高三数学高考(理)总复习系列课件：2.6幂函数苏教版 高三数学高考(理)总复习系列课件：函数与导数苏教版 高三数学高考(理)总复习系列课件：函数与导数苏教版.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,要点梳理,1.,幂函数的意义,一般地,形如,y,=_,的函数称为幂函数,其中,x,是自变量,为常数,.,2.,画幂函数图象的方法,(1),列表、描点、连线法,.,(2),先画出幂函数在第一象限的图象,再利用幂函数,的性质作出其余的图象,.,2.6,幂函数,基础知识 自主学习,3.,幂函数,y,=,x,y,=,x,3,的图象,的研究用描点法画出图象,.,4.,幂函数,y,=,x,y,=,x,2,y,=,x,3,的性质,y,=,x,y,=,x,2,y,=,x,3,y,=,x,-1,定义域,R,R,R,0,+),(-,0),(0,+),值域,R,0,+),R,0,+),(-,0),(0,+),奇偶性,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,单调性,增,(-,0),减,(0,+),增,增,增,(-,0),减,(0,+),减,定点,(0,0)(1,1),(1,1),5.,幂函数的性质,(1),所有的幂函数在,(0,+),都有定义,并且图象都,通过点,_.,(2),如果,0,则幂函数的图象过原点，并且在区,间,0,+),上为,_.,(3),如果,0,，则幂函数图象在区间,(0,+),上为,_.,在第一象限内,当,x,从右边趋向于原点时，,图象在,y,轴右方无限地逼近,y,轴,当,x,趋向于,+,时,图,象在,y,轴上方无限地逼近,x,轴,.,(4),当,为奇数时,幂函数为,_,当,为偶数时,幂函数为,_.,(1,1),增函数,减函数,奇函数,偶函数,基础自测,1.,下列函数中是幂函数的是,_.,y,=,x,x,;,解析,由幂函数的定义可得,.,2.,函数,y,=,x,-2,的定义域是,_.,解析,y,=,x,-2,=,定义域为,x,|,x,0.,x,|,x,0,3.,若幂函数,f,(,x,),的图象经过点,则其定义域为,_.,解析,设,f,(,x,)=,x,.,图象过点,即,3,-2,=3,=-2,即,f,(,x,)=,x,-2,=,x,2,0,即,x,0,其定义域为,x,|,x,R,且,x,0.,x,|,x,R,且,x,0,4.,若,则,a,的取值范围是,_.,解析,令,f,(,x,)=,f,(,x,),的定义域是,x,|,x,0,且在,(0,+),上是单调,递减函数,故原不等式等价于,【,例,1,】,已知函数,f,(,x,)=(,m,2,-,m,-1),x,-5,m,-3,m,为何值时,f,(,x,),是,:,(1),幂函数,;(2),幂函数,且是,(0,+),上的增函数,;,(3),正比例函数,;(4),反比例函数,;(5),二次函数,.,(1)(3)(4)(5),分别利用相应函数的定义确,定,m,的值,;(2),中利用幂函数的性质与幂指数之间的,关系,确定,m,.,典型例题 深度剖析,分析,解,(1),因为,f,(,x,),是幂函数,故,m,2,-,m,-1=1,即,m,2,-,m,-2=0,解得,m,=2,或,m,=-1.,(2),若,f,(,x,),是幂函数且又是,(0,+),上的增函数,则 ,m,=-1.,(3),若,f,(,x,),是正比例函数,则,-5,m,-3=1,解得,m,=,此时,m,2,-,m,-10,故,m,=,(4),若,f,(,x,),是反比例函数,则,-5,m,-3=-1,则,m,=,此时,m,2,-,m,-10,故,m,=,(5),若,f,(,x,),是二次函数,则,-5,m,-3=2,即,m,=-1,此时,m,2,-,m,-10,故,m,=-1.,综上所述,当,m,=2,或,m,=-1,时,f,(,x,),是幂函数,;,当,m,=-1,时,f,(,x,),既是幂函数,又是,(0,+),上的增函数,;,当,m,=,时,f,(,x,),是正比例函数,;,当,m,=,时,f,(,x,),是反比例函数,;,当,m,=-1,时,f,(,x,),是二次函数,.,跟踪练习,1,已知函数,，,m,为何值时,f,(,x,),是,(1),正比例函数,;(2),反比例函数,;,(3),二次函数,;(4),幂函数,.,解,(1),若,f,(,x,),为正比例函数,则,(2),若,f,(,x,),为反比例函数,则,(3),若,f,(,x,),为二次函数,则,(4),若,f,(,x,),为幂函数,则,m,2,+2,m,=1,【,例,2,】,点,(,2),在幂函数,f,(,x,),的图象上，点,在幂函数,g,(,x,),的图象上,问当,x,为何值时,有,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,)=,g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,).,由幂函数的定义,求出,f,(,x,),与,g,(,x,),的解析式,再利用图象判断即可,.,解,设,f,(,x,)=,x,则由题意得,=2,即,f,(,x,)=,x,2,再设,g,(,x,)=,x,则由题意得,=-2,即,g,(,x,)=,x,-2,分析,在同一坐标系中作出,f,(,x,),与,g,(,x,),的图象,如图所示,.,由图象可知,:,当,x,1,或,x,-1,时,f,(,x,),g,(,x,);,当,x,=,1,时,f,(,x,)=,g,(,x,);,当,-1,x,1,且,x,0,时,f,(,x,),g,(,x,).,跟踪练习,2,(2010,盐城调研,),指出函数,f,(,x,)=,的单调区间,并比较,f,(-),与,f,(),的大小,.,解,其图象可由幂函数,y,=,x,-2,向左平移,2,个单位，再向上,平移,1,个单位得到,该函数在,(-2,+),上是减函数,在,(-,-2),上是增函数,且其图象关于直线,x,=-2,对,称,(,如图,).,【,例,3,】,已知幂函数,(,m,Z,),为偶函,数,且在区间,(0,+),上是单调减函数,.,(1),求函数,f,(,x,);,(2),讨论,F,(,x,)=,的奇偶性,.,根据奇偶性的定义求出,m,的值,.,解,(1),f,(,x,),是偶函数,m,2,-2,m,-3,应为偶数,.,又,f,(,x,),在,(0,+),上是单调减函数,m,2,-2,m,-30,-1,m,3.,又,m,Z,m,=0,1,2.,分析,当,m,=0,或,2,时,m,2,-2,m,-3=-3,不是偶数,舍去,;,当,m,=1,时,m,2,-2,m,-3=-4;,m,=1,即,f,(,x,)=,x,-4,.,当,a,0,且,b,0,时,F,(,x,),为非奇非偶函数,;,当,a,=0,b,0,时,F,(,x,),为奇函数,;,当,a,0,b,=0,时,F,(,x,),为偶函数,;,当,a,=0,b,=0,时,F,(,x,),既是奇函数,又是偶函数,.,跟踪练习,3,(2010,苏州模拟,),已知幂函数,y,=,的图象与,x,、,y,轴都无公共点,且关于,y,轴对称，求整,数,n,的值并画出该函数的草图,.,幂函数,y,=,x,(,为整数时,),图象与,x,、,y,轴都,无公共点,且关于,y,轴对称,则,0,且,为偶数,.,解,函数图象与,x,、,y,轴都无公共点,.,n,2,-2,n,-30,即,-1,n,3.,又,n,为整数,n,-1,0,1,2,3.,又图象关于,y,轴对称,n,2,-2,n,-3,为偶数,.,分析,n,=-1,1,3.,当,n,=-1,和,3,时,n,2,-2,n,-3=0,y,=,x,0,图象如图,(1),所示,;,当,n,=1,时,y,=,x,-4,图象如图,(2),所示,.,图,(1),图,(2),【,例,4,】(14,分,),已知幂函数,f,(,x,)=(,m,N,*,m,2),在,(0,+),内单调递减,g,(,x,)=,(1),求,f,(,x,);,(2),比较,g,(44),与,g,(45),的大小,.,解题示范,解,(1),由于函数,f,(,x,),在,(0,+),内单调递减,所以,m,2,-,m,-30,解得,4,分,由于,m,N,*,m,2,所以只能取,m,=2,这时,f,(,x,)=,x,-1,(,x,0).6,分,(2),由,(1),知,10,分,由于,44,2,=1 936,45,2,=2 025,因此,g,(44)1,所以,g,(44)2.5,求,的取值范围,;,(2),若,-2,3,-2,求,的取值范围,;,(3),若,求,m,的取值范围,.,联想幂函数的概念和性质作转化,.,解,(1)2.4,和,2.5,可视为幂函数,y,=,x,的两个函数,值,由于,2.52.40,且,f,(2.5),f,(2.4).,所以,y,=,x,在,(0,+),上是减函数,因此应有,3,-2,得 所以,0,2,3,2,由于幂函数,y,=,x,2,是偶函数,且在,(0,+),上是增函数,在,(-,0),上是减函数,又,|,|,2,3,2,0|,|3,解得,-3,3,且,0.,因此,的取值范围是,-3,0,或,0,3.,(3),由于,所以有,解得,m,的取值范围是,高考中以填空题形式考查幂函数的图象与性质,也有,与函数性质、二次函数、方程、不等式结合的综合性,较强的解答题,.,1.,幂函数,y,=,x,(,R,),其中,为常数,其本质特征是,以幂的底,x,为自变量,指数,为常数,这是判断一个,函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准,.,应当注,思想方法 感悟提高,高考动态展望,方法规律总结,意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数,如,y,=,x,+1,y,=,x,2,-2,x,等都不是幂函数,.,2.,在,(0,1),上,幂函数中指数愈大,函数图象愈靠近,x,轴,(,简记为,“,指大图低,”,),在,(1,+),上，幂函数中指,数越大,函数图象越远离,x,轴,.,3.,幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会,出现在第四象限内,至于是否出现在第二、三象限,内,要看函数的奇偶性,;,幂函数的图象最多只能同时,出现在两个象限内,;,如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点,.,4.,幂函数的定义域的求法可分,5,种情况,即,为零,;,为正整数,;,为负整数,;,为正分数,;,为负分数,.,5.,作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单,调性、奇偶性等,只要作出幂函数在第一象限内的,图象,然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义,域内完整的图象,.,6.,利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复,合函数的单调性及在实际问题中的应用等题型,.,进,一步培养学生的数形结合,、分类讨论等,数学思想和,方法,.,一、填空题,1.,(2010,潍坊模拟,),已知函数,f,(,x,)=,x,的图象经,过点,(4,2),则,log,2,f,(2)=_.,解析,由已知得,2=4,定时检测,2.,(2009,江苏靖江调研,),设,-2,2,则,使函数,y,=,x,为偶函数的所有,的和为,_.,解析,符合题意的,为,-2,和,2,则,-2+2=0.,3.,(2009,山东临沂模拟,),已知,a,=0.8,0.7,b,=0.8,0.9,c,=,1.2,0.8,则,a,、,b,、,c,按从小到大的顺序排列为,_.,解析,由指数函数,y,=0.8,x,知,0.70.9,0.8,0.9,0.8,0.7,1,即,b,1,b,a,c,.,b,a,1,则,x,0,的取值范围是,_.,解析,f,(,x,0,)1,当,x,0,0,时,即,-,x,0,1,x,0,0,时,x,0,1.,综上,x,0,(-,-1)(1,+).,(-,-1)(1,+),6.,(2010,西安调研,),函数,y,=,的定义域是,_.,解析,由题意知,0.5,x,-80,即,(),x,8,即,2,-,x,2,3,-,x,3,则,x,-3.,(-,-3),7.,(2009,宝城第一次月考,),若,则,a,的取值范围是,_.,解析,8.,(2009,南京二模,),给出封闭函数的定义,:,若对于定,义域,D,内的任意一个自变量,x,0,，都有函数值,f,(,x,0,),D,则称函数,y,=,f,(,x,),在,D,上封闭,.,若定义域,D,=(0,1),则函数,f,1,(,x,)=3,x,-1;,f,2,(,x,)=,f,3,(,x,)=1-,x,;,f,4,(,x,)=,其中在,D,上封闭的是,_,(,填序号即可,).,解析,f,1,(,x,),在,D,上不封闭,.,f,2,(,x,)=,在,(0,1),上是减函数,0=,f,2,(1),f,2,(,x,),f,2,(0)=1,f,2,(,x,),适合,.,f,3,(,x,)=1-,x,在,(0,1),上是减函数,0=,f,3,(1),f,3,(,x,),f,3,(0)=1,f,3,(,x,),适合,.,又,f,4,(,x,)=,在,(0,1),上是增函数,且,0=,f,4,(0),f,4,(,x,),f,4,(1)=1,f,4,(,x,),适合,.,答案,9.,(2010,泉州模拟,),已知幂函数,f,(,x,),的图象经过点,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,)(,x,1,x,2,f,(,x,2,);,x,1,f,(,x,1,),x,2,f,(,x,2,);,其中正确结论的序号是,_.,解析,依题意,设,f,(,x,)=,x,由于函数,f,(,x,)=,在定义域,0,+),内单调递增,所,以当,x,1,x,2,时,必有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),从而有,x,1,f,(,x,1,),f,(,x,+3).,解,由条件知,即,-,n,2,+2,n,+30,解得,-1,n,f,(,x,+3),x,2,-,x,x,+3.,解得,x,3.,原不等式的解集为,(-,-1)(3,+).,12.,(2010,南通一模,),若函数,+(,x,2,-,mx,+1),0,的定义域为,R,求实数,m,的取值范围,.,解,由题意可知,g,(,x,)=,mx,2,+4,x,+,m,+20 ,且,h,(,x,)=,x,2,-,mx,+10,恒成立,由恒成立等价于,由恒成立等价于,2,=,m,2,-40,即,-2,m,2.,综上得,返回,