高三数学第一轮总复习 9.7直线和平面所成的角与二面角课件(第1课时) 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,立足教育 开创未来,高中总复习（第,1,轮）,文科数学,全国,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第九章,直线、平面、简单几何体,1,9.7,直线和平面所成的角与二面角,考点,搜索,直线和平面所成的角的概念与计算,二面角、二面角的平面角的概念，平面角大小的计算高考,高考,猜想,1.,利用几何或向量方法求直线和平面所成的角、二面角的平面角,.,2.,转化角的条件，探求角的范围,.,2,1.,一个平面的斜线和它在这个平面内的,_,的夹角，叫做斜线和平面所成的角；如果直线和平面垂直，则直线和平面所成的角为,_;,如果直线在平面内或与平面平行，则直线和平面所成的角为,_.,2.,从一条直线出发的,_,所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的,_,，每个半平面叫做二面角的,_.,射影,90,0,两个半平面,棱,面,3,棱为,l,，两个平面分别为,、,的二面角记为,_.,3.,一个平面垂直于二面角,-l-,的棱且与两个半平面的交线分别是射线,OA,、,OB,，,O,为垂足，则,AOB,叫做二面角,-l-,的,_.,4.,从二面角,-l-,的棱上任取一点,O,，分别在二面角的两个面,、,内作,_,的射线,OA,、,OB,则,_,为二面角的平面角,.,-l-,平面角,垂直于棱,AOB,4,5.,从二面角,-l-,的一个面,内取一点,P,，过点,P,作,的垂线，垂足为,A,，过点,A,作棱,l,的垂线，垂足为,B,，则,_,为二面角的平面角(或其补角,).,6.,平面角是,_,的二面角叫做直二面角,.,7.,直线和平面所成的角的取值范围,是,_;,二面角的平面角的取值范围,_.,11,12,13,14,P,BA,直角,0,5,8.平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中,_,.,盘点指南,：射影；90;0;两个半平面;棱；面；,-l-,;平面角；垂直于棱;,AOB;,PBA,;,直角;,0，,;,0，;,最小的角,15,11,12,13,14,15,最小的角,6,若正四棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的底面边长为,1,，,AB,1,与底面,ABCD,成,60,角，则,A,1,C,1,到底面,ABCD,的距离为,(),A.B.1 C.D.,解：,依题意，,B,1,AB,=60,，,如图，,BB,1,=1,tan60,=,，,故选,D.,D,7,平面,的斜线与,所成的角为,30,，则此斜线和,内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为,(),A.30 B.60 C.90 D.150,解：,本题易误选,D,，因为斜线和,内所有不过斜足的直线为异面直线，故最大角为,90.,C,8,在边长为,a,的正三角形,ABC,中，,AD,BC,于,D,，沿,AD,折成二面角,B-AD-C,后，,BC,=,a,，这时二面角,B-AD-C,的大小为,(),A.30 B.45,C.60 D.90,解：,折起后的,BCD,为正三角形，故选,C.,C,9,1.,如图，四棱锥,P-ABCD,中，底面,AB CD,为矩形，,PD,底面,ABCD,，,AD=PD,，,E,、,F,分别为,CD,、,PB,的中点,.,(1),求证,:,平面,AEF,平面,PAB,;,(2),设,AB,=,BC,，求直线,AC,与,平面,AEF,所成的角的大小,.,题型,1,求直线和平面所成的角,第一课时,10,解法,1,：,(1),证明：连结,PE,.,因为,PD,底面,ABCD,，所以,PD,DE,.,又,CE=ED,，,PD=AD=BC,，所以,RtBCERtPDE,，,所以,PE=BE.,因为,F,为,PB,的中点，,所以,EF,PB,.,由三垂线定理，得,PAAB,.,11,所以在,RtPAB,中，,PF=AF,.,又,PE =BE=AE,，所以,EFPEFA,，所以,EFFA,.,因为,PB,、,FA,为平面,PAB,内两相交直线，,所以,EF,平面,PAB,，,故平面,AEF,平面,PAB,.,12,(2),不妨设,BC,=1,，则,AD=PD,=1,，,AB,=2,，,PA,=2,，,AC,=3.,所以,PAB,为等腰直角三角形,且,PB,=2.,因为,F,为斜边,PB,的中点，所以,BF,=1,，且,AF,PB,.,又,EF,PB,，所以,PB,平面,AEF,.,连结,BE,，交,AC,于,G,.,作,GHBP,交,EF,于,H,，则,GH,平面,AEF,，,13,所以,GAH,为,AC,与平面,AEF,所成的角,.,由,EGCBGA,可知，,EG=GB,，,所以,EG=EB,，从而,AG=AC=,.,由,EGHEBF,可知，,GH=BF=.,所以在,RtAHG,中 ，,所以,AC,与平面,AEF,所成的角为,arcsin,.,14,解法,2,：,以,D,为坐标原点，,DC,、,DA,、,D P,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系，如图,.,(1),设点,A,(0,，,1,，,0),，点,E,(,a,，,0,，,0)(,a,0),，,则点,C,(2,a,，,0,，,0),，,B,(2,a,，,1,，,0),，,P,(0,，,0,，,1),，,F,(,a,，,，,),，,所以,=,(0,，,，,),，,=(2,a,，,1,，,-1),，,=(2a,，,0,，,0).,15,于是 ，,，,所以,EF,PB,，,EF,AB,.,则,EF,平面,PAB,，故平面,AEF,平面,PAB,.,(2),由,，得,a,=,，,所以,=(,，,-1,，,0),，,=(,，,1,，,-1),，,=(,，,-,，,).,于是,，所以,PB,AF,.,又,PB,EF,，所以,PB,平面,AEF,，,16,即 是平面,AEF,的一个法向量,.,因为,cos,，,=,，,所以异面直线,AC,与,PB,所成的角为,arccos,.,设,AC,与平面,AEF,所成的角为,，则,，所以,所以,=,arcsin,.,故,AC,与平面,AEF,所成的角是,arcsin,.,17,点评：,直线与平面所成的角，其实质就是直线与其在平面上的射影所成的角,.,找直线在平面上的射影是关键，然后把题中条件转化到某些三角形中去，再利用解三角形的知识求得所求角,.,如果用向量法来解，则关键是求平面的法向量,.,18,如图，,l,1,、l,2,是互相垂直的异面直线，,MN,是它们的公垂线段，点,A、B,在,l,1,上，,C,在,l,2,上，,AM=MB=MN,.,(1)证明：,ACNB,;,(2)若,ACB=60,，,求NB与平面ABC所成的,角的余弦值.,19,解法1：,(1)证明：由已知,l,2,MN,，l,2,l,1,，,MNl1=M,，可得,l,2,平面,ABN,.,由已知,MNl,1,，,AM=MB=MN,，可知,AN=NB,且,ANNB,.,又,AN,为,AC,在平面,ABN,内的射影，所以,AC,NB.,20,(2)因为,RtCNARtCNB,，,所以,AC=BC,.,又已知,ACB,=60，,因此,ABC,为正三角形.,在,ABN,中，,AN=,AB,.,在,RtANC,中，因为,AC=AB,，,所以,NC=NA,，所以,NC=NA=NB,.,21,因此，,N,在平面,ABC,内的射影,H,是正三角形,ABC,的中心.,连结,BH,，则,NBH,为,NB,与平面,ABC,所成的角.,在,RtNHB,中，,22,解法,2,：,如图，建立空间直角坐标系,M-xyz,.,令,MN,=1,，则有,A,(-1,，,0,，,0),，,B,(1,，,0,，,0),，,N,(0,，,1,，,0).,(1),因为,MN,是,l,1,、,l,2,的公垂,线，,l,2,l,1,，,所以,l,2,平面,ABN,，所以,l,2,平行于,z,轴，故可设,C,(0,，,1,，,m,).,于是,=(1,，,1,，,m,),，,=(1,，,-1,，,0).,因为,=1+(-1)+0=0,，所以,AC,NB,.,23,(2),因为,AC,=(1,，,1,，,m,),，,BC,=(-1,，,1,，,m,),，,所以,又已知,ACB=60,，所以,ABC,为正三角形，,AC=BC=AB,=2.,在,RtCNB,中，,NB,=,，可得,NC,=,，故,C,(0,，,1,，,).,连结,MC,，作,NHMC,于,H,.,设,H,(0,，,，,2,)(,0),，,所以,=(0,，,1-,，,-2,),，,=(0,，,1,，,2).,24,因为,=1-,-2,=0,，所以,=.,由,H,(0,，,，,),，可得,=(0,，,，,-).,连结,BH,，则,=(-1,，,，,).,因为 所以,HN,BH,.,又,MC,BH,=,H,，所以,HN,平面,ABC,，,则,NBH,为,NB,与平面,ABC,所成的角,.,因为,=(-1,，,1,，,0),，,所以,25,2.如图，在三棱锥,V-ABC,中，,VC,底面,ABC,，,AC,BC,，,D,是,AB,的中点，且,AC=,BC=a,，,VDC=(0,).,(1)求证：平面,VAB,平面,VCD,;,(2)当角变化时，,求直线,BC,与平面,VAB,所成的角的取值范围.,题型,2,求直线和平面所成的角的取值范围,26,解法,1,：,(1),证明：因为,AC=BC=a,，,所以,ACB,是等腰三角形,.,又,D,是,AB,的中点，所以,CD,AB,.,因为,VC,底面,ABC,，所以,VC,AB,.,于是,AB,平面,VCD,.,而,AB,平面,VAB,，所以平面,VAB,平面,VCD,.,27,(2),如图，过点,C,在平面,VCD,内作,CH VD,于,H,，则由,(1),知,CH,平面,VAB.,连结,BH,，于是,CBH,就是直线,BC,与平面,VAB,所成的角,.,在,RtCHD,中，,设,CBH=.,在,RtBHC,中，,CH=a,sin,，所以,sin,=,sin,.,因为,0,，,所以,0,sin,1,，,则,0,sin,.,28,又,0,，所以,0,.,即直线,BC,与平面,VAB,所成的角的取值范围是,(0,，,).,解法,2,：,(1),以,CA,、,CB,、,CV,所在的直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,C,(0,，,0,，,0),，,A,(,a,，,0,，,0),，,B,(0,，,a,，,0),，,D,(,，,，,0),，,V,(0,，,0,，,atan,).,29,于是,=(,，,，,-,atan,),，,=(,，,，,0),，,=(-,a,，,a,，,0).,从而,=(-,a,，,a,，,0)(,，,，,0),，即,AB,CD,.,同理，,即,AB,VD,.,又,CDVD=D,，所以,AB,平面,VCD,.,而,AB,平面,VAB,，所以平面,VAB,平面,VCD,.,30,(2),设直线,BC,与平面,VAB,所成的角为,，平面,VAB,的一个法向量为,n=(x,，,y,，,z).,则由,n,=0,，,n,=0,，,得,.,故可取,n,=(1,，,1,，,cot,).,又,=(0,，,-,a,，,0),，,于是,.,因为,0,所以,0,sin,1,则,0,sin,.,31,又,0,，所以,0,.,即直线,BC,与平面,VAB,所成的角的取值范围为,(0,，,).,点评,：求与角有关的取值范围问题，一是可利用函数思想把所求问题转化为某参数的函数问题；二是可利用数形结合思想结合图形的某些特殊情况求得最值或范围,.,32,如果,BC,平面,，斜线,AB,与平面,所成的角为,，,ABC=,，,AA,平面,，垂足为,A,，,ABC=,(,为锐角,),，那么,(),A,.,cos,=,coscos,B.,sin,=,sinsin,C.,cos,=,coscos,D.,cos,=,coscos,33,解：,作,AD,BC,于,D,，连结,AD,.,由三垂线定理得,AD,BD,.,在,RtAAB,中，,cos,=.,在,RtABD,中，,cos,=.,在,RtABD,中，,cos,=.,所以,coscos,=,，故选,A.,34,1.,直线与平面所成的角是平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,(,直线与平面垂直或平行,(,包括直线在平面内,),时，成直角或,0,角,).,我们往往在斜线上取一点向平面引垂线，以形成由平面的斜线、垂线及斜线在平面上的射影组成的直角三角形,.,这里的关键是引平面的垂线，明确垂足的位置,.,35,2.,求角的一般步骤是,:,(1),找出或作出有关的平面角；,(2),证明它符合定义,;,(3),归到某一三角形中进行计算,.,为了便于记忆，可总结口诀：“一找、二证、三计算”,.,36,求直线和平面所成的角，有时可考虑将直线或直线在平面内的射影作适当平移，再进行求解,.,3.,设,n,是平面,的一个法向量，,AB,为平面,的一条斜线段，,A,为斜足，直线,AB,和平面,所成的角为,，,则,=|-,n,，|.,37,