高三数学高考二轮复习专题课件9：导数及其应用 课件.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.,了解导数的实际背景,理解导数的几何意义,熟记导,数基本公式,掌握导数基本运算,.,2.,能利用导数确定函数单调性,求单调区间,求函数的,极值和最值,.,3.,能利用导数解决实际问题,.,学案,9,导数及其应用,1.,函数,f,(,x,)=(,x,-3)e,x,的单调递增区间是,(),A.(-,2)B.(0,3),C.(1,4)D.(2,+),解析,f,(,x,)=(,x,-3)e,x,+(,x,-3)(e,x,),=(,x,-2)e,x,令,f,(,x,),0,解得,x,2.,D,2.,设,a,b,函数,y,=(,x,-,a,),2,(,x,-,b,),的图象可能是 （）,解析,y,=(,x,-,a,)(3,x,-2,b,-,a,),由,y,=0,得,x,=,a,或 当,x,=,a,时，,y,取极大值,0,，,当 时,y,取极小值且极小值为负,.,或当,x,b,时,y,0,当,x,b,时,，,y,0.,C,3.(2009,江西,),设函数,f,(,x,)=,g,(,x,)+,x,2,曲线,y,=,g,(,x,),在点,(1,g,(1),处的切线方程为,y,=2,x,+1,则曲线,y,=,f,(,x,),在点,(1,f,(1),处切线的斜率为,(),A.4 B.C.2 D.,解析,由已知,g,(1)=2,而,f,(,x,)=,g,(,x,)+2,x,所以,f,(1)=,g,(1)+2,1=4.,A,4.,已知二次函数,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,的导数为,f,(,x,),f,(0),0,对于任意实数,x,都有,f,(,x,)0,则 的最小值,为,(),A.3 B.C.2 D.,解析,因为,f,(,x,)=2,ax,+,b,依题意,有 可得,c,0,C,题型一 曲线的切线与函数的单调区间问题,【,例,1】(2009,全国,),已知函数,f,(,x,)=,x,4,-3,x,2,+6.,(1),讨论,f,(,x,),的单调性；,(2),设点,P,在曲线,y,=,f,(,x,),上,若该曲线在点,P,处的切线,l,通过坐标原点，求,l,的方程,.,解,(1),f,(,x,)=4,x,3,-6,x,=4,x,(,x,+)(,x,-),当,x,(-,),和,x,(0,),时,f,(,x,),0;,当,x,(,0),和,x,(,+),时,f,(,x,),0.,因此,f,(,x,),在区间,(-,),和,(0,),上是减函数,f,(,x,),在区间,(,0),和,(,+),上是增函数,.,(2),设点,P,的坐标为,(,x,0,f,(,x,0,),由,l,过原点知，,l,的方程为,y,=,f,(,x,0,),x,，,因此,f,(,x,0,)=,x,0,f,(,x,0,),，,因此切线,l,的方程为,【,探究拓展,】,一般地,涉及到函数的单调区间及求曲,线在某点处的切线问题,往往借助于导数这一重要工,具求解,通过判断导函数的符号,确定函数的单调区,间,通过求出函数在某点处的导函数值,确定曲线在,此点处切线的斜率，进而求出切线方程,.,变式训练,1 (2009,安徽,),已知函数,f,(,x,)=,x,-+,a,(2-,ln,x,),a,0,讨论,f,(,x,),的单调性,.,解,f,(,x,),的定义域是,(0,+),设,g,(,x,)=,x,2,-,ax,+2,二次方程,g,(,x,)=0,的判别式,=,a,2,-8.,当,=,a,2,-8,0,即,0,a,时，,对一切,x,0,都有,f,(,x,),0,此时,f,(,x,),在,(0,+),上是,增函数,.,当,=,a,2,-8=0,即,a,=,时，,仅对,x,=,有,f,(,x,)=0,，,对其余的,x,0,都有,f,(,x,),0,，,此时,f,(,x,),在,(0,+),上也是增函数,.,当,=,a,2,-8,0,即,a,时，,方程,g,(,x,)=0,有两个不同的实根,此时,f,(,x,）在,(0,),上单调递增，,在,(),上单调递减，,在,(,+),上单调递增,.,x,(0,x,1,),x,1,(,x,1,x,2,),x,2,(,x,2,+),f,(,x,),+,0,-,0,+,f,(,x,),单调递增,极大,单调递减,极小,单调递增,题型二 函数的极值与最值问题,【,例,2】(2009,山东,),已知函数,f,(,x,)=,ax,3,+,bx,2,+,x,+3,其,中,a,0.,(1),当,a,b,满足什么条件时,f,(,x,),取得极值？,(2),已知,a,0,且,f,(,x,),在区间,(0,1,上单调递增,试用,a,表示出,b,的取值范围,.,解,(1),由已知得,f,(,x,)=,ax,2,+2,bx,+1,令,f,(,x,)=0,得,ax,2,+2,bx,+1=0,f,(,x,),要取得极值,方程,ax,2,+2,bx,+1=0,必须有解，,所以,=4,b,2,-4,a,0,即,b,2,a,此时方程,ax,2,+2,bx,+1=0,的根为,所以,f,(,x,)=,a,(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,).,当,a,0,时,f,(,x,),f,(,x,),随,x,的变化情况如下表：,所以,f,(,x,),在,x,1,x,2,处分别取得极大值和极小值,.,x,(-,x,1,),x,1,(,x,1,x,2,),x,2,(,x,2,+),f,(,x,),+,0,-,0,+,f,(,x,),增函数,极大值,减函数,极小值,增函数,当,a,0,时,，,f,(,x,),f,(,x,),随,x,的变化情况如下表：,所以,f,(,x,),在,x,1,x,2,处分别取得极大值和极小值,.,综上，当,a,b,满足,b,2,a,时，,f,(,x,),取得极值,.,x,(-,x,2,),x,2,(,x,2,x,1,),x,1,(,x,1,+),f,(,x,),-,0,+,0,-,f,(,x,),减函数,极小值,增函数,极大值,减函数,(2),要使,f,(,x,),在区间,(0,1,上单调递增，,需使,f,(,x,)=,ax,2,+2,bx,+10,在,(0,1,上恒成立,.,【,探究拓展,】,求解函数的极值与最值问题常常利用求,导的方法来解决,解决这类问题的一般方法是,:(1),分,析得出函数的定义域；,(2),判断函数是否可导，如可,导，则利用导函数求最值的方法进行求解,否则利用,函数性质求解；,(3),如果一个函数在开区间内只有一,个极值点，那么它也是相应的最值点,.,变式训练,2,设关于,x,的方程,2,x,2,-,ax,-2=0,的两根分别为,(1),证明,:,f,(,x,),在区间 上是增函数；,(2),当,a,为何值时,f,(,x,),在区间 上的最大值与最,小值之差最小,.,(1),证明,由方程,2,x,2,-,ax,-2=0,的两根分别为 知,x,时,2,x,2,-,ax,-2,0,所以此时,f,(,x,),0,所以,f,(,x,),在区间 上是增函数,.,(2),解,由,(1),知在 上,f,(,x,),是增函数,.,则,f,(,x,),在区间 的最小值为 最大值为,所以当,a,=0,时,f,(,x,),在区间 上的最大值与最小值之,差最小，最小值为,4.,题型三 导数与不等式,【,例,3】,设函数,f,(,x,)=,x,4,+,ax,3,+2,x,2,+,b,(,x,R,),其中,a,、,b,R.,(1),当,a,=,时，讨论函数,f,(,x,),的单调性；,(2),若函数,f,(,x,),仅在,x,=0,处有极值,求,a,的取值范,围；,(3),若对于任意的,a,-2,2,不等式,f,(,x,)1,在,-1,1,上恒成立,求,b,的取值范围,.,解,(1),f,(,x,)=4,x,3,+3,ax,2,+4,x,=,x,(4,x,2,+3,ax,+4).,f,(,x,)=,x,(4,x,2,-10,x,+4)=2,x,(2,x,-1)(,x,-2).,令,f,(,x,)=0,解得,x,1,=0,x,2,=,x,3,=2.,当,x,变化时，,f,(,x,),f,(,x,),的变化情况如下表：,所以,f,(,x,),在,(0,),(2,，,+,）内是增函数，,在（,-,0),(,2),内是减函数,.,x,(-,0,),0,2,(2,+,),f,(,x,),-,0,+,0,-,0,+,f,(,x,),极小值,极大值,极小值,（,2,）,f,(,x,)=,x,(4,x,2,+3,ax,+4),显然,x,=0,不是方程,4,x,2,+3,ax,+4=0,的根,.,为使,f,(,x,),仅在,x,=0,处有极值,必须有,4,x,2,+3,ax,+40,恒成,立，即有,=9,a,2,-640.,解此不等式，得,这时，,f,(0)=,b,是唯一极值,.,因此满足条件的,a,的取值范围是,.,(3),由条件,a,-2,2,可知,=9,a,2,-64,0,从而,4,x,2,+3,ax,+4,0,恒成立,.,当,x,0,时，,f,(,x,),0,；当,x,0,时，,f,(,x,),0.,因此函数,f,(,x,),在,-1,1,上的最大值是,f,(1),与,f,(-1),两者中的较大者,.,为使对任意的,a,-2,2,不等式,f,(,x,)1,在,-1,1,上恒成立，当且仅当,所以,b,-4,因此满足条件的,b,的取值范围是（,-,，,-4,.,【,探究拓展,】,本小题主要考查了函数的单调性、导,数、极大,(,小,),值及不等式恒成立问题,在解答这类问,题时,要注意利用导函数的符号判断单调性,切记,导,函数的偶次重根不是极值点,，,解答不等式恒成立问,题,往往涉及函数的单调性，一定要判断出函数在所,给区间上的单调性，利用函数的单调性解题,能大大,简化解题过程，使解答变得简单明了,.,变式训练,3,已知函数,(,c,0,且,c,1,k,R),恰有一个极大值点和一个极小值点,.,其中一个,是,x,=-,c,.,(1),求函数,f,(,x,),的另一个极值点；,(2),求函数,f,(,x,),的极大值,M,和极小值,m,，并求,M,-,m,1,时,k,的取值范围,.,解,(1),由题意知,f,(-,c,)=0,即得,c,2,k,-2,c,-,ck,=0.(*),c,0,k,0.,由,f,(,x,)=0,得,-,kx,2,-2,x,+,ck,=0,，,由韦达定理知另一个极值点为,x,=1,(2),由,(*),式得,当,c,1,时,k,0;,当,0,c,1,时,k,-2.,当,k,0,时,f,(,x,),在,(-,-,c,),和,(1,+),内是减函数，,在,(-,c,1),内是增函数，,当,k,-2,时，,f,(,x,),在,(-,-,c,),和,(1,+),内是增函数,在,(-,c,1),内是减函数，,综上可知,所求,k,的取值范围为,(-,-2),+).,【,例,4】(2009,江苏,),设,a,为实数,函数,f,(,x,)=2,x,2,+,(,x,-,a,)|,x,-,a,|.,(1),若,f,(0)1,求,a,的取值范围；,(2),求,f,(,x,),的最小值；,(3),设函数,h,(,x,)=,f,(,x,),x,(,a,+),直接写出,(,不需给,出演算步骤,),不等式,h,(,x,)1,的解集,.,解,(1),若,f,(0)1,则,-,a,|,a,|1,(2),记,f,(,x,),的最小值为,g,(,a,),则有,f,(,x,)=2,x,2,+(,x,-,a,)|,x,-,a,|,(),当,a,0,时,f,(-,a,)=-2,a,2,由知,f,(,x,)-2,a,2,此时,g,(,a,)=-2,a,2,.,(),当,a,0,时，,若,x,a,则由知,f,(,x,),若,x,a,由,x,+,a,2,a,0,由知,f,(,x,)2,a,2,此时,g,(,a,)=,综上，,【,探究拓展,】,本小题主要考查函数的概念、性质、图,象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数,形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解,决问题的综合能力,.,变式训练,4,已知函数,f,(,x,)=,x,2,-,a,ln,x,在,(1,2,上是增函,数,g,(,x,)=,x,-,在,(0,1),上是减函数,.,(1),求,f,(,x,),、,g,(,x,),的表达式；,(2),求证,:,当,x,0,时,方程,f,(,x,)=,g,(,x,)+2,有唯一解；,(3),当,b,-1,时,f,(,x,)2,bx,-,在,x,(0,1,内恒成立,求,b,的取值范围,.,(1),解,f,(,x,)=2,x,-,，,依题意,f,(,x,),0,x,(1,2,即,a,2,x,2,x,(1,2.,上式恒成立，,a,2.,又,g,(,x,)=1-,依题意,g,(,x,),0,x,(0,1),即,a,x,(0,1).,上式恒成立，,a,2.,由得,a,=2.,f,(,x,)=,x,2,-2ln,x,g,(,x,)=,x,-,(2),证明,由,(1),可知,方程,f,(,x,)=,g,(,x,)+2,令,h,(,x,),0,并由,x,0,，,令,h,(,x,),0,由,x,0,解得,0,x,1.,列表分析：,x,(0,1),1,(1,+),h,(,x,),-,0,+,h,(,x,),递减,0,递增,知,h,(,x,),在,x,=1,处有一个最小值,0,当,x,0,且,x,1,时,h,(,x,),0,，,h,(,x,)=0,在,(0,+),上只有一个解,.,即当,x,0,时,，,方程,f,(,x,)=,g,(,x,)+2,有唯一解,.,(3),解,所以,b,的取值范围为,-1,b,1.,【,考题再现,】,(2009,海南,),已知函数,f,(,x,)=(,x,3,+3,x,2,+,ax,+,b,)e,-,x,.,(1),若,a,=,b,=-3,求,f,(,x,),的单调区间；,(2),若,f,(,x,),在 上单调递增,在,上单调递减,证明,:,【,解题示范,】,(1),解,当,a,=,b,=-3,时,f,(,x,)=(,x,3,+3,x,2,-3,x,-3)e,-,x,，,所以,f,(,x,)=-(,x,3,+3,x,2,-3,x,-3)e,-,x,+(3,x,2,+6,x,-3)e,-,x,=-e,-,x,(,x,3,-9,x,)=-,x,(,x,-3)(,x,+3)e,-,x,.2,分,当,x,-3,或,0,x,3,时,f,(,x,),0,；,当,-3,x,0,或,x,3,时,f,(,x,),0.3,分,从而,f,(,x,),在,(-,-3),(0,3),上单调递增，,在,(-3,0),(3,+),上单调递减,.4,分,(2),证明,f,(,x,)=-(,x,3,+3,x,2,+,ax,+,b,)e,-,x,+(3,x,2,+6,x,+,a,)e,-,x,=-e,-,x,x,3,+(,a,-6),x,+,b,-,a,.,由条件得,:,f,(2)=0,即,2,3,+2(,a,-6)+,b,-,a,=0,故,b,=4-,a,6,分,从而,f,(,x,)=-e,-,x,x,3,+(,a,-6),x,+4-2,a,.,将右边展开，与左边比较系数得，,1.,导数的实质是变化率的极限，其几何意义是曲线在,某点处切线的斜率,.,2.,对于可导函数，利用导函数的符号来确定原函数的,单调性并进而确定单调区间,在求函数式中某些参变,量的取值范围时，要注意导函数的符号加上等号,.,3.,对于可导函数,在利用导数求函数极值时,要注意极,值点处导函数为零,而导函数为零的点不一定是极值,点,如,f,(,x,)=,x,3,因为,f,(,x,)=3,x,2,所以,f,(0)=0,而在,x,=0,的左右两侧,f,(,x,)=3,x,2,0,，则原函数递增，所以,x,=0,不是原函数极值点,;,所,以,f,(,x,)=(,x,-1),2,，则,f,(1)=0,，而在,x,=1,的左右两侧,f,(,x,)=(,x,-1),2,0,，则原函数递增,所以,x,=1,不是原函,数的极值点,.,由此可知导函数的偶次重根不是原函数,的极值点,.,导函数为零是函数取到极值的必要不充分,条件,.,特别地，函数不可导点,(,如尖点,),也可能是极值,点,.,一、选择题,1.,设,P,为曲线,C,：,y,=,x,2,+2,x,+3,上的点,且曲线,C,在点,P,处切,线倾斜角的取值范围是 则点,P,横坐标的取值范,围为,(),A.B.-1,0,C.0,1 D.,解析,y,=,x,2,+2,x,+3,，,y,=2,x,+2.,曲线在点,P,(,x,0,y,0,),处切线倾斜角的取值范围是,曲线在点,P,处的切线斜率,0,k,1.,02,x,0,+21,-1,x,0,.,A,2.(2008,全国,),设曲线 在点,(3,2),处的切线,与直线,ax,+,y,+1=0,垂直,则,a,等于,(),A.2 B.C.D.-2,解析,曲线 在点,(3,2),处的切线,斜率为,k,=,y,|,x,=3,=.,由题意知,ax,+,y,+1=0,的斜率为,k,=2,a,=-2.,D,3.,若函数 则,f,(,x,),在点,(0,f,(0),处切线的倾斜角为,(),A.,B.C.D.,解析,由题意可知,f,(,x,)=,x,2,+,f,(1),x,-,f,(2),令,x,=0,得,f,(0)=-,f,(2),令,x,=1,得,f,(2)=1,所以,f,(0)=-1,，,D,4.(2008,湖北,),若,f,(,x,)=,x,2,+,b,ln(,x,+2),在,(-1,+),上,是减函数,则,b,的取值范围是,(),A.-1,+)B.(-1,+),C.(-,-1 D.(-,-1),解析,由题意知,即,-,x,2,-2,x,+,b,=-(,x,+1),2,+1+,b,0.,1+,b,0,b,-1.,C,5.(2009,安徽,),已知函数,f,(,x,),在,R,上满足,f,(,x,)=2,f,(2-,x,),-,x,2,+8,x,-8,，则曲线,y,=,f,(,x,),在点,(1,f,(1),处的切线方程,是,(),A.,y,=2,x,-1 B.,y,=,x,C.,y,=3,x,-2 D.,y,=-2,x,+3,解析,由,f,(,x,)=2,f,(2-,x,)-,x,2,+8,x,-8,得,f,(2-,x,)=2,f,(,x,)-(2-,x,),2,+8(2-,x,)-8,即,2,f,(,x,)-,f,(2-,x,)=,x,2,+4,x,-4,f,(,x,)=,x,2,，,f,(,x,)=2,x,切线方程为,y,-1=2(,x,-1),即,2,x,-,y,-1=0.,A,6.,已知函数,f,(,x,)=,ax,3,+,bx,2,+,cx,+,d,的图象如图,且,|,x,1,|,|,x,2,|,则有,(),A.,a,0,b,0,c,0,d,0,B.,a,0,b,0,c,0,d,0,C.,a,0,b,0,c,0,d,0,D.,a,0,b,0,c,0,d,0,解析,因,f,(,x,)=3,ax,2,+2,bx,+,c,由题,意可知导函数,f,(,x,),的图象如图,所以,a,0,c,0,则,b,0,由原函数图象可知,d,0.,C,二、填空题,7.,若曲线,f,(,x,)=,ax,3,+ln,x,存在垂直于,y,轴的切线,，,则实数,a,的取值范围是,_.,解析,由题意可知,又因为存在垂直于,y,轴的切线，,8.(2008,江苏,),直线 是曲线,y,=ln,x,(,x,0),的,一条切线,则实数,b,=_.,解析,(ln,x,)=,令,得,x,=2,故切点坐标为,(2,ln 2),将其代入直线方程,得,ln 2=,2+,b,所以,b,=ln 2-1.,(-,0),ln 2-1,9.,函数,f,(,x,)=,ax,3,-2,ax,2,+(,a,+1),x,-log,2,(,a,2,-1),不存在极值,点，则实数,a,的取值范围是,_.,解析,a,2,-1,0,a,1,或,a,-1;,又函数,f,(,x,),不存在极值点，,令,f,(,x,)=3,ax,2,-4,ax,+,a,+1=0,则,=16,a,2,-4,3,a,(,a,+1)=4,a,(,a,-3)0,所以,0,a,3,综上可知,:1,a,3.,1,a,3,10.,过点,P,（,1,，,1,）作曲线,y,=,x,3,的切线，则切线方程,为,.,解析,因点,P,（,1,，,1,）在曲线,y,=,x,3,上,.,又,y,=3,x,2,，,若点,P,（,1,，,1,）是切点时，因,y,|,x,=1,=3,所以切线方程为,y,=3,x,-2,即,3,x,-,y,-2=0.,若点,P,（,1,，,1,）不是切点时，设切点,Q,(,r,r,3,),(,r,1),，,所以,k,=3,r,2,=,r,2,+,r,+1,即,2,r,2,-,r,-1=0,，所以,r,=-,r,=1,（舍），,k,PQ,=,所以切线方程为,3,x,-4,y,+1=0.,3,x,-,y,-2=0,3,x,-4,y,+1=0,三、解答题,11.,设,M,是由满足下列两个条件的函数,f,(,x,),构成的集,合,:,定义,f,(,x,)-,x,=0,有实根；,函数,f,(,x,),的导数,f,(,x,),满足,0,f,(,x,),1.,(1),若 判断方程,f,(,x,)-,x,=0,的根的个数,;,(2),判断,(1),中的函数,f,(,x,),是否为集合,M,的元素；,(3),对于,M,中的任意函数,f,(,x,),设,x,1,是方程,f,(,x,)-,x,=0,的,实根,求证,:,对于,f,(,x,),定义域中任意的,x,2,x,3,当,|,x,2,-,x,1,|,1,|,x,3,-,x,1,|,1,时,有,|,f,(,x,3,)-,f,(,x,2,)|,2.,(1),解,令,F,(,x,)=,f,(,x,)-,x,即,-1cos,x,1,F,(,x,),0.,F,(,x,)=,f,(,x,)-,x,是单调递减函数,.,(,或说明,F,(,x,),为奇函数,).,方程,f,(,x,)-,x,=0,在其定义域上有唯一实根,.,(2),解,由,(1),知方程,f,(,x,)-,x,=0,有实根,(,或者由,f,(,x,)-,x,=,0,易知,x,=0,就是方程的一个根,),f,(,x,),满足条件,.,f,(,x,),满足条件,.,故,f,(,x,),是集合,M,中的元素,.,(3),证明,不妨设,x,2,x,3,由,0,f,(,x,),1,知,f,(,x,),在其定义域上是增函数,.,f,(,x,2,),f,(,x,3,).,又,f,(,x,)-1,0,y,=,f,(,x,)-,x,是其定义域上的减函数,.,f,(,x,2,)-,x,2,f,(,x,3,)-,x,3,即,0,f,(,x,3,)-,f,(,x,2,),x,3,-,x,2,.,|,f,(,x,3,)-,f,(,x,2,)|,|,x,3,-,x,2,|,=|(,x,3,-,x,1,)-(,x,2,-,x,1,)|,|,x,3,-,x,1,|+|,x,2,-,x,1,|,1+1=2.,12.,已知函数,f,(,x,)=,x,2,+ln,x,.,(1),求函数,f,(,x,),在,1,e,上的最大值、最小值；,(2),求证,:,在区间,1,+),上,函数,f,(,x,),的图象在函数,的图象的下方；,(3),求证,:,f,(,x,),n,-,f,(,x,n,)2,n,-2(,n,N,*,).,(1),解,f,(,x,)=,x,+,当,x,1,e,时,f,(,x,),0,f,(,x,),在,1,e,上是增函数,.,故,f,(,x,),min,=,f,(1)=,f,(,x,),max,=,f,(e)=e,2,+1.,(2),证明,x,1,时,F,(,x,),0,故,F,(,x,),在,1,+),上是减函数,.,又,F,(1)=,0,，故在,1,+),上,F,(,x,),0,，,函数,f,(,x,),的图象在函数 的图象的下方,.,(3),证明,x,0,f,(,x,),n,-,f,(,x,n,),当,n,=1,时,不等式显然成立；,当,n,2,时,有,f,(,x,),n,-,f,(,x,n,),f,(,x,),n,-,f,(,x,n,)2,n,-2(,n,N,*,).,返回,