高考数学总复习直通车课件-函数及其性质课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学直通车,-,函数及其性质,知识体系,第一节 函数及其表示,基础梳理,1.,函数的概念,设,A,、,B,是非空的,如果按照某个确定的,使对于集合,A,中的任意一个数,x,在集合,B,中都有 和它对应,那么就称,f:AB,为从集合,A,到集合,B,的一个函数,.,记作,.,其中,x,叫做,x,的取值范围,A,叫做函数的,;,与,x,的值相对应的,y,值叫做,函数值的集合,f(x)|xA,叫做函数的,.,对应关系,f,唯一确定的数,f(x,),y=,f(x),xA,自变量,定义域,函数值,值域,数集,2.,构成函数的三要素,:,、和,.,定义域,对应关系,值域,3,.,两个函数的相等,两个函数能成为同一个函数的充要条件是 与 都相同,.,定义域,对应法则,4,.,常用的函数表示法,(1);(2);(3).,解析法,列表法,图象法,5,.,分段函数,若一个函数的定义域分成了若干个,而每个 的 不同,这种函数称为分段函数,.,子区间,子区间,解析式,6.,映射的概念,一般地,设,A,、,B,是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,f,使对于集合,A,中的 元素,x,在集合,B,中都有 的元素,y,与之对应,那么就称对应,f:AB,为从集合,A,到集合,B,的一个映射，记作“”,任意一个,唯一确定,f:AB,7.,复合函数,若,y=,f(u),u,=,g(x),x(a,b),u(m,n,),那么 称为复合函数,u,称为,它的取值范围是,g(x,),的,.,y=,fg(x,),中间变量,典例分析,题型一 函数的概念,【,例,1】,设函数,求,f,（,-4,）；若,=8,求,分析,这是分段函数的变换问题,需要结合定义域作数值代换,.,解,-40,0,a1),B.,f(x,)=,g(x,)=,C.,f(x,)=2x-1(xR),g(x)=2x+1(xZ),D.,f(x,)=,g(t,)=,解析：,选项,A,、,B,、,C,中函数的定义域不同,.,答案：,D,分析,第,(1),题用配凑法,;,第,(2),题用换元法,;,第,(3),题已知一次函数,可用待定系数法,;,第,(4),题用方程组法,.,题型三 求函数解析式,【,例,3】(1),已知,求,f(x,);,(2),已知,f(+1)=,lg,x,求,f(x,);,(3),已知,f(x,),是一次函数,且满足,3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求,f(x,);,(4),已知,f(x,),满足,2f(x)+f()=3x,求,f(x,).,解,(1),f(x,)=-3x(x2,或,x-2).,(2),令,+1=,t(t,1),则,x=,f(t,)=,lg,f(x,)=,lg,(x1).,(3),设,f(x,)=ax+b(a0),则,3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,a=2,b=7,f(x)=2x+7.,(4)2f(x)+f()=3x,把中的,x,换成,得,2f()+,f(x,)=3x,2-,得,3f(x)=6x-,f(x,)=2x-(x0).,学后反思,函数解析式的求法常见有,:,(1),配凑法,.,已知,fh(x,)=,g(x,),求,f(x,),的问题,往往把右边的,g(x,),整理成或配凑成只含,h(x,),的式子,用,x,将,h(x,),代换,.,(2),待定系数法,.,若已知函数的类型,(,如一次函数、二次函数），比如二次函数可设为,f(x,)=a +bx+c(a0),其中,a,、,b,、,c,是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出,a,、,b,、,c,即可,.,(3),换元法,.,已知,fh(x,)=,g(x,),求,f(x,),时，往往可设,h(x,)=t,从中解出,x,代入,g(x,),进行换元，便可求解,.,(4),方程组法,.,已知,f(x,),满足某个等式,这个等式除,f(x,),是未知量外,还有其,他未知量,如,f(),等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过,解方程组求出,f(x,).,举一反三,3.(1)(2009,广州模拟,),若,f(x,),对任意实数,x,恒有,2f(x)-f(-x)=3x+1,则,f(x,)=,。,(2)(2009,潮州模拟,),设函数,y=,f(x,),的图象关于直线,x=1,对称,在,x1,时,f(x,)=-1,则,x1,时,f(x,)=,。,解析：,(1)2f(x)-f(-x)=3x+1,2f(-x)-f(x)=-3x+1,由、解得,f(x,)=x+1.,(2),当,x1,时,有,-x+21,时,f(x,)=f(-x+2)=-1.,答案：,(1)x+1 (2)-1,题型四 分段函数的应用,【,例,4】,（,12,分）（,2009,福建省普通高中毕业班单科质量检查）已知某企业原有员工,2 000,人,每人每年可为企业创利润,3.5,万元,.,为应对国际金融危机给企业带来的不利影响,该企业实施,“,优化重组,分流增效,”,的策略,分流出一部分员工待岗,.,为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的,5%,并且每年给每位待岗员工发放生活补贴,0.5,万元,.,据评估,当待岗员工人数,x,不超过原有员工,1%,时,留岗员工每人每年可为企业多创利润,万元；当待岗员工人数,x,超过原有员工,1%,时,留岗员每人每年可为企业多创利润,0.959 5,万元,.,为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗,?,分析,利用条件建立数量模型，注意本题要用分段函数建模,.,解,设重组后,该企业年利润为,y,万元,.,2 0001%=20,当,0,x20,且,x N,时,x2 0005%,，,x100,当,20 x100,且,x N,时,y=(2 000-x)(3.5+0.959 5)-0.5x=-4.959 5x+8 919.,.2,.4,.6,当,0 x20,时,有,当且仅当,即,x=18,时取等号,此时,y,取得最大值,.8,当,20 x100,时,函数,y=-4.959 5x+8 919,为减函数,所以,y0,时,f(x,)=f(x-1)-f(x-2),则,f(x+1)=f(x)-f(x-1),两式相加并整理得,f(x+1)=-f(x-2),即,f(x+3)=-,f(x,),f(x+6)=-f(x+3)=,f(x,),f(2 009)=f(6334+5)=f(5)=f(-1),=1.,答案,:,1,11.,如图,在边长为,4,的正方形,ABCD,上有一点,P,沿着折线,BCDA,由,B,点,(,起点,),向,A,点,(,终点,),移动,设,P,点移动的路程为,x,ABP,的面积为,y=,f(x,).,求,ABP,的面积与,P,移动的路程间的函数关系式,.,解析,:,这个函数的定义域为,(0,12).,当,0 x4,时,S=,f(x,)=4x=2x;,当,4x8,时,S=,f(x,)=8;,当,8x-2x,的解集为,(1,3).,若方程,f(x)+6a=0,有两个相等的根,求,f(x,),的解析式,.,解析,:,f(x,)=a(x-1)(x-3)-2x=a -(2+4a)x+3a,由方程,f(x)+6a=0,，得,a -(2+4a)x+9a=0,因为方程有两个相等的根,所以,=-4a9a=0,即,5 -4a-1=0,解得,a=1,或,a=-,由于,a2,或,x0,-3x3,解得,-3x0,或,2x0,解得,x0,答案：,B,题型二 复合函数的定义域,【,例,2】(1),已知函数,f(x,),的定义域为,0,1,，求下列函数的定义域,:f();f(-1).,(2),已知函数,f,lg(x+1),的定义域是,0,9,，则函数,f(),的定义域为,.,分析,根据复合函数定义域的含义求解,.,解,(1)f(x),的定义域是,0,1,要使,f(),有意义，则必有,0 1,解得,-1x1.,f(),的定义域为,-1,1,.,由,0-11,，得,1 2.,1x4.(x0,时，才有意义,),函数,f(-1),的定义域为,1,4,.,(2)f,lg(x+1),的定义域为,0,9,0 x9,1x+110,0lg(x+1)1,，,f(x,),的定义域为,0,1,.,由,0 1,得,x0.,f(),的定义域为,(-,0,学后反思,已知函数,f(x,),的定义域为,a,b,则函数,fg(x,),的定义域是指满足不等式,ag(x)b,的,x,的取值范围,;,一般地,若函数,fg(x,),的定义域是,a,b,指的是,xa,b,要求,f(x,),的定义域就是求,xa,b,时,g(x,),的值域,.,举一反三,题型三 函数的值域,【,例,3】,求下列函数的值域,.,(1)y=3 -x+2,x-1,3;,(2)y=2x-;,(3)y=.,2.,已知 的定义域为,0,3,求,f(x,),的定义域,.,解析：,的定义域为,0,3,0 x3,1 2,，,f(x,),的定义域为,1,2.,分析,对于（,1,）利用二次函数在确定区间单调性求解或利用在区间的图象判别,.,对于（,2,）利用换元法转化为二次函数的值域问题，还可以通过单调性求解,.,对于（,3,）利用指数函数性质求得,(2x,0).,解,(1)y=3 -x+2=.,对称轴,x=-1,3,函数在,x=,处取得最小值,.,即,.,结合函数的单调性知函数在,x=3,处取得最大值,即,=26,，函数的值域为,(2),方法一,:,令,=t(t0),则,x=.,y=1-t=,二次函数对称轴为,t=-,y=,在,0,+),上是减函数,ymax,=1.,函数有最大值,1,无最小值,其值域为,(-,1.,方法二,:y=2x,与,y=-,均为定义域上的增函数,y=2x-,是定义域为,x|x,上的增函数,无最小值,.,函数的值域为,(-,1.,(3),由,y=,，得,.,由指数函数的性质可知，,0,，解得,-1,y,1.,故函数的值域为（,-1,，,1,）,学后反思,求函数值域,(,最值,),的常用方法,:,(1),基本函数法,对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解,.,(2),配方法,对于形如,y=a+bx+c(a0),或,F(x,)=a +bf(x)+c(a0),类的函数的值域问题,均可用配方法求解,.,(3),换元法,利用代数或三角换元,将所给函数转化成易求值域的函数,形如,y=,的函数,令,f(x,)=t,形如,y=,ax+b,(,a,b,c,d,均为常数,ac0),的函数,令,=t;,形如含 的结构的函数,可利用三角代换,令,x=,acos,0,或令,x=,asin,.,(4),不等式法,利用基本不等式,:a+b2 ,用此法求函数值域时,要注意条件“一正、二定、三相等”,.,如利用,a+b2,求某些函数值域,(,或最值,),时应满足三个条件,:a0,b0;a+b(,或,ab,),为定值,;,取等号条件,a=b,，三个条件缺一不可,.,(5),函数的单调性法,确定函数在定义域,(,或某个定义域的子集,),上的单调性求出函数的值域,例如,f(x,)=ax+(a0,b0).,当利用不等式法等号不能成立时,可考虑用函数的单调性,.,(6),数形结合法,如果所给函数有较明显的几何意义,可借助几何法求函数的值域,形如,:,可联想两点 与 连线的斜率,.,(7),函数的有界性法,形如,y=,可用,y,表示出,sin x,再根据,-11,即,a1,时,f(x,),在区间,1,+),上先减后增,f(x)min,=f()=2 +2;,若,a1,即,0,g(x,),时,求函数 的最小值,.,解析：,(1),由已知得,A ,B(0,b).,则,于是,=2,b=2,，,k=1,b=2.,(2),由,f(x,),g(x,),得,x+2 -x-6,即,(x+2)(x-4)0,得,-2x0,则 ,-3,其中当且仅当,x+2=1,即,x=-1,时等号成立,.,的最小值是,-3.,易错警示,【,例,】,已知,f(x,)=2+(1x9),求函数,y=,的 最大值,.,错解,y=,即,y=,1x9,0 2.,当,x=9,即,=2,时,y,取最大值为,22.,错解分析,忽视了复合函数,f(),的定义域,误以为函数,y,的定义域仍为,f(x,),的定义域,从而导致求最大值出错,.,正解,f(x,),的定义域为,1,9,要使函,y=,有意义,必有,:,1 9,1x9,，,1x3,0 1.,当,x=3,即,=1,时,y,的最大值为,13.,考点演练,10.,函数,f(x,)=,在区间,a,b,上的值域为,0,1,则,b-a,的最小值为,.,答案,:,解析,:,由图象可知,a,b,应为,的一个子区间,.,当,a=,b=1,时,b-a,取,最小值为,.,11.(,创新题,),如图所示,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽及两边坡的总长度为,a,边坡的倾斜角为,60.,(1),求横断面面积,y,与底宽,x,的函数关系式,并,求定义域,;,(2),当 时,求横断面面积的最大及最小值,.,解析：,(1),坡长为,高为,sin 60=,上底为,x+2 ,cos,60=,面积,定义域为,(0,a).,(2),由二次函数的图象可知,当 时,;,当 时,.,12.,已知,y=,f(x,),是定义在,R,上的奇函数,当,x0,时,f(x,)=2x-.,(1),求,y=,f(x,),的解析式,;,(2),画出函数,y=,f(x,),的图象,并指出,f(x,),的单调区间及在每个区间上的增减性,;,(3),若函数,y=,f(x,),的定义域为,a,b,值域为,(1ab),求实数,a,、,b,的值,.,解析：,(1),当,x0,f(x,)=-,f(-x,)=-2(-x)-=2x+,f(x,),的解析式为,(2)f(x),的图象如图,f(x,),在,(-,-1,和,1,+),上是减函数,f(x,),在,-1,1,上是增函数,.,(3)f(x),在,1,+),上是减函数,且,1a,b,f(x,),在,a,b,上是减函数,即,解得,又,1ab,第三节 函数的单调性,基础梳理,1.,定义,:,一般地,设函数,y=,f(x,),的定义域为,I,如果对于定义域,I,内的某个区间,D,上的任意两个自变量的值,当,时,都,有 那么就说,f(x,),在 上是增函数,(,减函数,).,注意,:,(1),函数的单调性是在 内的某个区间上的性质,是函数的,性,性质：,(2),必须是对于区间,D,内的 两个自变量,即当,时,总有,f()f().,区间,D,定义域,局部,任意,2.,如果函数,y=,f(x,),在某个区间上是 或,那么就说函数,y=,f(x,),在这一区间具有,(,严格的,),单调性,区间,D,叫做,y=,f(x,),的,.,3.,设复合函数,y=,fg(x,),其中,u=,g(x),A,是,y=,fg(x,),定义域的某个区间,B,是映射,g:xu,=,g(x,),的象集,.,(1),若,u=,g(x,),在,A,上是增,(,或减,),函数,y=,f(u,),在,B,上也是增,(,或减,),函数,则函数,y=,fg(x,),在,A,上是,;,(2),若,u=,g(x,),在,A,上是增,(,或减,),函数,而,y=,f(u,),在,B,上是减,(,或增,),函数,则函数,y=,fg(x,),在,A,上是,.,增函数,减函数,单调区间,增函数,减函数,典例分析,题型一 函数单调性的判断与证明,【,例,1】,判断下列函数的单调性,并证明,.,(1)f(x)=,x(-1,+);,(2)f(x)=,x-1,+).,分析,先判断单调性,再用单调性的定义证明,.(1),采用通分进行变形,(2),采用分子有理化的方式进行变形,.,解,(1),函数,f(x,)=,在,(-1,+),上为减函数,.,利用定义证明如下,:,任取 、,(-1,+),且,-1 ,则有,-0,-0.,0,即,f()-f()0,f()f().,f(x,)=,在,(-1,+),上为减函数,.,(2),函数,f(x,)=,在,-1,+),上为增函数,证明如下,:,任取 、,-1,+),且,-1 ,f()-f()=,=,-1 ,-0,，,0,即,f()-f()0,f()0,是,R,上的偶函数,.,(1),求,a,的值,;,(2),求证：,f(x,),在,(0,+),上为增函数,.,解析：,(1),依题意,对一切,xR,有,f(-x,)=,f(x,),即 ，,，,不可能恒为,0,，,a=1,a0,a=1.,(2),证明：,方法一,(,定义法,):,设,则,由,得,即,f(x,),在,(0,+),上为增函数,.,方法二,(,导数法,):a=1,x(0,+),f(x,)=,f(x,),在,(0,+),上为增函数,.,题型二 求函数的单调区间,【,例,2】,求函数,f(x,)=x+,的单调区间,分析,利用定义法或导数法,.,解,方法一,:,首先确定定义域,x|x0,所以要在,(-,0),和,(0,+),两个区间上分别讨论,.,任取,(0,+),且,则,=,要确定此式的正,负只要确定 的正负即可,.,这样,又需要判断 大于,1,还是小于,1.,由于 、的任意性,考虑到要将,(0,+),分为,(0,1),与,(1,+).,(1),当 ,(0,1),时,0,0,0,f(x),为增函数,;,同理可求，,(3),当 ,(-1,0),时,f(x,),为减函数,;,(4),当 ,(-,-1),时,f(x,),为增函数,.,方法二,:,f(x,)=1-,令,f(x,)0,得,x21,即,x1,或,x-1,令,f(x,)0,得,x21,即,-1xb0),求,f(x,),的单调区间,.,举一反三,解析：,在定义域内任取,ab0,b-a0,只有当 或 时函数才单调,.,当 或 时,.,f(x,),的单调区间为,(-,-b),和,(-b,+).,题型三 利用单调性比较大小,【,例,3】,设函数,f(x,),是,R,上的减函数,则,(),A.,f(a,)f(2a),B.f(),f(a,),C.f(+a),f(a,),D.f(+1)a.,又,f(x,),在,R,上为减函数,f(+1)f(2a),f()=,f(a,),可排除,A,、,B,令,a=0,可排除,C.,(2),此类题的解法依据是增减函数的定义,为此我们可将两个实数转化为同一函数在同一单调区间上的两个函数值,再利用单调性比较大小,.,举一反三,3.,若函数,f(x,),在,a,b,上是增函数,对任意的,a,b,(),下列结论中不正确的是,(),答案,:,C,解析,:,由于,f(x,),在,a,b,上是增函数，所以无论 还是 都有,(),与 同号，又因为 ，所以 ,0,且 ,0,，故,A,、,B,、,D,均正确,.,由于 与 大小不确定，所,以 与 的大小也不确定，,C,是错误的,.,题型四 单调性的应用,【,例,4】(12,分,),函数,f(x,),对任意的,a,、,bR,都有,f(a+b,)=f(a)+f(b)-1,并且当,x0,时,f(x,)1.,(1),求证,:,f(x,),是,R,上的增函数,;,(2),若,f(4)=5,解不等式,f(3 -m-2)1.2,.5,即,f(x,),是,R,上的增函数,.6,(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5.,f(2)=3,.8,原不等式可化为,f(3 -m-2)f(2),.10,f(x,),是,R,上的增函数,3 -m-20,，即,x(0,1,时,f(x,)=a -3x+10,可化为,a ,设,g(x,)=,则,g(x,)=,所以,g(x,),在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,因此,g(x)max,=g,（）,=4,从而,a4;,当,x0,g(x),在区间,-1,0),上单调递增,因此,g(x)min,=g(-1)=4,从而,a4.,综上，,a=4.,答案,：,4,11.(2010,锦州模拟,),作出函数 的图象,并指出,f(x,),的单调区间,.,解析：,原函数可化为,图象如图所示,.,由图象可知函数,f(x,),的单调减区间为,(-,-3,单调增区间为,3,+),常数函数区间为,(-3,3).,12.,若函数,f(x,)=,ln,在,1,+),上是增函数,求,a,的取值范围,.,解析：,要满足题意,首先需要,:,对任意的,1 ,恒成立,即,ln,ln,化简得,即,-1,a,1,欲使,a,恒成立,只要,a-1.,还要使当,x1,时,0,恒成立,由,f(x,),在,x1,+),上是增函,数知,只要,x=1,时,0,即可,解得,a9.,a,的取值范围是,-1,9).,第四节 函数的奇偶性和周期性,基础梳理,1.,定义,:,一般地,如果对于函数,f(x,),定义域内的任意一个,x,都有 则称,f(x,),为奇函数,;,如果对于函数,f(x,),定义域内的任意一个,x,都有 则称,f(x,),为偶函数,.,2.,简单性质,图象的对称性质,:,一个函数是奇函数的充要条件是它的图象,;,一个函数是偶函数的充要条件是它的图象,.,3.,周期,:,对于函数,f(x,),如果存在一个非零常数,T,使得当,x,取定义域内的每一个值时,都有 那么函数,f(x,),就叫做周期函数,非零常数,T,叫做这个函数的周期,f(-x,)=-,f(x,),f(-x,)=,f(x,),关于原点对称,关于,y,轴对称,f(x+T,)=,f(x,),典例分析,题型一 判断函数的奇偶性,【,例,1】,判断下列函数的奇偶性,.,(1)f(x)=;(2)f(x)=;,(3)f(x)=;(4)f(x)=,分析,先求函数的定义域,而后判断,f(x,),与,f(-x,),之间的关系,.,解,(1),由 ,0,得定义域为,-1,1),关于原点不对称,f(x,),为非奇非偶函数,.,(2),且,f(x,)=0,f(x,),既是奇函数又是偶函数,.,(3),得定义域为,(-1,0)(0,1),f(x,)=.,f(-x,)=,f(x,),f(x,),为偶函数,.,(4),当,x0,则,f(-x,)=-,f(x,),当,x0,时,-x0,则,f(-x,)=-,f(x,),综上所述,对任意的,x(-,0)(0,+),都有,f(-x,)=-,f(x,),故,f(x,),为奇函数,.,学后反思,判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程,(,要保证定义域不变,).,举一反三,1.,设函数,f(x,),在,(-,+),内有定义,下列函数,:,y=-|,f(x)|;y,=,xf,();y=-,f(-x,);,y=,f(x)-f(-x,).,必为奇函数的有,.(,要求填写正确答案的序号,),解析,:,设,y=,g(x,),根据奇偶函数的定义判断,g(-x,)=(-,x)f,=-,xf,()=-,g(x);g(-x,)=,f(-x)-f(x,)=-,g(x,).,答案,:,题型二 利用函数奇偶性的定义求参数,【,例,2】,定义在,R,上的函数,f(x,)=(a,0),为奇函数，求 的值,.,分析,利用奇函数的定义域求出,a.,解,方法一：由条件知,f(-x,)=-,f(x,),即,f(-x)+f(x,)=0.,+=0,化简得,a=4,方法二：,f(x,),是奇函数且,f(x,),在,x=0,处有意义，,f(0)=0,，,=0,即,=1,解得,a=4.,学后反思,方法一是利用若,f(x,),为奇函数，则,f(-x,)=-,f(x,),对任意,x,恒成立，抓住“对任意,x,恒成立”是解题关键；方法二要注意,f(x,),在,x=0,处有意义这个条件，这种方法很常用，需要熟练掌握,.,举一反三,2.,已知函数,f(x,)=(,a,b,cZ,),是奇函数,又,f(1)=2,f(2)3,求,a,b,c,的值,.,解析：,由,f(-x,)=-,f(x,),，得,-,bx+c,=-(,bx+c),c,=0.,又,f(1)=2,得,a+1=2b,而,f(2)3,得,3,解得,-1a2x-1;,(2),讨论函数,f(x,),的奇偶性,并说明理由,.,解析：,(1),即,x(x-1),0,x,1.,原不等式的解集为（,0,，,1,）,.,(2),当,a=0,时,f(x,)=.,对任意,x(-,0)(0,+),都有,f(x,),为奇函数,.,当,a0,时,(a0,x0),取,x=1,得,f(-1)+f(1)=2a0,f(-1)-f(1)=-20,f(-1)-f(1),f(-1)f(1),函数,f(x,),既不是奇函数,也不是偶函数,.,12.,设 为奇函数,a,为常数,.,(1),求,a,的值,;,(2),证明,f(x,),在,(1,+),内单调递增,;,(3),若对于,3,4,上的每一个,x,的值,不等式,恒成立,求实数,m,的取值范围,.,解析：,(1)f(x),是奇函数,f(-x,)=-,f(x,).,.,通过检验,a=1(,舍去,),a=-1.,(2),任取,.,即,f(x,),在,(1,+),内单调递增,.,恒成立,.,令,.,只需,可以用,定义证明,g(x,),在,3,4,上是增函数,.,时原式恒成立,.,第五节 函数的图象,一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等,.,对于这些函数的图象应非常清楚,描点法作图,:,通过 、三个步骤,画出函数图象,.,用描点法在选点时往往选取,有时也可利用函数的性质,(,如单调性、奇偶性、周期性,),画出图象,图象变换法作图,:,一个函数的图像经过适当的变换，得到另,一个与之有关的函数图像，,在高考中要求学生掌握三种变换,，,换,基础梳理,函数的图象,函数图象的作法,1.,基本函数,:,列表,描点,连线,特殊点,平移变换,伸缩变换,对称变换,2.,平移变换,(1)y=,f(x,),的图象 得到函数,y=,f(x+a,),的图象,.,(2)y=,f(x-b)(b,0),的图象可由,y=,f(x,),的图象 得到,.,对于左、右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀,:.,而对于上、下平移，相比较则容易掌握，原则是上加下减，但要注意的是加、减指的是在,.,如,:h0,y=,f(x)h,的图象可由,y=,f(x,),的图象 而得到,.,向左平移,a(a,0),个单位,向右平移,b,个单位,左加右减,f(x,),整体上,向上,(,下,),平移,h,个单位,3.,对称变换,(1)y=,f(-x,),与,y=,f(x,),的图象关于 对称,;,(2)y=-,f(x,),与,y=,f(x,),的图象关于 对称,;,(3)y=-,f(-x,),与,y=,f(x,),的图象关于 对称,;,(4)y=f-1(x),与,y=,f(x,),的图象关于 对称,;,(5)y=|,f(x,)|,的图象,:,可将,y=,f(x,),的图象,(6)y=,f(|x,|),的图象,:,可先作出,y=,f(x,),当,x0,时的图象,再利用,用,作出,y=f(x)(x0),的图象,.,y,轴,x,轴,原点,直线,y=x,在,x,轴下方的部分关于,x,轴翻转,180,其余部分不变,偶函数的图象关于,y,轴对称,4.,伸缩变换,(1)y=,Af(x)(A,0),的图象,可将,y=,f(x,),的图象上所有点的纵坐标,标,，不变而得到,;,(2)y=,f(ax)(a,0),的图象,可将,y=,f(x,),的图象上所有点的横坐标,，不变而得到,.,变为原来的,A,倍,横坐标,纵坐标,典例分析,题型一 作图,【,例,1】,作出下列函数的图象,.,(1)y=;(2)y=;,(3)y=;(4)y=,分析,首先将简单的复合函数化归为基本的初等函数,然后由基本初等函数图象变换得到,.,变为原来的,1/a,解,(1),首先化简解析式得,利用二次函数的图象作出其图象,如图,.,(2),因,y=,先作出,y=,的图象,将其图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位,即得,y=,的图象,如图,.,(3),先作出,y=,的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留,x,轴上方的部分,将,x,轴下方的图象翻折到,x,轴上方,即得,y=,的图象,如图,.,(4),先作出,y=,的图象,再将其图象在,y,轴左边的部分去掉,并作出,y,轴右边的图象关于,y,轴对称的图象,即得,y=,的图象,再将,y=,的图象向右平移一个单位,即得,y=,的图象,如图,.,学后反思,已知函数解析式研究函数图象问题,主要是将解析式进行恰当的化简,然后与一些熟知函数的图象相联系,通过各种图象变换,(,主要有平移变换、伸缩变换、对称变换,),等得到要求的函数图象,.,另外,还要善于借助解析式发现函数的性质,(,奇偶性、单调性、周期性等,),以此帮助分析函数图象的特征,.,举一反三,1.(2008,江西,),函数,y=tan,x+sin,x-|tan x-sin x|,在区间,2,32,内的图象大致是,(),题型二 识图,【,例,2】,下列四个函数中,图象如下图所示的只能是,(),A.y=,x+lg,x,B.y=,x-lg,x,C.y=-,x+lg,x,D.y=-,x-lg,x,解析：函数,y=tan,x+sin,x-|tan x-sin x|,=2tan x,当,tan xsin x,时,2sin x,当,tan,xsin,x,时,=2tan x,2x,2sin,x,x,0,而,C,、,D,中,y0,而,A,中,y=110+lg110=-9100(,即图象在,x,轴上方,),在其定义域,(0,+),中仅取几个特殊值进行验证,这种赋值法也是经常使用的,.,举一反三,2.,已知函数,y=f(x)(0 x1),的图象如图，若,0,1,则,(),A.B.,C.D.,以上都不正确,解析：,如图，设,P(,，,),Q(,),，则 、,分,分别是直线,OP,和,OQ,的斜率，易知 ，所以,答案：,A,题型三 函数的图象变换,【,例,3】(2009,青岛模拟,),已知,则下列函数的图象错误的是,(),分析,先画出分段函数,的,的图象，再根据函数图象间的变换逐一判断,.,解,f(x,),的图象如图所示,f(x-1),的图象由,f(x,),的图象向右平移,1,个单位，故,A,正确,;,f(-x,),的图象与,f(x,),的图象关于,y,轴对称，故,B,正确,;,由,y=,f(|x,|),的奇偶性可知,保留,f(x,),在,y,轴右侧的图象,左侧图象由右侧图象关于,y,轴对称得到，故,C,正确,;,|,f(x,)|,的图象是将,f(x,),图象在,x,轴下方部分关于,x,轴翻转,180,其余部分不变,故,D,错,.,学后反思,这类问题主要考查函数图象的几种变换,(,如平移变换、对称变换、伸缩变换等,),有时也考查函数的奇偶性及互为反函数的两个函数的图象问题,.,复习时应加强对,y=,f(x,),与,y=,f(-x,),、,y=-,f(x,),、,y=-,f(-x,),、,y=,f(|x,|),、,y=|,f(x,)|,及,y=,af(x)+b,的相互关系的理解,.,举一反三,3.,在同一平面直角坐标系中,y=,g(x,),，现将,y=,g(x,),的图象沿,x,轴向左平移,2,个单位,再沿,y,轴向上平移,1,个单位,所得图象是由两条线段组成的折线,(,如图所示,),求函数,g(x,),的表达式,.,解析：,设图中的函数为,则,题型四 函数图象综合问题,【,例,4】(12,分,),如图,点,A,、,B,、,C,都在函数,y=x,的图象上,它们的横坐标分别是,a,、,a+1,、,a+2.,又,A,、,B,、,C,在,x,轴上的射影分别是,A,、,B,、,C,记,ABC,的面积为,f(a),ABC,的面积为,g(a,).,(1),求函数,f(a,),和,g(a,),的表达式,;,(2),比较,f(a,),与,g(a,),的大小,并证明你的结论,.,分析,(1),充分利用已知图形,通过图形的拆分与组合找到问题的突破口,从而解决问题,.,(2),比较两值大小经常用到作差比较,通过,f(a,),与,g(a,),的差和,0,的大小关系得出,f(a,),与,g(a,),的大小,.,解,(1),连接,AA,、,BB,、,CC,2,则,f(a,)=SABC=S,梯形,AACC-SAAB-SCCB,=(AA+CC)AC-AAAB-CCBC,=(AA+CC)=(),4,g(a,)=SABC=ACBB=BB=.6,(2)f(a)-g(a)=8,=,=0,f(a,),g(a,).12,学后反思,本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等,.,充分借助图象信息,利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口,举一反三,4.(2008,北京,),如图,动点,P,在正方体,的对角线,上,.,过点,P,作垂直于平面,的直线,与正方体表面相交于,M,N.,设,BP=,x,MN,=y,则函数,y=,f(x,),的图象大致是,(),解析,:,显然,只有当点,P,移动到正方体中心,O,时,MN,有唯一的最大值,淘汰选项,A,、,C;,点,P,移动时,x,与,y,的关系应该是线性的,淘汰选项,D.,答案,:,B,易错警示,【,例,】,设函数,y=,f(x,),的定义域在实数集上,则函数,y=f(x-1),与,y=f(1-x),的图象关于,(),A.,直线,y=0,对称,B.,直线,x=0,对称,C.,直线,y=1,对称,D.,直线,x=1,对称,错解,函数是定义在实数集上且,f(x-1)=f(1-x),函数,y=,f(x,),的图象关于直线,x=0,对称，即选,A.,错解分析,这里的错误主要是把两个不同的对称问题混为一谈,.,即对称问题中有一结论,.,设函数,y=,f(x,),定义在实数集上,且,f(a+x,)=,f(a-x,),则函数,f(x,),关于直线,x=a,对称,这个结论只对于一个函数而言,而本题是关于两个不同函数的对称问题,若套用这一结论,必然得到一个错误的答案,.,正解,y=,f(x),xR,而,f(x-1),的图象是,f(x,),的图象向右平移,1,个单位而得到的,又,f(1-x)=f-(x-1),的图象是,f(x,),的图象也向右平移,1,个单位而得到的,因为,f(x,),与,f(-x,),的图象关于,y,轴,(,即直线,x=0),对称,因此,f(x-1),与,f-(x-1),的图象关于直线,x=1,对称，即选,D.,10.(2009,中山模拟,),已知函数,f(x,),具有如下两个性质,:,对任意的,R(),都有,图象关于点,(1,0),成中心对称图形,.,写出函数,f(x,),的一个表达式为,(,只要求写出函数,f(x,),的一个表达式即可,).,答案,:,y=x-1,解析,:,由知,f(x,),关于,(1,0),成中心对称且当,xR,时,f(x,),单调递增,这,样的函数不唯一,例如,y=x-1,.,11.(2009,太原模拟,),设函数,f(x,)=-2|x|-1(-3x3).,(1),求证,:,f(x,),是偶函数,;,(2),画出这个函数的大致图象,.,考点演练,解析：,(1),证明,:,f(-x,)=-2|-x|-1=-2|x|-1=,f(x,),即,f(-x,)=,f(x,),f(x,),是偶函数,.,(2),当,0 x3,时,f(x,)=-2x-1=-2;,当,-3x0,时,f(x,)=-2.,即,由二次函数的作图方法可得函数,f(x,),的图象如右图所示,.,12.,如图,函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,求函数的解析式,.,解析：,设左侧的射线对应的解析式为,y=kx+b(x1).,点,(1,1),(0,2),在射线上,则左侧射线对应的函数的解析式为,y=-x+2(x1).,同理,当,x3,时,y=x-2(x3).,再设抛物线对应的二次函数解析式为,(1x3,a0).,点,(1,1),在抛物线上,a+2=1,a=-1.,则抛物线对应的函数