高考数学 3.1变化率与导数、导数的计算总复习课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,3.1,变化率与导数、导数的计算,第三编 导数及其应用,要点梳理,1.,函数,y,=,f,(,x,),从,x,1,到,x,2,的平均变化率,函数,y,=,f,(,x,),从,x,1,到,x,2,的平均变化率为,，,若,x,=,x,2,-,x,1,y,=,f,（,x,2,）,-,f,（,x,1,），则平均变化率可表示为,.,基础知识 自主学习,2.,函数,y,=,f,（,x,）在,x,=,x,0,处的导数,（,1,）定义,称函数,y,=,f,（,x,）在,x,=,x,0,处的瞬时变化率,=,为函数,y,=,f,（,x,）在,x,=,x,0,处的导数，记作,f,（,x,0,）或,y,|,x,=,x,0,，,即,f,(,x,0,)=,.,（,2,）几何意义,函数,f,(,x,),在点,x,0,处的导数,f,(,x,0,),的几何意义是在曲线,y,=,f,（,x,）上点,处的,.,相应地，切线方程为,.,(,x,0,f,(,x,0,),切线的斜率,y,-,y,0,=,f,(,x,0,)(,x,-,x,0,),3.,函数,f,(,x,),的导函数,称函数,f,(,x,)=,为,f,（,x,）的导函,数，导函数有时也记作,y,.,4.,基本初等函数的导数公式,原函数,导函数,f,（,x,）,=,c,f,(,x,)=,f,(,x,)=,x,n,(,n,Q,*,),f,(,x,)=,f,(,x,)=sin,x,f,(,x,)=,f,(,x,)=cos,x,f,(,x,)=,f,(,x,)=,a,x,f,(,x,)=,cos,x,0,-sin,x,a,x,ln,a,(,a,0),nx,n,-1,e,x,5.,导数运算法则,（,1,）,f,（,x,）,g,(,x,),=,;,(2),f,(,x,),g,(,x,),=,;,(3)=(,g,(,x,)0).,6.,复合函数的导数,复合函数,y,=,f,(,g,(,x,),的导数和函数,y,=,f,(,u,),u,=,g,(,x,),的,导数间的关系为,y,=,，即,y,对,x,的,导数等于,的导数与,的导数的乘积,.,f,(,x,)=e,x,f,(,x,)=,f,(,x,)=log,a,x,f,(,x,)=,f,(,x,)=ln,x,f,(,x,)=,(,a,0,且,a,1),f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,)+,f,(,x,),g,(,x,),y,u,y,对,u,u,对,x,x,u,x,基础自测,1.,在曲线,y,=,x,2,+1,的图象上取一点（,1,，,2,）及附近一点,（,1+,x,，,2+,y,），则 为（）,A.,x,+2B.,x,-2,C.,x,+2D.2+,x,-,解析,y,=,（,1+,x,）,2,+1-1,2,-1=(,x,),2,+2,x,=,x,+2.,C,2.,设正弦函数,y,=sin,x,在,x,=0,和,x,=,附近的平均变化率为,k,1,k,2,则,k,1,k,2,的大小关系为（）,A.,k,1,k,2,B.,k,1,k,2,C.,k,1,=,k,2,D.,不确定,解析,y,=sin,x,y,=(sin,x,)=cos,x,k,1,=cos 0=1,，,k,2,=cos =0,，,k,1,k,2,.,A,3.,曲线,y,=,x,3,-3,x,2,+1,在点（,1,，,-1,）处的切线方程为（）,A.,y,=3,x,-4B.,y,=-3,x,+2,C.,y,=-4,x,+3D.,y,=4,x,-5,解析,由,y,=3,x,2,-6,x,在点（,1,，,-1,）的值为,-3,，故切线方程为,y,+1=-3(,x,-1),，即,y,=-3,x,+2.,B,4.,若函数,y,=,f,(,x,),在,R,上可导且满足不等式,xf,(,x,),-,f,(,x,),恒成立，且常数,a,b,满足,a,b,则下列不等式一定成立的是（）,A.,af,(,b,),bf,(,a,)B.,af,(,a,),bf,(,b,),C.,af,(,a,),bf,(,b,)D.,af,(,b,),bf,(,a,),解析,令,g,(,x,)=,xf,(,x,),g,(,x,)=,xf,(,x,)+,f,(,x,),0.,g,(,x,),在,R,上为增函数，,a,b,g,（,a,),g,(,b,),即,af,(,a,),bf,(,b,).,B,5.,设,P,为曲线,C,：,y,=,x,2,+2,x,+3,上的点，且曲线,C,在点,P,处切线倾斜角的取值范围是,0,，,，则点,P,横坐标的取值范围为（）,A.B.,-1,，,0,C.,0,，,1,D.,解析,y,=,x,2,+2,x,+3,，,y,=2,x,+2.,曲线在点,P,(,x,0,y,0,),处切线倾斜角的取值范围是,0,曲线在点,P,处的切线斜率,0,k,1.,02,x,0,+21,-1,x,0,.,A,题型一 利用导数的定义求函数的导数,【,例,1,】,求函数,y,=,在,x,0,到,x,0,+,x,之间的平均变化,率,.,紧扣定义 进行,计算,.,解,思维启迪,题型分类 深度剖析,探究提高,求函数,f,（,x,）平均变化率的步骤：,求函数值的增量,f,=,f,（,x,2,）,-,f,（,x,1,）；,计算平均变化率,解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简,单，只要注意运算过程就可以了,.,知能迁移,1,利用导数定义，求函数 在,x,=1,处,的导数,.,解,方法一,（导数定义法）,方法二,（导函数的函数值法）,题型二 导数的运算,【,例,2,】,求下列函数的导数,.,（,1,）,y,=2,x,3,+,x,-6,；,（,2,）,y,=,；,（,3,）,y,=(,x,+1)(,x,+2)(,x,+3),；,（,4,）,y,=-sin (1-2cos,2,）；,（,5,）,.,如式子能化简的，可先化简，再利用导数公式和运算法则求导,.,思维启迪,解,（,1,）,y,=6,x,2,+1.,(3),方法一,y,=(,x,2,+3,x,+2)(,x,+3),=,x,3,+6,x,2,+11,x,+6,，,y,=3,x,2,+12,x,+11.,方法二,y,=,(,x,+1)(,x,+2),(,x,+3)+(,x,+1)(,x,+2)(,x,+3),=,(,x,+1)(,x,+2)+(,x,+1)(,x,+2),(,x,+3)+(,x,+1)(,x,+2),=(,x,+2+,x,+1)(,x,+3)+(,x,+1)(,x,+2),=(2,x,+3)(,x,+3)+(,x,+1)(,x,+2),=3,x,2,+12,x,+11.,求函数的导数要准确地把函数分割为基本,函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法,则求导数,.,在求导过程中，要仔细分析函数解析式的,结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式,.,对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形，如,（,3,）小题,;,对于比较复杂的函数，如果直接套用求导,法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可,将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形,式，再求导数，如（,2,）、（,4,）、（,5,）都是如此,.,但,必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误,.,探究提高,知能迁移,2,求下列函数的导数,.,（,1,）,y,=5,x,2,-4,x,+1,；,(2),y,=(2,x,2,-1)(3,x,+1),；,（,3,）,y,=.,解,(1),y,=(5,x,2,-4,x,+1),=(5,x,2,)-(4,x,)+(1)=10,x,-4.,(2),y,=(2,x,2,-1)(3,x,+1)=6,x,3,+2,x,2,-3,x,-1,y,=(6,x,3,+2,x,2,-3,x,-1),=(6,x,3,)+2(,x,2,)-(3,x,)-(1),=18,x,2,+4,x,-3.,【,例,3,】,求下列复合函数的导数,.,(1),y,=(2,x,-3),5,;,(2),y,=;,(3),y,=sin,2,（,2,x,+,）,;,(4),y,=ln(2,x,+5).,思维启迪,先正确地分析函数是由哪些基本函数经过,怎样的顺序复合而成,;,求导时,可设出中间变量,注意,要逐层求导不能遗漏,每一步对谁求导,不能混淆,.,解,(1),设,u,=2,x,-3,则,y,=(2,x,-3),5,由,y,=,u,5,与,u,=2,x,-3,复合而成,y,=,f,(,u,),u,(,x,)=(,u,5,)(2,x,-3)=5,u,4,2,=10,u,4,=10(2,x,-3),4,.,（,2,）设,u,=3-,x,则,y,=,由,y,=,u,与,u,=3-,x,复合而成,.,由复合函数的定义可知，中间变量的选择,应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析,函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，,一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基,本函数，逐步确定复合过程,.,探究提高,(3),设,y,=,u,2,u,=sin,v,v,=2,x,+,（,4,）设,y,=ln,u,u,=2,x,+5,则,知能迁移,3,求下列复合函数的导数,.,(1),y,=;,(2),y,=,x,;,(3),解,(1),y,=-3(1-3,x,),-4,(1-3,x,)=.,题型三 导数的几何意义,【,例,4,】,（,12,分）已知曲线方程为,y,=,x,2,（,1,）求过,A,（,2,，,4,）点且与曲线相切的直线方程；,（,2,）求过,B,（,3,，,5,）点且与曲线相切的直线方程,.,（,1,）,A,在曲线上,即求在,A,点的切线方程,.,（,2,）,B,不在曲线上，设出切点求切线方程,.,解,（,1,）,A,在曲线,y,=,x,2,上,过,A,与曲线,y,=,x,2,相切的直线只有一条，且,A,为切点,.,2,分,由,y,=,x,2,得,y,=2,x,y,|,x,=2,=4,4,分,因此所求直线的方程为,y,-4=4(,x,-2),即,4,x,-,y,-4=0.6,分,思维启迪,（,2,）,方法一,设过,B,（,3,，,5,）,与,曲线,y,=,x,2,相切的直线,方程为,y,-5=,k,(,x,-3),即,y,=,kx,+5-3,k,8,分,y,=,k,x,+5-3,k,y,=,x,2,得,x,2,-,k,x,+3,k,-5=0,=,k,2,-4(3,k,-5)=0.,整理得,:(,k,-2)(,k,-10)=0,k,=2,或,k,=10.10,分,所求的直线方程为,2,x,-,y,-1=0,10,x,-,y,-25=0.12,分,方法二,设切点,P,的坐标为,(,x,0,y,0,),由,y,=,x,2,得,y,=2,x,x,=,x,0,=2,x,0,8,分,由已知,k,PA,=2,x,0,即,=2,x,0,.,又,y,0,=,代入上式整理得,:,x,0,=1,或,x,0,=5,10,分,切点坐标为,(1,1),(5,25),所求直线方程为,2,x,-,y,-1=0,10,x,-,y,-25=0.12,分,由,探究提高,（,1,）解决此类问题一定要分清,“,在某点,处的切线,”,，还是,“,过某点的切线,”,的问法,.,（,2,）解决,“,过某点的切线,”,问题，一般是设出切点,坐标为,P,（,x,0,，,y,0,），然后求其切线斜率,k,=,f,(,x,0,),写出其切线方程,.,而,“,在某点处的切线,”,就是指,“,某,点,”,为切点,.,（,3,）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当,曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且,只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确,.,知能迁移,4,已知曲线,.,(1),求曲线在,x,=2,处的切线方程；,(2),求曲线过点（,2,，,4,）的切线方程,.,解,（,1,）,y,=,x,2,在点,P,（,2,，,4,）处的切线的斜率,k,=,y,|,x,=2,=4.,曲线在点,P,（,2,，,4,）处的切线方程为,y,-4=4(,x,-2),即,4,x,-,y,-4=0.,（,2,）设曲线 与过点,P,（,2,，,4,）的切线,相切于点 ，,则切线的斜率,k,=,y,|,x,=,x,=.,切线方程为,y,-,即,0,点,P,（,2,，,4,）在切线上，,4=,即,(,x,0,+1)(,x,0,-2),2,=0,解得,x,0,=-1,或,x,0,=2,故所求的切线方程为,4,x,-,y,-4=0,或,x,-,y,+2=0.,方法与技巧,1.,在对导数的概念进行理解时，特别要注意,f,(,x,0,),与,(,f,(,x,0,),是,不一,样的，,f,(,x,0,),代表函数,f,(,x,),在,x,=,x,0,处的导数,值,，,不一定,为,0,；而,(,f,(,x,0,),是函,数值,f,(,x,0,),的导数，而函数,值,f,(,x,0,),是,一,个常量，其导数,一,定为,0,，即,(,f,(,x,0,),=0.,2.,对于函数求导，,一,般,要遵,循先化简，,再,求导的基本,原则,，求导时，不但,要重,视求导法,则,的应用，而且,要,特别注意求导法,则,对求导的,制约作,用，,在实,施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必,要,的,运,算失误,.,思想方法 感悟提高,3.,复合函数的求导方法,求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法,则，将问题转化为基本函数的导数解决,.,（,1,）分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；,（,2,）分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；,（,3,）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；,（,4,）复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程,.,失误与防范,1.,利用导数定义求导数时，要注意到,x,与,x,的区别，这里的,x,是常量，,x,是变量,.,2.,利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆,.,3.,求曲线切线时，要分清点,P,处的切线与过,P,点的切,线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者,.,4.,曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别,.,一、选择题,1.,一质点沿直线运动，如果由始点起经过,t,秒后的位,移为 ，那么速度为零的时刻是,（）,A.0,秒,B.1,秒末,C.2,秒末,D.1,秒末和,2,秒末,解析,v,=,s,（,t,）,=,t,2,-3,t,+2,，,令,v,=0,，得,t,1,=,1,t,2,=,2.,D,定时检测,2.,若点,P,是曲线,y,=,x,2,-ln,x,上任意一点，则点,P,到直线,y,=,x,-2,的最小距离为（）,A.1B.C.D.,解析,过点,P,作,y,=,x,-2,的平行直线,且与曲线,y,=,x,2,-ln,x,相切，设,P,（,x,0,x,-ln,x,0,）,则,k,=,y,|,x,=,x,0,=2,x,0,-,2,x,0,-=1,x,0,=1,或,x,0,=(,舍去,).,P,(1,1),B,3.,若曲线,y,=,x,4,的一条切线,l,与直线,x,+4,y,-8=0,垂直，则,l,的,方程为（）,A.4,x,-,y,-3=0B.,x,+4,y,-5=0,C.4,x,-,y,+3=0D.,x,+4,y,+3=0,解析,y,=4,x,3,=4,得,x,=1,即切点为（,1,，,1,），所以过该点的切线方程为,y,-1=4(,x,-1),整理得,4,x,-,y,-3=0.,A,4.,曲线,y,=e,x,在点（,2,，,e,2,）处的切线与坐标轴所围三角,形的面积为 （）,A.B.2e,2,C.e,2,D.,解析,点（,2,，,e,2,）在曲线上，,切线的斜率,k,=,y,|,x,=2,=e,x,|,x,=2,=e,2,切线的方程为,y,-e,2,=e,2,(,x,-2).,即,e,2,x,-,y,-e,2,=0.,与两坐标轴的交点坐标为（,0,，,-e,2,），（,1,，,0,），,S,=,D,5.,（,2009,全国,理，,9,）,已知直线,y,=,x,+1,与曲线,y,=ln(,x,+,a,),相切，则,a,的值为（）,A.1B.2C.-1D.-2,解析,设直线,y,=,x,+1,与曲线,y,=ln(,x,+,a,),的切点为（,x,0,y,0,）,则,y,0,=1+,x,0,y,0,=ln(,x,0,+,a,),又,y,=,即,x,0,+,a,=1.,又,y,0,=ln(,x,0,+,a,),y,0,=0,x,0,=-1,a,=2.,B,6.,（,2009,安徽文，,9,）,设函数,其中 ，则导数,f,(1),的取值范围是 （）,A.,-2,，,2,B.,，,C.,，,2,D.,，,2,解析,由已知,f,(,x,)=sin,x,2,+cos,x,D,二、填空题,7.,如图所示，函数,f,(,x,),的图象是折线段,ABC,，其中,A,，,B,C,的坐标分别为（,0,，,4,）,（,2,，,0,）,（,6,，,4,），则,f,（,f,（,0,）,=,；,.,（用数字作答）,解析,由,A,（,0,，,4,），,B,（,2,，,0,）可得线段,AB,所在直,线的方程为,f,(,x,)=-2,x,+4(0,x,2).,同理,BC,所在直线,的方程为,f,(,x,)=,x,-2(2,x,6).,-2,x,+4(0,x,2),x,-2(2,x,6),所以,f,(0)=4,f,(4)=2.,f,(1)=-2.,答案,2 -2,所以,f,(,x,)=,8.,（,2009,福建理，,14,）,若曲线,f,(,x,)=,ax,5,+ln,x,存在垂直于,y,轴的切线，则实数,a,的取值范围是,.,解析,f,(,x,)=5,ax,4,+,x,(0,+),由题知,5,ax,4,+=0,在（,0,，,+,）上有解,.,即,a,=-,在（,0,，,+,）上有解,.,x,(0,+),(-,0).,a,(-,0).,(-,0),9.,（,2009,江苏，,9,）,在平面直角坐标系,xOy,中，点,P,在曲线,C,：,y=x,3,-,10,x+,3,上，且在第二象限内，已知曲线,C,在点,P,处的切线斜率为,2,，则点,P,的坐标为,.,解析,设,P,（,x,0,y,0,）,(,x,0,0),由题意知,=2,=4.,x,0,=-2,y,0,=15.,P,点的坐标为（,-2,，,15,）,.,（,-2,，,15,）,三、解答题,10.,求曲线,f,(,x,)=,x,3,-3,x,2,+2,x,过原点的切线方程,.,解,f,(,x,)=3,x,2,-6,x,+2.,设切线的斜率为,k,.,（,1,）当切点是原点时,k,=,f,(0)=2,所以所求曲线的切线方程为,y,=2,x,.,（,2,）当切点不是原点时，设切点是（,x,0,y,0,），,则有,y,0,=,又,k,=,由得,所求曲线的切线方程为,11.,设,t,0,点,P,（,t,，,0,）是函数,f,(,x,)=,x,3,+,ax,与,g,(,x,)=,bx,2,+,c,的图象的一个公共点，两函数的图象在点,P,处有相同的切线,.,试用,t,表示,a,b,c,.,解,因为函数,f,(,x,),g,(,x,),的图象都过点（,t,0,）,所以,f,(,t,)=0,即,t,3,+,at,=0.,因为,t,0,所以,a,=-,t,2,.,g,(,t,)=0,，即,bt,2,+,c,=0,所以,c,=,ab,.,又因为,f,(,x,),g,(,x,),在点（,t,0,）处有相同的切线，,所以,f,(,t,)=,g,(,t,).,而,f,(,x,)=3,x,2,+,a,g,(,x,)=2,bx,所以,3,t,2,+,a,=2,bt,.,将,a,=-,t,2,代入上式得,b,=,t,.,因此,c,=,ab,=-,t,3,.,故,a,=-,t,2,b,=,t,c,=-,t,3,.,12.,设有抛物线,C,：,y,=-,x,2,+,x,-4,通过原点,O,作,C,的切,线,y,=,k,x,使切点,P,在第一象限,.,（,1,）求,k,的值；,（,2,）过点,P,作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交,点,Q,的坐标,.,解,（,1,）设点,P,的坐标为（,x,1,y,1,）,则,y,1,=,k,x,1,.,代入得,P,为切点,=,(2),过,P,点作切线的垂线,其方程为,y,=-2,x,+5.,将代入抛物线方程得,x,2,-,x,+9=0.,设,Q,点的坐标为,(,x,2,y,2,),则,2,x,2,=9,x,2,=,y,2,=-4.,Q,点的坐标为（,-4,）,.,当,k,=,时,x,1,=-2,y,1,=-17.,当,k,=,时,x,1,=2,y,1,=1.,P,在第一象限,所求的斜率,k,=.,返回,