高考数学复习第五章 平面与空间向量1至6节 人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,1,节 向量与向量的加减法,第五章 平面与空间向量,要点,疑点,考点,1.,向量的有关概念,(1),既有大小又有方向的量叫向量，长度为,0,的向量叫零向量，长度为,1,个单位长的向量，叫单位向量,.,(2),方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量,.,规定零向量与任一向量平行,.,(3),长度相等且方向相同的向量叫相等向量,.,2.,向量的加法与减法,(1),求两个向量和的运算，叫向量的加法，向量加法按平行四边形法则或三角形法则进行,.,加法满足交换律和结合律,.,(2),求两个向量差的运算，叫向量的减法,.,作法是连结两向量的终点，方向指向被减向量,.,课 前 热 身,1,B,C,1.,已知,a,b,方向相同，且,|a|=3,，,|b|=7,，则,|2a-b|=_,.,2.,如果,AB=,a,CD,=b,，则,a=b,是四点,A,、,B,、,D,、,C,构成平行四边形的,(),(A),充分不必要条件,(B),必要不充分条件,(C),充要条件,(D),既不充分也不必要条件,3.,a,与,b,为非零向量，,|,a+b,|=|a-b|,成立的充要条件是,(),(,A),a,=b,(,B),ab,(,C),a,b,(,D),|a,|=|b|,C,B,4.,下列算式中不正确的是,(),(A),AB+BC+CA=,0,(B),AB-AC=BC,(C)0,AB=,0,(,D),(a,)=(,)a,5.,已知正方形,ABCD,边长为,1,，,AB=,a,BC,=,b,AC,=c,则,a+b+c,的模等于,(),(A)0 (B)3 (C)22 (D)2,能力,思维,方法,【,解题回顾,】,本例主要复习向量的基本概念,.,向量的基本概念较多，因而容易遗忘,.,为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想,.,引导学生在理解的基础上加以记忆,.,1.,给出下列命题：,若,|a|=|b|,，则,a=b,；,若,A,，,B,，,C,，,D,是不共线的四点，则,AB=DC,是四边形,ABCD,为平行四边形的充要条件；,若,a=,b,b,=c,，则,a=c,；,a=b,的充要条件是,|a|=|b|,且,a,b,；,若,a,b,b,c,，则,a,c,.,其中，正确命题的序号是,_,，,【,解题回顾,】,解法,1,系应用向量加、减法的定义直接求解；解法,2,则运用了求解含有未知向量,x,y,的方程组的方法,2.,在平行四边形,ABCD,中，设对角线,AC=,a,BD,=b,，试用,a,b,表示,AB,，,BC,.,3.,如果,M,是线段,AB,的中点，求证：对于任意一点,O,，有,OM=(OA+OB),【,解题回顾,】,选用本例的意图有二，其一，复习向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则；其二，向量内容中蕴涵了丰富的数学思想，如模型思想、形数结合思想、分类讨论思想、对应思想、化归思想等，复习中要注意梳理和领悟,.,本例深刻蕴涵了形数结合思想与分类讨论思想,.,【,解题回顾,】(1),以上证明实际上给出了所证不等式的几何解释；,(2),注意本题证明中所涉猎的分类讨论思想、化归思想,.,4.,对任意非零向量,a,b,，求证：,|a|-|,b|a,b|a|+|b,|.,【,解题回顾,】,充分利用等腰直角三角形这两个条件，转化为,|AB|=|BC|,，,AB,BC,延伸,拓展,5.,在等腰直角三角形,ABC,中，,B,=90,AB=,(1,，,3),，分别求向量,BC,、,AC,误解分析,2.,需要分类讨论的问题一定要层次清楚，不重复，不遗漏,.,1.,在向量的有关习题中，零向量常被忽略,(,如能力,思维,方法,1.,中,),，从而导致错误,第,2,节 实数与向量的积,要点,疑点,考点,2,共线定理,.,向量,b,与非零向量,a,共线的充要条件是有且只有一个实数,，使得,b=,a,1.,实数与向量的积的概念,.,(1),实数,与向量,a,的积记作,a,，其长度,|,a,|=|,|a,|,；方向规定如下：当,0,时，,a,的方向与,a,的方向相同；当,0,时，,a,的方向与,a,的方向相反；当,=0,时，,a,=0.,(2),设,、,为实数，则有如下运算律：,(a,)=(,)a,，,(,+)a,=,a+a,，,(a+b,)=,a+b,3.,平面向量基本定理,如果,e,1,、,e,2,是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,a,，有且只有一对实数,1,2,，使,a=,1,e,1,+,2,e,2,其中,e,1,，,e,2,叫基底,.,1.,设命题,p,：向量,b,与,a,共线，命题,q,:,有且只有一个实数,，使得,b=a,则,p,是,q,的,(),(A),充分不必要条件,(B),必要不充分条件,(C),充要条件,(D),既不充分又不必要条件,2.,给出下列命题：,若,a,b,共线且,|a|=|b|,，则,(a-b),(a+b),；,已知,a=2e,b=3e,，则,a=3b/2,；若,a=e,1,-e,2,b=-,3,e,1,+3e,2,，且,e,1,e,2,，则,|a|=3|b|,；在,ABC,中，,AD,是,BC,上的中线，则,AB+AC=2AD,其中，正确命题的序号是,_,3.(1),在平行四边形,ABCD,中，,AB=a,AD=b,那么用,a,和,b,表示向量,AC+DB,为,(),(2),已知平行四边形,ABCD,的对角线交于点,E,，设,AB=e,1,，,AD=e,2,，则用,e,1,e,2,表示,ED,的表达式为,(),(A),2a,(B),2b,(C)0,(D),a+b,课 前 热 身,B,，,A,B,D,4.,平面直角坐标系中，,O,为坐标原点，已知两点,A(3,，,1),，,B(-1,，,3),，若点,C,满足,OC=OA+OB,，其中,a,、,R,，且,+=1,则点,C,的轨迹方程为,(),(A)3,x+,2,y,-11,=0,(B),(x,-1,),2,+(y,-2,),2,=,5,(C)2,x-y=,0 (D),x+,2,y,-5=0,5.,设,P,、,Q,是四边形,ABCD,对角线,AC,、,BD,中点，,BC=a,DA=b,，则,PQ,=_,能力,思维,方法,1.,已知,AB=2e1+ke2,BC=e1+e2,CD=e1-2e2,其中,e1,e2,不共线，,(1),若,A,、,B,、,C,三点共线，求,k,值；,(2),若,A,、,B,、,D,三点共线，求,k,值,.,【,解题回顾,】,可利用向量共线的充要条件证明几何中的三点共线问题,.,2.,设,ABC,的重心为,G,，点,O,是,ABC,所在平面内一点，求证：,OG=(OA+OB+OC),【,解题回顾,】,当点,O,是,ABC,重心时，有,OA+OB+OC=0,；反过来，若,P,是,ABC,所在平面内一点，且,PA+PB+PC=0,，则,P,必为,ABC,的重心,.,事实上，由,PA+PB+PC=,0,得：,(OA-OP)+(OB,-OP)+(OC-OP)=,0,，所以,OP=(OA+OB+OC),，故,P,是,ABC,的重心,3.,已知,OA,、,OB,不共线，设,OP=,aOA+bOB,，求证：,A,、,P,、,B,三点共线的充要条件是,a+b,=,1,.,【,解题回顾,】,由本题证明过程可知，若,P,是,AB,中点，则有,OP=(OA+OB),.,利用本题结论，可解决一些几何问题,.,4.,E,是,ABCD,的边,AB,上一点，,AE/EB=1/2,，,DE,与对角线,AC,交于,F,，求,AF,/,FC,.(,用向量知识解答,),【,解题回顾,】,利用例,3,结论，本题还可这样：,设,AE=e,1,，,AD=e,2,，,D,、,F,、,E,共线，,可设,AF=e,1,+(,1,-)e,2,，又易知,AC=3e,1,+e,2,根据,A,、,F,、,C,三点共线可得,=3/4,，故,AF/FC=1/3,.,另外还可以用坐标运算的方法来解，略,.,延伸,拓展,5.,如图，已知梯形,ABCD,中，,AD,CB,，,E,，,F,分别是,AD,，,BC,边上的中点，且,BC=3AD,，设,BA=a,BC=b,，以,a,b,为基底表示,EF,，,DF,，,CD,.,【,解题回顾,】,本题实际上是平面向量的基本定理的应用,.,由于,BA,与,BC,是不共线的两个向量，因此平面上的任何一个向量都可以用它们表示出来,.,误解分析,1.,很多人认为“若,a,b,，则存在唯一实数,使,b,a,.”,这是典型错误,.,事实上，它成立的前提是,a,0.,同样，在向量基本定理中，若,e,1,，,e,2,是共线向量，则不能用,e,1,，,e,2,表示与它们不共线的向量,.,2.,在能力,思维,方法,3,中，充要条件的证明极易混乱，一定要分清条件和结论,.,另外，向量上的箭头不要丢掉，如把,0,写成了,0.,第,3,节 平面向量的坐标表示,要点,疑点,考点,1.,平面向量的坐标表示,(1),a,(,x,，,y,),叫向量的坐标表示，其中,x,叫,a,在,x,轴上的坐标，,y,叫,a,在,y,轴上的坐标,.,(2),设,a,(,x,1,，,y,1,),，,b,(,x,2,，,y,2,),，,R,.,则,a+b,(,x,1,+x,2,，,y,1,+y,2,),，,a-b,(,x,1,-,x,2,，,y,1,-,y,2,),，,a,(,x,1,，,y,1,),(3),a,b,(,b,0),的充要条件是,x,1,y,2,-,x,2,y,1,0,2.,线段的定比分点,(1),定义：设,P,1,、,P,2,是直线,l,上的两点，点,P,是,l,上不同于,P,1,、,P,2,的任一点，则存在一个实数,，使,P,1,P,PP,2,，,叫点,P,分有向线段,P,1,P,2,所成的比，点,P,叫定比分点,.,(2),公式：设,P,1,(x,1,，,y,1,),，,P,2,(x,2,，,y,2,),，,P,1,P,PP,2,，则,当,1,时，为中点坐标公式,.,3.,平移,设原坐标,P(x,，,y),按向量,a(h,，,k),平移后得到新坐标,则,1.,设,A(x,1,，,y,1,),、,B(x,2,，,y,2,),是不同的两点，点,P(x,，,y),的坐,标由公式,确定,.,当,R,且,-1,时有,(),(A)P,表示直线,AB,上的所有点,(B)P,表示直线,AB,上除去,A,的所有点,(C)P,表示直线,AB,上除去,B,的所有点,(D)P,表示直线,AB,上除去,A,、,B,的所有点,课 前 热 身,C,2.,若对,n,个向量,a,1,、,a,2,、,、,a,n,，存在,n,个不全为零的实数,k,1,、,k,2,、,、,k,n,，使得,k,1,a,1,+k,2,a,2,+,k,n,a,n,=0,成立，则称向量,a,1,、,a,2,、,、,a,n,为“线性相关”，依此规定，能使,a,1,=(1,0),，,a,2,=(1,-1),，,a,3,=(2,2)“,线性相关”的实数,k,1,、,k,2,、,k,3,依次可取的值是,_(,写出一组数值即可，不必考虑所有情况,),-4,，,2,，,1,3.,三点,A(x,1,，,y,1,),、,B(x,2,，,y,2,),、,C(x,3,，,y,3,),共线的充要条件是,(),(A)x,1,y,2,-x,2,y,1,0,(B)(x,2,-x,1,)(x,3,-x,1,),(y,2,-y,1,)(y,3,-y,1,),(C)(x,2,-x,1,)(y,3,-y,1,),(x,3,-x,1,)(y,2,-y,1,),(D)x,1,y,3,-x,3,y,1,0,C,B,4.,若向量,a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),，,则,c,等于,(,),5.,函数,y=x,2,的图象按向量,a=(2,1),平移后得到的图象的函数表达式为,(),(,A)y,=(x-2),2,-1 (,B)y,=(x+2),2,-1,(,C)y,=(x-2),2,+1 (,D)y,=(x+2),2,+1,C,能力,思维,方法,【,解题回顾,】,任何两个不共线的向量都可作为基底，,i,(1,，,0),，,j,(0,，,1),分别是直角坐标系横、纵两个方向的单位向量，用,i,、,j,表示向量时，,xi+yj,中的,x,、,y,是惟一的，即为向量的,(,直角,),坐标,.,两个向量用坐标表示时，当且仅当两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等,.,1.,设,x,、,y,为实数，分别按下列条件，用,xa+yb,的形式表示,c.,(1),若给定,a,(1,，,0),，,b,(0,，,1),，,c,(-3,，,-5),；,(2),若给定,a,(5,，,2),，,b,(-4,，,3),，,c,(-3,，,-5).,【,解题回顾,】,设,a,(x,1,，,y,1,),，,b,(x,2,，,y,2,),，若,b0,，则,ab,的充要条件是存在实数,，使得,a,b,.,用坐标形式来表示就是,ab,x,1,y,2,-x,2,y,1,0.,而,x,1,/x,2,y,1,/y,2,是,ab,的充分不必要条件,.,2.,已知在梯形,ABCD,中，,ABCD,，,A(1,，,1),，,B(3,，,-2),，,C(-3,，,-7),，若,AD(BC-2AB),，求,D,点坐标,.,3.,已知三点,A(1,，,2),、,B(4,，,1),、,C(3,，,4),，在线段,AB,上取一点,P,，过,P,作直线与,BC,平行交,AC,于,Q,，,APQ,与梯形,PQCB,的面积之比是,45,，求点,P,的坐标,.,【,解题回顾,】,一般地，函数,y,f(x,),的图象按,a,(h,，,k),平移后所得图象的解析式为,y-k,f(x-h,),，即,y,f(x-h)+k,.,4.,若函数,y,log,2,(2x-4)+1,的图象按,a,平移后图象的解析式为,y,log,2,2x,，求,a.,延伸,拓展,【,解题回顾,】,本题,(2),是一道开放题，求解开放题的一般途径是假定命题成立,.,解出存在的值,(,如无解，则不存在,),，再验证求出的解，如不矛盾，则存在,.,5.,已知点,O(0,，,0),，,A(1,，,2),，,B(4,，,5),及,OP,OA+tAB,，试问：,(1)t,为何值时，,P,在,x,轴上,?,在,y,轴上,?P,在第二象限,?,(2),四边形,OABP,能否成为平行四边形,?,若能，求出相应的,t,值；若不能，请说明理由,.,1.,利用定比分点解题时，一定要先把定比,先明确，,的意义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量，不能算错,.,误解分析,2.,利用平移公式解题时，一定要分清原坐标与新坐标之间关系,.,第,4,节 平面向量的数量积,要点,疑点,考点,2.,平面向量的数量积的运算律,(1)ab,ba,(2)(a)b,(ab,),a(b,),(3)(a+b)c,ac+bc,1.,平面向量的数量积的定义,(1),设两个非零向量,a,和,b,，作,OA,a,，,OB,b,，则,AOB,叫,a,与,b,的夹角，其范围是,0,，,，,|,b|,cos,叫,b,在,a,上的投影,.,(2),|a|b|cos,叫,a,与,b,的数量积，记作,ab,，即,ab,|,a|b|cos,.,(3),几何意义是：,ab,等于,|a|,与,b,在,a,方向上的投影,|,b|cos,的积,.,3.,平面向量的数量积的性质,设,a,、,b,是非零向量，,e,是单位向量，,是,a,与,e,的夹角，则,(1),ea,ae,|,a|cos,(2),a,b,ab,0,(3),ab,|,a|b|(a,与,b,同向取正，反向取负,),(4),aa,|a|2,或,|a|,aa,(5),(6),|ab|a|b|,4.,平面向量的数量积的坐标表示,(1),设,a,(x,1,，,y,1,),，,b,(x,2,，,y,2,),，,则,ab,x,1,x,2,+y,1,y,2,，,|a|,2,x,2,1,+y,2,1,，,|a|,x,2,1,+y,2,1,，,a,b,x,1,x,2,+y,1,y,2,0,(2),(3),设,a,起点,(x,1,，,y,1,),，,终点,(x,2,，,y,2,),则,1.,若向量,a,、,b,的坐标满足,a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3),，则,ab,等于,(),(A)-5 (B)5 (C)7 (D)-1,2.,若,a,、,b,、,c,是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，则,(),(A),(a)2(b)2=(ab)2,(B),|a+b|,|a-b|,(C),(ab)c-(bc)a,与,b,垂直,(D),(ab)c-(bc)a=0,3.,设有非零向量,a,b,c,，则以下四个结论,(1)a(b+c)=ab+ac,；,(2)a(bc)=(ab)c;(3)a=bac=bc,；,(4)ab=ab,.,其中正确的是,(),(A)(1),、,(3)(B)(2),、,(3),(C)(1),、,(4)(D)(2),、,(4),课 前 热 身,A,C,A,4.,设,a=(1,0),b=(1,1),，且,(a+b),b,，则实数,的值是,(),(A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/2,5.,已知,|a|,10,，,|b|,12,，且,(3a)(,b,/,5),-36,，则,a,与,b,的夹角是,(),(A)60 (B)120 (C)135 (D)150,D,B,能力,思维,方法,【,解题回顾,】,利用夹角公式待定,n,，利用垂直充要条件求,c,.,1.,已知,a=(1,2),b=(-2,n),，,a,与,b,的夹角是,45,(1),求,b,；,(2),若,c,与,b,同向，且,c-a,与,a,垂直，求,c,2.,已知,x,a+b,，,y,2a+b,且,|,a|,|b|,1,，,a,b,.,(1),求,|x|,及,|y|,；,(2),求,x,、,y,的夹角,.,【,解题回顾,】(1),向量模的计算方法常用的有两种，一是用距离公式，一是用,a,2,|a|,2,把模的问题转化为平面向量的数量积的问题,.,(2),向量夹角的取值范围是,0,，,.,【,解题回顾,】,本题中，通过建,立恰当的坐标系，赋予几何图,形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决,.,应深刻领悟到其中的形数结合思想,.,此外，题中坐标系建立的恰当与否很重要，它关系到运算的繁,与简,.,3.,如图，,P,是正方形,ABCD,的对角线,BD,上一点，,PECF,是矩形，用向量法证明：,(1),PA,EF,；,(2),PA,EF.,【,解题回顾,】,这是一道关于向量与解析几何的综合题，解题的关键在于将问题合理地转化，回避了复杂的计算,.,4.,已知,a=(x,0),b=(1,y),且,(a+b)(a-b).(1),求点,P(x,y),的轨迹方程,C,的方程,.,(2),若直线,l:y=kx+m(m0),与曲线,C,交于,A,、,B,两点，,D(0,，,1),，,且有,AD,=,BD,试求实数,m,的取值范围,.,延伸,拓展,5.,已知向量,a=(x,x-,4,),，向量,b=(x,2,3,x,/2,),x,-4,，,2,(1),试用,x,表示,ab,(2),求,ab,的最大值，并求此时,a,、,b,夹角的大小,.,【,解题回顾,】,本题将向量与三次函数的最值问题溶于一体，考查知识的综合应用,.,【,解题回顾,】(1),是用数量积给出的三角形面积公式，,(2),则是用向量坐标给出的三角形面积公式,.,6.,在,ABC,中，,(1),若,CA,a,，,CB,b,，求证,ABC,的面积,(2),若,CA,(a,1,，,a,2,),，,CB,(b,1,，,b,2,),，求证：,ABC,的面积,1,数量积作为向量的一种特殊运算，其运算律中结合律及消去律不成立，即,a(bc),(ab)c,，,ab,ac,不能推出,b,c,，除非是零向量,.,误解分析,2,a,b,的充要条件不能与,a,b,的充要条件混淆，夹角的范围是,0,，,，不能记错,.,求模时不要忘了开方，以上是造成不全对的主要原因,.,第,5,节 空间向量及其运算,要点,疑点,考点,1.,若,a,、,b,是空间两个非零向量，它们的夹角为,(0,),，则把,a,、,b,的数量积定义为,|,a|b|cos,，记作,ab,.,即,ab,=|,a|b|cos,.,2,.ab=,ba,，,(,a+b)c,=,ac+bc,3,.,若,a=,x,1,，,y,1,，,z,1,，,b=,x,2,，,y,2,，,z,2,，则,ab,=x,1,x,2,+y,1,y,2,+z,1,z,2,1.,在以下四个式子：,a+bc,，,a(bc,),，,a(bc,),，,|,ab,|=|,a|b,|,中正确的有,(),(A)1,个,(B)2,个,(C)3,个,(D)0,个,2.,若,a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),，如果,a,与,b,为共线向量，则,(),(,A),x,=,1,y=,1 (B),(C)(D),3.,已知四边形,ABCD,中，,AB=a-2c,，,CD=5a+6b-8c,，对角线,AC,，,BD,的中点分别为,E,，,F,，则,EF=_,课 前 热 身,A,C,3a+3b-5c,4.,在正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，下面给出四个命题：,(A,1,A+A,1,D,1,+A,1,B,1,),2,=3,(A,1,B,1,),2,A,1,C(A,1,B,1,-A,1,A)=,0.,AD,1,与,A,1,B,的夹角为,60,此正方体体积为：,|ABAB,1,AD|,则错误命题的序号是,_(,填出所有错误命题的序号,).,5.,若,A,、,B,、,C,三点在同一条直线上，对空间任意一点,O,，存在,m,、,n,R,，满足,OC=,mOA+nOB,，则,m+n,=_,.,、,1,能力,思维,方法,1.,已知三棱锥,OABC,中，,G,为,ABC,的重心，,OA=a,，,OB=b,，,OC=c,，试用,a,b,c,来表示,OG,.,【,解题回顾,】(1),此例用到的常用结,论为：若,AD,是,ABC,的中线，则有,(2),此例是常用结论即重心定理：当,OA,、,OB,、,OC,两两垂直时，在空间直角坐标系中，重心坐标公式为：,2.,已知正三棱锥,PABC,中，,M,，,N,分别是,PA,，,BC,的中点，,G,是,MN,的中点,.,求证：,PG,BC,.,【,解题回顾,】,要证,PG,BC,，只,要证,PGBC,=0,，应选择适当的基,底：,PA,，,PB,，,PC,.,3,.,在正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，,AC,交,BD,于,O,，,G,为,CC,1,中点,.,求证：,A,1,O,平面,GBD,.,【,解题回顾,】,欲证,A,1,O,平面,GBD,，只要证,A,1,O,垂直于面,BDG,中两,条相交直线，易看出,A,1,O,BD,，而,OG,与,A,1,O,垂直较为易证,.(,注：此题亦可用空间坐标来证明,).,4.,沿着正四面体,OABC,的三条棱,OA,，,OB,，,OC,的方向有大小等于,1,，,2,和,3,的三个力,f,1,，,f,2,，,f,3,，试求此三个力的合力,f,的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦,.,【,解题回顾,】,引入,OA,、,OB,、,OC,方向上的三个单位向量是本题得到解决的关键,.,延伸,拓展,5,已知三角形的顶点是,A,(1,，,-1,，,1),，,B,(2,，,1,，,-1),，,C,(-1,，,-1,，,-2),试求这个三角形的面积,.,【,解题回顾,】,本题实际上是给出了三角形的“向量型”面积公式,.,到目前为止，你一共知道多少种求三角形面积的方法呢,?,误解分析,已知,|a|=,4,，,|,b|=,5,，,|,a+b,|=,21,，求,ab,【,分析,】,确定两个向量的夹角，应将它们平移，使始点重合，这时这两个向量间的夹角,才是所要求的角本题中,ABC,不是,a,与,b,的夹角，而是,-a,与,b,的夹角,(,试画图观察,),，即,a,与,b,的夹角应是,ABC,的补角，,所以,第,6,节 空间向量在立体几何中的应用,要点,疑点,考点,2.,向量,a,与,b,平行的充要条件为：,|,ab,|=|,a|b,|,.,1,向量,a,与,b,夹角,满足：,若,a=,x,1,，,y,1,，,z,1,，,b=,x,2,，,y,2,，,z,2,则,3.,向量,a,与,b,垂直的充要条件为：,ab,=,0,即,x,1,x,2,+y,1,y,2,+z,1,z,2,=0,1.,四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线,(),(A),互不相交,(B),至多有两条直线相交,(C),三线相交于一点,(D),两两相交得三个交点,课 前 热 身,C,2.,在正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中棱长为,a,，,M,，,N,分别为,A,1,B,和,AC,上的点，,A,1,M=AN=,a,，则,MN,与平面,BB,1,C,1,C,的位置关系是,(),(A),相交,(B),平行,(C),垂直,(D),不能确定,B,3.,已知,PA,O,所在的平面，,AB,为,O,的直径，,C,是圆周上的任意一点,(,但异于,A,和,B,),，则平面,PBC,垂直于平面,_,PAC,4.,在棱长为,1,的正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,，,N,分别为,A,1,B,1,和,BB,1,的中点，那么直线,AM,与,CN,所成的角为,(),(,A)arccos,(,B)arccos,(,C)arccos,(,D)arccos,D,【,解题回顾,】,空间两条直线,之间的夹角是不超过,90,的,角因此，如果按公式计算,分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很多计算问题中经常被用到,.,5,P,是二面角,-,AB,-,棱上的一点，分别在,，,平面上引射线,PM,，,PN,，如果,BPM=,BPN=,45,MPN=,60,，那么二面角,-AB-,的大小为,(),(A)60 (B)70,(C)80 (D)90,D,【,解题回顾,】,从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线,.,【,解题回顾,】,从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线,.,6,设,n,是平面,的单位法向量，,AB,是平面,的一条斜线，其中,A,，则,AB,与平面,所成的角为,；,B,点到,平面,的距离为,_,.,ABn,能力,思维,方法,【,解题回顾,】,用向量求异面,直线所成的角，可能会因为,我们选择向量方向的缘故，,而求得该角的补角所以最,后作答时要加以确认,(,取小于或等于,90,的角作为异面直线所成角,).,1.,在长方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB=a,，,BC=b,，,AA,1,=c,，求异面直线,BD,1,和,B,1,C,所成角的余弦值,.,【,解题回顾,】,本题中，不失一般性，可以取,OB=b=,1,，,OC=c=,1,，这样使过程更加清晰,.,2.,三条射线,OA,，,OB,，,OC,，若,BOC=,COA=,AOB=,，又,二面角,B-OA-C,的大小为,，试证这些角之间有如下关系：,【,解题回顾,】,将“两线垂直”问题,向“两线所在的向量的数量积为,0”,转化,.,3.,已知,ADB,和,ADC,都是以,D,为直角顶点的直角三角形，且,AD=BD=CD,，,BAC,=60.,(1),求证,BD,平面,ADC,；,(2),若,H,是,ABC,的垂心，,求证,H,是,D,在平面,ABC,内的射影,.,【,解题回顾,】,根据向量和的平行四边形法则，在平行六面体中利用量解题应当是最方便的，同学们应用心体会,.,4,.,平行六面体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，已知,AB=,5,，,AD=,4,AA,1,=3,，,AB,AD,，,A,1,AB,=,A,1,AD,=.,(1),求证：顶点,A,1,在底面,ABCD,的射影在,BAD,的角平分线上；,(2),若,M,、,N,分别在,D,1,C,1,、,B,1,C,1,上,且,D,1,M=,2,，,B,1,N=,2,，求,BN,与,CM,所成的角,.,延伸,拓展,【,解题回顾,】,求两点间距离可以转化为向量的模,.,5.,四面体,ABCD,中，,DAC=,BAC=,BAD=,60,，,AC=AD=,2,，,AB=,3.,(1),求直线,AC,和,BD,所成角的余弦值；,(2),求点,C,到平面,ABD,的距离,.,6.,设,l,1,，,l,2,是两条异面直线，其公垂线段,AB,上的单位向量为,n,，又,C,，,D,分别是,l,1,，,l,2,意一点，求证,|AB|=|,CDn,|,；,【,解题回顾,】,在以上推导中，,我们已暗中假定了,n,的方向是,由,l,1,上的点,A,指向,l,2,上的点,B,，,而,CD,的方向也是由,l,1,上的点,C,指向,l,2,上的点,D,这样求得的,CDn,是正值,.,如果,n,指向与,CD,指向不同则,CDn,是负值，所以一般地就写成,|AB|=|,CDn,|,.,又如果,n,不是单位向量，则,7.,已知正方体,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,a,，求体对角线,BD,1,与面对角线,B,1,C,的距离,.,【,解题回顾,】,DA,，,DC,，,DD,1,有,着基底的作用，我们将,BD,1,与,B,1,C,的公垂线段向量,n,用这组基,底来表示,.,因为相差一个常数因,子不影响其公垂性，所以设定,了,n=DA+DC+DD,1,，使其只含有两个待定常数，这样就方便多了,.,误解分析,关于向量的命题：,1.,若,|a|=,0,，则,a=,0,；,(),2.,若,|a|=|b|,，则,a=b,或,a=-b,；,(),3.,a,0,为单位向量，,a,a,0,，则,a=|a|a,0,；,(),4.0,a=,0,；,(),5.,|ab|=|,a|b,|,；,(),6.,若,ab,=,0,，则,a=,0,或,b,=0,；,(),7.,a,b,ab,=|,a|b,|,(),8.,a,、,b,都是单位向量，则,ab,=1,；,(),9.,若,|,ab,|=,0,，则,|a|=,0,或,|b|=,0,；,(),10.,(ab)c=,a(bc,),.(),尝试说明上述命题为假的理由,.,