=,即,PAO=60,.,【,加练,固,】,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,E,为,A,1,B,1,的中点,则,AE,与平面,ABC,1,D,1,所成角的正弦值为,_.,【,解析,】,如图,取,CD,的中点,F,连接,EF,交,平面,ABC,1,D,1,于,O,连接,AO,A,1,D.,由已知正方体易知,EO,平面,ABC,1,D,1,所以,EAO,为,AE,与平面,ABC,1,D,1,所成的角,设正方体棱长,为,1,在,RtEOA,中,EO=EF=A,1,D=,AE=,sinEAO=.,所以直线,AE,与平面,ABC,1,D,1,所成角的正弦值为,.,答案,:,