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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,2.2,集合的运算,知识整合,1,交集,对于两个给定的集合,A,、,B,，由属于,A,又属于,B,的所有元素所构成的集合，叫做,A,和,B,的,_,，记作,_,2,并集,一般地，对于两个给定的集合,A,、,B,，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做,A,与,B,的,_,，记作,A,B,.,3,全集,在研究集合与集合之间的关系时，如果,_,，那么称这个给定的集合为全集，通常用,U,表示,特别警示：,(1),全集决定了我们所研究的其他集合都是它的子集；,(2),全集选择的不同，则运算的结果就有可能不同,4,补集,如果给定集合,A,是全集,U,的一个子集，由,_,，叫做,A,在全集,U,中的补集，记作,U,A,.,5,交集的运算性质,对于任何集合,A,、,B,，有,(1),A,B,B,A,；,(2),A,A,_,；,(3),A,_,；,(4),A,B,_,A,，,A,B,_,B,；,(5),A,B,A,_.,6,并集的运算性质,(1),A,B,B,A,；,(2),A,A,_,；,(3),A,_,；,(4),A,B,_,A,，,A,B,_,B,；,(5),A,B,B,_.,7,交集、并集、补集的关系,A,(,U,A,),；,A,(,U,A,),U,.,8,常见结论,(1),A,B,A,A,B,；,A,B,A,A,B,；,(2),A,(,U,A,),U,；,A,(,U,A,),.,9,经验公式,(1),U,(,A,B,),(,U,A,),(,U,B,),；,U,(,A,B,),(,U,A,),(,U,B,),；,(2)card(,A,B,),card(,A,),card(,B,),card(,A,B,)(,其中,card(,A,),表示集合,A,中的元素的个数,),对于,(1),可理解：,“,并之补,”,等于,“,补之交,”,，,“,交之补,”,等于,“,补之并,”,可通过,Venn,图加以记忆,答案：,1.,交集,A,B,2.,并集,3,所要研究的集合都是某一给定集合的子集,4,U,中不属于,A,的所有元素构成的集合,5,A,A,B,6,A,A,A,B,名师解答,1,可否用,Venn,图理解,A,与,B,的交集及,A,与,B,的并集的几种情况？,(1),用,Venn,图表示,A,B,有下列几种情况：,(,阴影部分为,A,B,),A,与,B,相交，有公共元素，但互不包含,A,与,B,分离，无公共元素,(2),用,Venn,图表示,A,B,有下列几种情况：,(,阴影部分为,A,B,),A,与,B,相交，有公共元素，但互不包含,A,与,B,分离，无公共元素,2,设集合,U,为全集，集合,A,，,B,是全集,U,的子集，则有以下两个重要结论：,U,(,A,B,),U,A,U,B,U,(,A,B,),U,A,U,B,.,这两个结论，可否通过,Venn,图清楚明了地表示出来呢？,(1),用,Venn,图表示：,U,(,A,B,),U,A,U,B,.,(2),用,Venn,图表示：,U,(,A,B,),U,A,U,B,.,深入学习,答案：,(1)C,(2)A,分析：,注意集合,M,、,P,中的元素，确定出,M,、,P,，再求,M,P,.,(1),解法一：,M,中,x,1,0,，,x,1,，即,M,x,|,x,1,P,中,x,3,0,，,x,3,，即,P,x,|,x,3,M,P,x,|,1,x,3,，故选,C.,解法二：,M,P,的元素不是,(,x,，,y,),，,排除,A.,比较,B,与,C,，取,x,1,，,1,M,，,1,P,.,1,(,M,P,),，,排除,B.,比较,C,与,D,，取,x,2,，,2,M,，,排除,D.,故选,C.,评析：,解法一是直接法，求交集、并集时一般需先具体确定集合再求；解法二是排除法，即抓住选择项之间的差异，采用取特殊值或举反例等办法排除错选择项，达到去伪存真的目的，此法对求解选择题很有效,评析：,本节重点是交集、并集的概念，正确理解概念是进行集合间的交、并运算的关键,关于定义需注意：,A,B,中,“,或,”,的意义与日常用语中的,“,或,”,的意义不尽相同，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，,“,x,A,，或,x,B,”,包括下列三种情况：,x,A,，但,x,B,；,x,B,，但,x,A,；,x,A,，且,x,B,.,因为并不是任何两个集合总有公共元素，当,A,与,B,没有公共元素时，不能说,A,与,B,的交集不存在，而应说,A,B,.,变式训练,1,集合,A,x,|,x,2,3,x,2,0,，,B,x,|,x,2,ax,(,a,1),0,，,C,x,|,x,2,mx,2,0,，已知,A,B,A,，,A,C,C,，求实数,a,、,m,的值,解：,A,B,A,，,B,A,.,又,A,C,C,，,C,A,.,A,x,|,x,2,3,x,2,0,1,2,，,B,x,|,x,2,ax,(,a,1),0,x,|(,x,a,1)(,x,1),0,，,又,B,A,，,a,1,2,或,a,1,1.,即,a,3,或,a,2.,当,a,3,时，,B,1,2,；当,a,2,时，,B,1,题型二,集合的运算,【,例,2】,设,U,R,，已知集合,A,x,|,5,x,5,，,B,x,|0,x,7,，求,(1),A,B,；,(2),A,B,；,(3),A,(,U,B,),；,(4),B,(,U,A,),；,(5)(,U,A,),(,U,B,),分析：,本题是不等式问题，凡不等式中的交、并、补问题，可以画数轴解决,解：,如下图,(1),A,B,x,|0,x,5,(2),A,B,x,|,5,x,7,(3),如下图,U,B,x,|,x,0,，或,x,7,，,A,(,U,B,),x,|,x,5,，或,x,7,(4),如下图,U,A,x,|,x,5,，或,x,5,，,B,(,U,A,),x,|5,x,7,(5),解法一：,U,B,x,|,x,0,，或,x,7,，,U,A,x,|,x,5,，或,x,5,如下图,(,U,A,),(,U,B,),x,|,x,5,，或,x,7,解法二：,(,U,A,),(,U,B,),U,(,A,B,),x,|,x,5,，或,x,7,评析：,(1),数轴法的特点是简单直观，因此，要注意将数轴画出来，只有对数轴的运用达到熟练掌握了，就可以不必画数轴了，但也应在草稿上或自己的头脑中画出数轴，避免出错,(2),要注意各个端点的画法：能取到端点的值时，用实心的点在数轴上表示；取不到端点的值时，用空心的圈在数轴上表示,(3),一定要注意,A,U,A,U,，,A,U,A,，从而决定端点的去留,题型三,利用韦恩图解题,【,例,3】,已知全集,U,不大于,20,的质数,，,M,、,N,是,U,的子集，且满足,M,(,U,N,),3,5,，,(,U,M,),N,7,19,，,(,U,M,),(,U,N,),2,17,，求,M,，,N,.,解：,M,(,U,N,),3,5,，,3,M,5,M,3,N,5,N,.,又,(,U,M,),N,7,19,，,7,M,19,M,7,N,19,N,.,又,(,U,M,),(,U,N,),U,(,M,N,),2,17,，,2,M,2,N,17,M,17,N,.,由以上分析，画出图,又,11,U,(,M,N,),，,11,M,N,.,11,M,(,U,N,),，,11,N,，或,11,M,N,.,又,11,(,U,M,),N,，,11,M,，或,11,M,N,.,11,既不在,M,(,U,N,),中，同时又不在,(,U,M,),N,中，所以即,11,M,N,.,同理，,13,M,N,.,M,3,5,11,13,，,N,7,11,13,19,评析：,对于一些与数集有关的问题，直接凭空去想，很容易陷入误区，理不清头绪如果采用韦恩图来分析问题，则题目会变得很直观，很容易理清思路，使问题获解,变式训练,3,某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有,27,人，参加物理竞赛的有,25,人，参加化学竞赛的有,27,人，其中参加数学、物理两科的有,10,人，参加物理、化学两科的有,7,人，参加数学、化学两科的有,11,人，而参加数、理、化三科的有,4,人，求出全班人数,分析：,本题考查集合的运算，解题的关键是把文字语言转化成集合语言，借助于韦恩图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解,解：,设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为,A,、,B,、,C,，由题意可知,A,、,B,、,C,三集合中元素个数分别为,27,、,25,、,27,，,A,B,、,B,C,、,A,C,、,A,B,C,的元素个数分别为,10,、,7,、,11,、,4.,画出韦恩图，如图,可知全班人数为,10,13,12,6,4,7,3,55(,人,),评析：,(1),能正确使用一些集合符号把文字语言转化成集合语言、图形语言是我们把实际问题转化成数学问题的重要一步，它实现了实际问题向数学问题的转化,(2),一般地，用,card(,A,),、,card(,B,),、,card(,C,),分别表示集合,A,、,B,、,C,中元素的个数，则有,card(,A,B,C,),card(,A,),card(,B,),card(,C,),card(,A,B,),card(,B,C,),card(,A,C,),card(,A,B,C,),题型四,利用集合运算性质求参数的取值范围,【,例,4】,已知集合,A,x,|,x,2,4,x,3,0,，,B,x,|,x,2,ax,1,a,0,，,C,x,|,x,2,mx,1,0,，且,A,B,A,，,A,C,C,，求,a,、,m,的取值或取值范围,分析：,可知求集合,A,，再由,A,B,A,B,A,，,A,C,C,C,A,，然后根据方程根的情况进行讨论,解：,A,1,3,，,B,x,|(,x,1)(,x,1,a,),0,A,B,A,，,B,A,.,a,1,3,，或,a,1,1.,a,4,，或,a,2.,又,A,C,C,，,C,A,.,若,C,，则,m,2,40,，,2,m,4,，所以,P,R,Q,P,x,|,x,3(,如下图,(2),评析：,(1),在求集合的交集、并集、补集时，应首先求出各集合本题中，虽然表示集合元素的字母不同，但它们都是数集,(2),在求集合的补集时要注意边界,(3),求数集的交集、并集、补集往往借助于数轴,【,例,2】,设,A,x,|,a,x,a,3,，,B,x,|,x,5,，当,a,为何值时,(1),A,B,；,(2),A,B,；,(3),A,B,A,；,(4),A,R,B,R,B,.,(2),由补集的定义可知，,A,B,的反面就是,A,B,.,当,a,2,时，,A,B,.,(3),A,B,A,，,A,B,.,由下图得，,a,35.,即,a,5,时，,A,B,A,.,题型二,解探索性问题,【,例,3】,已知,A,(,x,，,y,)|,x,n,，,y,an,b,，,n,Z,，,B,(,x,，,y,)|,x,m,，,y,3,m,2,15,，,m,Z,；,C,(,x,，,y,)|,x,2,y,2,144,，问是否存在实数,a,，,b,使得,(1),A,B,，,(2)(,a,，,b,),C,同时成立？,分析：,假设存在,a,，,b,，使得,(1),成立，得到,a,与,b,的关系后与,a,2,b,2,144,联立，然后讨论联立的不等式组,评析：,此解法中,“,0,”,仅是一个方程有解的必要条件，也就是说,0,只能保证直线与抛物线有公共点，但这个公共点不一定是整数点，进而再利用另一个条件，由于求得的,a,，,b,不能使两曲线的交点为整数点，所以符合题意的,a,，,b,就不存在了,解答探索性数学问题，凡是涉及,“,是否存在,”,，,“,是否具有某种性质,”,等这一类的未定结论的讨论式探索性问题，我们总是先假定结论成立，进而进行演绎推理，在推导过程中，若出现矛盾，即可否定我们的假设，则问题的另一面成立；如果推导过程流畅，没有受阻，没有矛盾成立，一直能推导到符合已知的真理,(,公理、定理等,),或已知条件，这时我们说假设存在,题型三,用,“,正难则反,”,的策略解题,“,正难则反,”,策略是指某一类问题从正面解决比较困难时，我们可以反面入手解决这种,“,正难则反,”,的解题方法，运用的就是补集思想，设全集为,U,，求子集,A,，若直接求,A,困难，可先求,U,A,，再由,U,(,U,A,),A,求,A,.,【,例,4】,若三个方程,x,2,4,ax,4,a,3,0,，,x,2,(,a,1),x,a,2,0,，,x,2,2,ax,2,a,0,至少有一个方程有实数解，求实数,a,的取值范围,分析：,此题若从正面入手，需对各种可能情况一一讨论，非常繁琐，若考虑反面，则只有一种情况：三个方程都没有实数解，利用判别式去求解，然后取补集即可,评析：,一般地，如果一个数学问题从正面入手困难可作逆向思考则常可奏效如含有,“,至多,”,、,“,至少,”,等条件的题目，不要忘记取其补集,1,进行集合的运算时应当注意：,(1),勿忘对空集情形的讨论；,(2),勿忘集合中元素的互异性；,(3),对于集合,A,的补集进行运算，勿忘,A,必须是全集的子集；,(4),对于含参数,(,或特定系数,),的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍,2,在集合运算过程中应力求做到,“,三化,”,：,(1),意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？是表示函数的自变量的取值范围，或因变量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集？,(2),具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式,(3),直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题,【,例,5】,已知集合,A,x,|,x,2,4,ax,2,a,6,0,，,B,x,|,x,0,，若,A,B,，求,a,的取值范围,解：,由,B,x,|,x,0,，,A,B,可知，方程,x,2,4,ax,2,a,6,0,至少有一个负根，因此本题要分：有两个负根、一负根一零根、一负根一正根这三种情况求解，比较麻烦，这时，我们不妨考虑问题的反面：方程,x,2,4,ax,2,a,6,0,没有负根的情形,评析：,(1),对于一些解题过程繁琐，难以从正面解决的问题，不妨从问题的反面入手，探求已知和未知的联系，用间接的方法将问题解决，我们称这种解决问题的策略为,“,正难则反,”,的策略，其实质是运用了,“,补集思想,”,(2),由于,U,A,是,A,的补集，因此在解题时，遇到比较困难的问题，可以转化为求问题的反面，采用间接的方法将问题解决,题型四,数学在日常生活中的应用,【,例,6】,某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为,49%,，电视机拥有率为,85%,，洗衣机拥有率为,44%,，至少拥有上述三种电器中两种以上的占,63%,，三种电器齐全的为,25%,，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为,(,),A,10%B,12%,C,15%D,27%,答案：,A,分析：,这是一个小型应用题，把各种人群看做集合，本题就是已知全集元素个数，求其某个子集的元素个数，可借助,Venn,图解决,解：,不妨设调查了,100,户农户，,U,被调查的,100,户农户,，,A,100,户中拥有电冰箱的农户,，,B,100,户中拥有电视机的农户,，,C,100,户中拥有洗衣机的农户,，由图知，,A,B,C,的元素个数为,49,85,44,63,25,90.,U,(,A,B,C,),的元素个数为,100,90,10.,故选,A.,评析：,善于用数学中的集合知识解决日常生活中的实际问题，有时可以借助韦恩图,分析：,首先假设这样的,a,存在，则,A,B,成立，由此推出,A,B,，则一元二次方程的判别式,0,，照此计算下去，结果就会显露出来,评析：,本题有两个关键点：其一，由,A,B,得,A,且,B,，因此，得到由判别式构成的不等式组其二，不等式组的解法，虽然在后面我们还将专门学习,“,一元二次不等式解法,”,，但根据实数的,“,同号相乘得正，异号相乘得负,”,的性质，我们现在也能解部分一元二次不等式，但要特别注意何时取交集，何时取并集,【,例,8】,我们知道，如果集合,A,S,，那么,S,的子集,A,的补集为,S,A,x,|,x,S,，且,x,A,类似地，对于集合,A,、,B,，我们把集合,x,|,x,A,，且,x,B,叫做集合,A,与,B,的差集，记作,A,B,.,例如，,A,1,2,3,4,5,，,B,4,5,6,7,8,，则有,A,B,1,2,3,，,B,A,6,7,8,，据此，试回答下列问题：,(1),S,是高一,(1),班全体同学的集合，,A,是高一,(1),班全体女同学的集合，求,S,A,及,S,A,；,(2),在下图中用阴影表示集合,A,B,；,(3),如果,A,B,，那么集合,A,与,B,之间具有怎样的关系？,分析：,本题是一道信息题，要求阅读理解题目中给出的信息，并给出解答考查同学们认知新知识的能力,解：,(1),S,A,S,A,x,|,x,是高一,(1),班的全体男同学,(2),如下图中阴影部分所示,(3),A,B,.,
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