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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图,第九单元 立体几何,基础梳理,1.,多面体,(1),有两个面,互相平行,其余各面都是,四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都,互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱,.,(2),有一个面是,多边形,其余各面都是,有一个公共顶点,的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,.,(3),用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的这部分多面体叫做,棱台,.,2.,旋转,(1),以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的,面,所围成的旋转体叫做,圆柱,.,(2),以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体体叫做,圆锥,.,(3),以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成的旋转体叫做,球体,简称,球,.,3.,三视图和直观图,(1),三视图是从一个几何体的,正前方、正左方、正上方,三个不同的方向看这个几何体,描绘出的图形,分别称为,正视图、侧视图、俯视图,.,(2),三视图的排列顺序,:,先画,正视图,俯视图放在正视图的,下方,侧视图放在正视图的,右方,.,(3),三视图的三大原则,:,长对正、高平齐、宽相等,.,(4),水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法：,在已知图形中,取互相垂直的,x,轴和,y,轴,两轴相交于点,O,画直观图时,把它们画成对应的,x,轴和,y,轴,两轴相交于,O,且使,xOy=45(,或,135),用它们确定的平面表示,水平面,.,已知图形中平行于,x,轴或,y,轴的线段,在直观图中,分别画成平行于,x,轴或,y,轴,的线段,.,已知图形中平行于,x,轴的线段,在直观图中,保持原长度不变,；平行于,y,轴的线段,在直观图中,长度变为原来的一半,.,典例分析,题型一 空间几何体的结构特征,【,例,1】,根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称,.,(1),由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的正六边形,其他各面都是矩形,;,(2),一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转,180,形成的封闭曲面所围成的图形,;,(3),一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体,.,分析,要判断几何体的类型,从各类几何体的结构特征入手，以柱、锥、台的定义为依据，把复杂的几何体分割成几个简单的几何体,.,解,(1),如图,1,所示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形,可使每相邻两个面的公共边都互相平行,故该几何体是正六棱柱,.,(2),如图,2,所示,等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转,180,形成半个圆台,故该几何体为圆台,.,(3),如图,3,所示,由梯形,ABCD,的顶点,A,引,AOCD,于,O,点,将直角梯形分为一个直角三角形,AOD,和矩形,AOCB,绕,CD,旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成,.,图,1,图,2,图,3,学后反思,对于不规则的平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适当的分割,再根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断,.,举一反三,1.,观察如图几何体,分析它们是由哪些基本几何体组成的,并说出主要结构特征,.,解析,(1),是一个四棱柱和一个四棱锥组成的,它有,9,个面,9,个顶点,16,条棱,.(2),是由一个四棱台、一个四棱柱和一个球组成的,其主要结构特征就是相应四棱台、四棱柱和球的结构特征,.,题型二 柱、锥、台中的计算问题,【,例,2】,正四棱台的高是,17 cm,两底面边长分别是,4 cm,和,16 cm,求棱台的侧棱长和斜高,.,分析,求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形,然后构造直角三角形,解决问题,.,解,如图所示,设棱台的两底面的中心分别是 、,O,和,BC,的中点分别是 和,E,连接 、,OB,、,OE,则四边形 和,都是直角梯形,.,=4 cm,AB=16 cm,=2 cm,OE=8 cm,=2 cm,OB=8 cm,=19 cm,棱台的侧棱长为,19 cm,斜高为,cm.,学后反思,（,1,）把空间问题转化为平面问题去解是解决立体几何问题的常用方法,.,（,2,）找出相关的直角梯形，构造直角三角形是解题的关键，正棱台中许多元素都可以在直角梯形中求出,.,举一反三,2.,（,2009,上海）若等腰直角三角形的直角边长为,2,，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是,_.,解析,如图，等腰直角三角形旋转而成的旋转体为圆锥,.,V=,Sh,=h=2=.,答案,题型三 三视图与直观图,【,例,3】,螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,如下图,画出它的三视图,.,分析,螺栓是棱柱、圆柱组合而成的，按照画三视图的三大原则“长对正，高平齐，宽相等”画出,.,解,该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的,正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面,侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面,俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆,(,中心重合,).,它的三视图如下图,:,学后反思,在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出,.,例如上图中,表示上面圆柱与下面棱柱的分界线是正视图中的线段,AB,、侧视图中的线段,CD,以及俯视图中的圆,.,举一反三,3.(2008,广东,),将正三棱柱截去三个角,(,如图,1,所示,A,、,B,、,C,分别是,GHI,三边的中点,),得到几何体如图,2,则该几何体按图,2,所示方向的侧视图为,(),解析,由正三棱柱的性质得,侧面,AED,底面,EFD,则侧视图必为直角梯形,且线段,BE,在梯形内部,.,答案,A,题型四几何体的直观图,【,例,4】(12,分,),用斜二测法画出水平放置的等腰梯形的直观图,.,分析,画水平放置的直观图应遵循以下原则,:,(1),坐标系中,xOy=45;,(2),横线相等,即,AB=AB,CD=CD;,(3),竖线是原来的,即,OE=OE.,画法,(1),如图,1,取,AB,所在直线为,x,轴,AB,中点,O,为原点,建立直角坐标系,.3,画对应的坐标系,xOy,使,xOy=45.5,(2),以,O,为中点在,x,轴上取,AB=AB,在,y,轴上取,OE=OE,以,E,为中点画,CDx,轴,并使,CD=CD10,(3),连接,BC,、,DA,所得的四边形,ABCD,就是水平放置的等腰梯形,ABCD,的直观图,如图,2.12,图,1,图,2,学后反思,在原图形中要建立适当的直角坐标系，一般取图形中的某一横线为,x,轴，对称轴为,y,轴，或取两垂直的直线为坐标轴，原点可建在图形的某一顶点或对称中心、中点等,.,坐标系建得不同，但画法规则不变，关键是画出平面图形中相对应的顶点,.,举一反三,4.,如图所示，矩形,OABC,是水平放置的一个平面图形的直观图，其中,OA=6 cm,，,OC=2 cm,，则原图形是 （）,A.,正方形,B.,矩形,C.,菱形,D.,一般的平行四边形,解析,在直观图中，平行于,x,轴的边的长度不变，平行于,y,轴的边,的长度变为原来的 ，原图中，,OA=6 cm,OD=4 cm,，,OC=6 cm,BC=AB=6 cm,，原图形为菱形,.,答案,C,易错警示,【,例,】,画出如图,1,所示零件的三视图,.,错解,图,1,的零件可看做是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合,其三视图如图,2.,图,1,图,2,错解分析,错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线,.,正解,考点演练,10.,（,2010,潍坊模拟）如图，已知正四棱台,ABCD-,的上底面边长为,1,，下底面边长为,2,，高为,1,，则线段 的长是,_.,解析,连接上底面对角线 的中点 和下底面,BD,的中点,O,，得棱台的高,，过点 作 的平,行线交,BD,于点,E,，连接,CE.,在,BCE,中，由,BC=2,，,BE=,CBE=45,，利用余弦定理可得,CE=,，故在,Rt,中易得,答案,11.,圆台的两底面半径分别为,5 cm,和,10 cm,高为,8 cm,有一个过圆台两母线的截面,且上、下底面中心到截面与两底面交线的距离分别为,3 cm,和,6 cm,求截面面积,.,解析,如图所示截面,ABCD,取,AB,中点,F,CD,中点,E,连接,OF,，,EF,OA,则 为直角梯形,ABCD,为等腰梯形,EF,为梯形,ABCD,的高,在直角梯形 中,（,cm,），,在,Rt,中，（,cm,）,同理,（,cm,）,12.,圆台的一个底面周长是另一个底面周长的,3,倍,轴截面的面积等于,392 ,母线与轴的夹角是,45,求这个圆台的高、母线长和两底面半径,.,解析,圆台的轴截面如图所示,设圆台上、下底面半径分别为,x cm,3x,cm.,延长 交 的延长线于,S,在,RtSOA,中,ASO=45,则,SAO=45,SO=AO=3x,=x,，,=2x,又,x=7.,故圆台的高,=14 cm,母线长,=14 cm,两底面半径分别为,7 cm,21 cm.,第二节 空间几何体的表面积与体积,基础梳理,1.,柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和,即侧面积与底面积之和,.,2.,把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是展开图的面积,.,3.,圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积,4.,柱、锥、台体的体积,这是柱体、锥体、台体统一计算公式,特别地，圆柱、圆锥、圆台还可以分别写成,:,5.,球的体积及球的表面积,设球的半径为,R,典例分析,题型一 几何体的表面积问题,【,例,1】,已知一个正三棱台的两底面边长分别为,30 cm,和,20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高,.,分析,要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件列出方程，求解所需的几何元素,.,解,如图所示,正三棱台,ABC-,中,O,、分别为两底面中心,D,、分别为,BC,和 中点,则,为棱台的斜高,.,设,=20,AB=30,则,OD=5 ,=,由,得,在直角梯形 中,棱台的高为,4 cm.,学后反思,(1),求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,解决旋转体的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图,.,（,2,）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素,.,举一反三,1.,圆台侧面的母线长为,2a,母线与轴的夹角为,30,一个底面的半径是另一个底面半径的,2,倍,.,求两底面的半径与两底面面积之和,.,解析,如图,设圆台上底面半径为,r,则下底面半径为,2r,ASO=30,在,RtSOA,中,=sin 30,SA=2r.,在,RtSOA,中,=sin 30,SA=4r.,SA-SA=AA,即,4r-2r=2a,r=a.,圆台上底面半径为,a,下底面半径为,2a,两底面面积之和为,.,题型二 几何体的体积问题,【,例,2】,已知四棱台两底面均为正方形，边长分别为,4 cm,，,8 cm,，侧棱长为,8 cm,，求它的侧面积和体积,.,分析,由题意知,需求侧面等腰梯形的高和四棱台的高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求得结论,.,解,如图,设四棱台的侧棱延长后交于点,P,则,PBC,为等腰三角形,取,BC,中点,E,连接,PE,交 于点,则,PEBC,E,为侧面等腰梯形的高,作,PO,底面,ABCD,交上底面于点,连接 、,OE.,在,P,和,PBC,中,为,PB,的中点,为,PE,的中点,.,在,RtPEB,中,在,RtPOE,中,学后反思,（,1,）求棱台的侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它们是架起“求积”关系式中的未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系的“桥梁”,.,（,2,）平行于棱台底面的截面分棱台的侧面积与体积比的问题，通常是“还台为锥”，而后利用平行于棱锥底面的截面性质去解,.“,还台为锥”借助于轴截面，将空间问题转化为平面问题，求出相关数据，进行计算,.“,还台为锥”是解决棱台问题的重要方法和手段,.,举一反三,2.,如图,在多面体,ABCDEF,中,已知四边形,ABCD,是边长为,1,的正方形,且,ADE,、,BCF,均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为,.,解析,如图,分别过,A,、,B,作,EF,的垂线,垂,足分别为,G,、,H,连接,DG,、,CH,易求得,EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,答案,题型三 组合体的体积和表面积问题,【,例,3】(12,分,),如图,在等腰梯形,ABCD,中,AB=2DC=2,DAB=60,E,为,AB,的中点,将,ADE,与,BEC,分别沿,ED,、,EC,向上折起,使,A,、,B,重合,求形成三棱锥的外接球的体积,.,分析,易知折叠成的几何体为棱长为,1,的正四面体,欲求外接球的体积，求其外接球半径即可,.,解,由已知条件知,在平面图形中,AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.1,所以折叠后得到一个正四面体,.,方法一,:,如图，作,AF,面,DEC,垂足为,F,F,即为,DEC,的中心,3,取,EC,中点,G,连接,DG,、,AG,过外接球球心,O,作,OH,面,AEC,则垂足,H,为,AEC,的中心,.5,外接球半径可利用,OHAGFA,求得,.,AG=,AH=AG=,，,AF=,7,在,AFG,和,AHO,中,根据三角形相似可知,.10,外接球体积为,.12,方法二,:,如图,把正四面体放在正方体中,.,显然,正四面体的外接球就,是正方体的外接球,.4,正四面体棱长为,1,正方体棱长为,.6,外接球直径,2R=,10,R=,体积为,12,学后反思,(1),折叠问题是高考经常考查的内容之一,解决这类问题要注意对翻折前后线线、线面的位置关系，所成角及距离加以比较,.,一般来说，位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置的关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量关系则发生变化,;,不变量可结合原图形求证，变化量应在折后立体图形中求证,.,对某些翻折不易看清的元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题,.,（,2,）由方法二可知，有关柱、锥、台、球的组合体，经常是把正方体、长方体、球作为载体，去求某些量,.,解决这类问题，首先要把这些载体图形的形状、特点及性质掌握熟练，把问题进行转化，使运算和推理变得更简单，体现了转化思想是立体几何中一个非常重要的思想方法,.,举一反三,3.,已知正四棱锥的底面边长为,a,侧棱长为,a.,求它的外接球的体积,.,解析,设外接球的半径为,R,球心为,O,则,OA=OC=OS,所以,O,为,SAC,的外心,即,SAC,的外接圆半径就是外接球的半径,AB=BC=,a,AC,=a,SA=SC=AC=a,SAC,为正三角形,.,由正弦定理,得,易错警示,涉及组合体问题，关键是正确地作出截面图形，把立体几何问题转化为平面问题进行解决，解此类问题时往往因不能正确地作出截面图形而导致错误,.,【,例,】,已知球的内接正方体的体积为,V,，求球的表面积,.,错解分析,过球内接正方体的一个对角面作球的大圆截面，得到一,个矩形，矩形的对角线长为,x,，不是,x.,错解,如图所示，作圆的内接正方形表示正方体的截面，设正方体的棱长为,x,，球半径为,R,，则有,=V,x=2R,，,解得,正解,如图所示，过正方体的对角面作球的大圆截面，设正方体的棱长为,x,，球半径为,R,则有,=V,x=2R,，,解得,考点演练,10.,（,2009,辽宁）设某几何体的三视图如下（长度单位为,m,）：,求该几何体的体积,.,解析,三视图所对应的立体图形如图所示,.,由题意可得平面,PAC,平面,ABC,，,V=432=4().,11.,如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱,=8.,若侧面 水平放置时，液面恰好过,AC,、,BC,、的中点,.,当底面,ABC,水平放置时，液面高为多少？,解析,当侧面 水平放置时，水的,形状为四棱柱形，底面,ABFE,为梯形，设,ABC,的面积为,S,，则,当底面,ABC,水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为,h,，则,有,=,Sh,，,6S=Sh,h=6.,故当底面,ABC,水平放置时，液面高为,6.,12.,（,2009,广东改编）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图,1,所示,.,墩的上半部分是正四棱锥,P-EFGH,下半部分是长方体,ABCD-EFGH.,图,2,、图,3,分别是该标识墩的正视图和俯视图,.,（,1,）请画出该安全标识墩的侧视图；,（,2,）求该安全标识墩的体积,.,图,1,图,2,图,3,解析,（,1,）侧视图同正视图，如图,2,所示,.,（,2,）该安全标识墩的体积为,第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系,基础梳理,1.,平面的基本性质,名称,图形,文字语言,符号语言,公理,1,如果一条直线上有两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内,公理,2,经过不在同一条直线上的三个点确定一个平面,A,、,B,、,C,不共线,A,、,B,、,C,平面,且,是唯一的,公理,3,如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线,若,P,P,则,=a,且,Pa,公理,4,平行于同一条直线的两条直线互相平行,若,ab,bc,则,ac,公理,2,的推论,推论,1,经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,若点,A,直线,a,则,A,和,a,确定一个平面,推论,2,两条相交直线确定一个平面,ab,=P,有且只有一个平面,使,a,b,推论,3,两条平行直线确定一个平面,ab,有且只有一个平面,使,a,b,2.,空间直线与直线的位置关系,(1),位置关系,相交,共面,共面与否 平行,异面,一个公共点,:,相交,公共点个数 平行,无公共点,异面,(2),公理,4(,平行公理,):,平行于同一直线的两条直线互相平行,.,(3),定理,:,空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,.,（,4,）异面直线的夹角,定义：已知两条异面直线,a,、,b,，经过空间任意一点,O,作直线,aa,bb,，我们把两相交直线,a,、,b,所成的角叫做异面直线,a,、,b,所成的角（或夹角）,.,范围：,（,0,.,特别地，如果两异面直线所成的角是 ，我们就称这两条直线垂直，记作,ab,.,3.,空间中的直线与平面的位置关系,直线在平面内,有无数个公共点,直线与平面相交,有且只有一个公共点,直线在平面外,直线与平面平行,无公共点,4.,平面与平面的位置关系,平行,无公共点,相交,有且只有一条公共直线,典例分析,题型一 点、线、面的位置关系,【,例,1】,下列命题,:,空间不同三点确定一个平面,;,有三个公共点的两个平面必重合,;,空间两两相交的三条直线确定一个平面,;,三角形是平面图形,;,平行四边形、梯形、四边形都是平面图形,;,垂直于同一直线的两直线平行,;,一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交,;,两组对边相等的四边形是平行四边形,.,其中正确的命题是,_.,分析,根据公理及推论作判断,.,解,由公理,2,知,不共线的三点才能确定一个平面,所以命题、均错,中有可能出现两平面只有一条公共线,(,当这三个公共点共线时,);,空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面,;,正确,;,中平行四边形及梯形由公理,2,的推论及公理,1,可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形,;,如图,在正方体,ABCD-ABCD,中,直线,BBAB,BBBC,但,AB,与,BC,不平行,所以错,;ABCD,BBAB=B,但,BB,与,CD,不相交,所以错,;,四边形,ADBC,中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四边形,所以也错,.,学后反思,平面性质的三个公理及其推论是论证线面关系的依据,在判断过程中要注意反例和图形的应用,.,举一反三,1.,给出下列命题：,如果平面,与平面,相交,那么它们只有有限个公共点,;,经过空间任意三点的平面有且只有一个,;,如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合为一个平面,;,不平行的两直线必相交,.,其中正确命题的序号为,_.,解析,由公理,3,知，错,;,由公理,2,知，错,;,对,;,不平行的两直线可能异面，故错,.,答案,题型二 证明三点共线,【,例,2】,已知,ABC,的三个顶点都不在平面,内,它的三边,AB,、,BC,、,AC,延长,后分别交平面,于点,P,、,Q,、,R.,求证,:P,、,Q,、,R,三点在同一条直线上,.,分析,要证明,P,、,Q,、,R,三点共线,只需证明这三点都在,ABC,所在的平面和平面,的交线上即可,.,证明,由已知条件易知,平面,与平面,ABC,相交,.,设交线为,即,=,面,ABC.,PAB,P,面,ABC.,又,PAB,P,即,P,为平面,与面,ABC,的公共点,P,.,同理可证,点,R,和,Q,也在交线 上,.,故,P,、,Q,、,R,三点共线于,.,学后反思,证明多点共线的方法是：以公理,3,为依据，先找出两个平面的交线，再证明各个点都是这两个面的公共点，即在交线上，则多点共线,.,或者，先证明过其中两点的直线是这两个平面的交线，然后证明第三个点也在交线上,.,同理，其他的点都在交线上，即多点共线,.,举一反三,2.,如图，已知,E,、,F,、,G,、,H,分别是空间四边形,ABCD(,四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成的空间图形叫空间四边形,),各边,AB,、,AD,、,CB,、,CD,上的点,且直线,EF,和,GH,交于点,P,如图所示,.,求证,:,点,B,、,D,、,P,在同一条直线上,.,证明,由于直线,EF,和,GH,交于点,P,PEF,又,EF,平面,ABD,P,平面,ABD.,同理,P,平面,CBD.,P,在平面,ABD,与平面,CBD,的交线,BD,上,即,B,、,D,、,P,三点在同一条直线上,.,题型三 证明点线共面,【,例,3】,求证,:,两两相交且不共点的四条直线在同一平面内,.,分析,由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一种是三条交于一点，另一种是任何三条都不共点，故分两种情况证明,.,要证明四线共面，先根据公理,2,的推论证两条直线共面，然后再证第三条直线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面,.,证明,(1),如图,设直线,a,b,c,相交于点,O,直线,d,和,a,b,c,分别相交于,A,B,C,三点,直线,d,和点,O,确定平面,由,O,平面,A,平面,O,直线,a,A,直线,a,知直线,a,平面,.,同理,b,平面,c,平面,故直线,a,b,c,d,共面于,.,(2),如图,设直线,a,b,c,d,两两相交,且任何三线不共点,交点分别是,M,N,P,Q,R,G,由直线,ab=M,知直线,a,和,b,确定平面,.,由,ac=N,bc=Q,知点,N,、,Q,都在平面,内,故,c,.,同理可证,d,故直线,a,b,c,d,共面于,.,由,(1),、,(2),可知,两两相交且不共点的四条直线必在同一平面内,.,学后反思,证多线共面的方法：,（,1,）以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理,1,证第三条也在这个平面内,.,同理其他直线都在这个平面内,.,（,2,）先由部分直线确定平面，再由其他直线确定平面,然后证明这些平面重合,.,举一反三,3.,在正方体,ABCD-,中,E,是,AB,的中点,F,是 的中点,.,求证,:E,、,F,、,C,四点共面,.,证明,如图，连接,EF,.,E,是,AB,的中点,F,是 的中点,EF,.,EF,.,故,E,、,F,、,C,四点共面,.,题型四 异面直线及其所成角的问题,【,例,4】(2008,全国,),已知正四棱锥,S-ABCD,的侧棱长与底面边长都相等，,E,是,SB,的中点，则,AE,、,SD,所成的角的余弦值为 （）,A.B.C.D.,分析,通过作平行线找到,AE,与,SD,所成的角，再利用三角形求解,.,解,如图，连接,AC,、,BD,交于点,O,，连接,OE.,因为,OESD,，所以,AEO,为所求,.,设侧棱长与底面边长都,等于,2,，则在,AEO,中，,OE=1,，,AO=,，,AE=,，于是,cosAEO=,.,故选,C.,学后反思,求异面直线所成的角的方法：,（,1,）根据平行线定义，作出异面直线所成的角,.,（,2,）证明作出的角是异面直线所成的角,.,（,3,）在三角形内求得直线所成角的某个三角函数值,.,举一反三,4.,在四面体,A-BCD,中，,AB=CD,，且其所成的角是,60,，点,M,，,N,分别是,BC,，,AD,的中点,.,求直线,AB,与,MN,所成的角的大小,.,解析,如图，取,BD,中点,E,，连接,NE,，,EM,，则,EN AB,EM CD,故,EMN,为等腰三角形，,由条件,MEN=60,，,EMN,为等边三角形，且,ENM,即为,AB,与,MN,所成的角，,ENM=60.,题型五 证明三线共点,【,例,5】(12,分,),已知四面体,A-BCD,中,E,、,F,分别是,AB,、,AD,的中点,G,、,H,分别是,BC,、,CD,上的点,且,.,求证,:,直线,EG,、,FH,、,AC,相交于,同一点,P.,分析,先证,E,、,F,、,G,、,H,四点共面，再证,EG,、,FH,交于一点，然后证明这一点在,AC,上,.,证明,E,、,F,分别是,AB,、,AD,的中点,EFBD,且,EF=BD.2,又,GHBD,且,GH=BD,EFGH,且,EFGH,4,四边形,EFHG,是梯形,其两腰所在直线必相交,设两腰,EG,、,FH,的延长线相交于一点,P,.6,EG,平面,ABC,FH,平面,ACD,P,平面,ABC,P,平面,ACD.8,又平面,ABC,平面,ACD=AC,PAC,10,故直线,EG,、,FH,、,AC,相交于同一点,P12,学后反思,证明三线共点的方法,:,首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理,3,可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点,.,举一反三,5.,如图所示,已知空间四边形,ABCD,点,E,F,G,H,M,N,分别是,AB,BC,CD,DA,AC,BD,的中点,.,求证,:,三线段,EG,FH,MN,交于一点,且被该点平分,.,证明,如图所示,连接,EF,FG,GH,HE,MF,FN,NH,MH.,E,F,G,H,分别为,AB,BC,CD,DA,的中点,EFGH,EHFG,，,四边形,EFGH,是平行四边形,.,设,EGFH=O,则,O,平分,EG,FH.,同理,四边形,MFNH,是平行四边形,.,设,MNFH=O,则,O,平分,MN,FH.,点,O,O,都平分线段,FH,O,与,O,两点重合，,MN,过,EG,和,FH,的交点,即三线段共点且被该点平分,.,易错警示,【,例,】,过已知直线,a,外一点,P,与直线,a,上的四个点,A,、,B,、,C,、,D,分别画四条直线,.,求证,:,这四条直线在同一平面内,.,错解,P,、,A,、,B,三点不共线,P,、,A,、,B,共面,即,PA,、,PB,、,AB,共面,同理,PB,、,PC,、,BC,共面,;PC,、,PD,、,CD,共面,.,A,、,B,、,C,、,D,均在直线,a,上,PA,、,PB,、,PC,、,PD,四条直线在同一平面内,.,错解分析,错解在证明了四条直线分别在三个平面,(,平面,PAB,、平面,PBC,、平面,PCD),内后,通过,A,、,B,、,C,、,D,均在,a,上,而认为三个平面重合在同一个平面内,这种方法是错误的,.,错误在于没有根据地用一条直线来保证三个平面重合,.,正解,过直线,a,及点,P,作一平面,A,、,B,、,C,、,D,均在,a,上,A,、,B,、,C,、,D,均在,内,.,直线,PA,、,PB,、,PC,、,PD,上各有两点在,内,由公理,1,可知,直线,PA,、,PB,、,PC,、,PD,均在平面,内,即四直线共面,.,考点连接,10.,已知,a,、,b,为异面直线，则,经过直线,a,存在唯一平面,，使,b,；,经过直线,a,，若存在平面,使,ba,则,唯一；,经过直线,a,、,b,外任意一点，存在平面,，使,a,且,b,.,上述命题中，真命题是,_.,（写出真命题的序号）,解析,平移,b,到,b,，使,b,、,a,交于点,O,，则,a,与,b,确定平面为,，,b,，,唯一，故正确,.,a,、,b,为异面直线，故无法确定,a,是否垂直于,b.,如图，,a,平移到,a,，,b,平移到,b,，,a,、,b,交于点,O,，则,a,、,b,确定的平面,唯一,.,答案,11.,（,2010,滨州质检）已知正方体,ABCD-,的棱长为,a,，求异,面直线 和 所成的角,.,解析,如图所示，连接,异面直线 和 所成角为,90.,12.,已知直线,abc,直线,a=A,b=B,c=C,.,求证,:a,、,b,、,c,、共面,.,证明,如图，,ab,a,、,b,可以确定一个平面,.,又,a=A,b=B,Aa,Bb,A,B,AB,;,又,A,B,.,另一方面,bc,b,、,c,可以确定一个平面,.,同理可证,.,平面,、,均经过直线,b,、,且,b,和 是两条相交直线,它们确定的平面是唯一的,平面,与,是同一个平面,a,、,b,、,c,、共面,.,第四节 直线、平面平行的判定及其性质,1.,平行直线,(1),定义,:,同一平面内不相交的两条直线叫做平行线,.,(2),公理,4:,平行于同一条直线的两条直线互相平行,.,(3),线面平行的性质定理,:,如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面的交线平行,.,(4),面面平行的性质定理,:,如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行,.,(5),线面垂直的性质定理,:,如果两条直线垂直于同一平面,那么这两条直线平行,.,2.,直线与平面平行,(1),定义,:,直线,a,和平面,没有公共点,叫做直线与平面平行,.,(2),线面平行的判定定理,:,如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行,.,基础梳理,(3),面面平行的性质,:,如果两平面互相平行,那么一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面,.,3.,平面与平面平行,(1),定义,:,如果两个平面没有公共点,那么这两个平面叫做平行平面,.,(2),面面平行的判定定理,:,如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行,.,(3),判定定理的推论,:,如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行,.,(4),线面垂直的性质,:,如果两平面垂直于同一直线,则这两个平面平行,.,(5),平行公理,:,如果两平面平行于同一平面,则这两个平面平行,.,典例分析,题型一 线线平行,【,例,1】,已知四边形,ABCD,是空间四边形,E,、,F,、,G,、,H,分别是边,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点,.,求证,:,四边形,EFGH,是平行四边形,.,分析,若证四边形是平行四边形,只需证一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可,.,证明,如图,连接,BD.,EH,是,ABD,的中位线,EHBD,EH=,BD.,又,FG,是,CBD,的中位线,FGBD,FG=,BD.,FGEH,且,FG=EH,四边形,EFGH,是平行四边形,.,学后反思,若证明四边形,EFGH,是平行四边形,可有两条途径：一是证明两组对边分别平行,二是证明一组对边平行且相等,.,举一反三,1.,已知,E,、分别是正方体,ABCD-,的棱,AD,、的中点,.,求证,:BEC=.,证明,如图,连接,.,E,分别为,AD,的中点,四边形 为平行四边形，,四边形 是平行四边形，,EB.,同理,EC.,又 与,CEB,方向相同，,=CEB.,题型二 线面平行,【,例,2】,如图,正方体,ABCD-,中,侧面对角线 上分别有两点,E,F,且,.,求证,:,EF,平面,ABCD.,分析,要证,EF,平面,ABCD,方法有两种,:,一是利用线面平行的判定定理,即在平面,ABCD,内确定,EF,的平行线,;,二是利用面面平行的性质定理,即过,EF,作与平面,ABCD,平行的平面,.,证明,方法一,:,过,E,作,EMAB,于,M,过,F,作,FNBC,于,N,连接,MN(,如图,),，则,EM,FN,EMFN,.,AE=BF,EM=FN,四边形,EMNF,是平行四边形,EFMN.,又,EF,平面,ABCD,MN,平面,ABCD,EF,平面,ABCD.,方法二,:,连接,并延长交,BC,的延长线于点,P,连接,AP(,如图,).,PFB,又,EF,平面,ABCD,AP,平面,ABCD,EF,平面,ABCD.,方法三,:,过点,E,作,EH,于点,H,连接,FH(,如图,),，则,EHAB,EHFH=H,平面,EFH,平面,ABCD.,EF,平面,EFH,EF,平面,ABCD.,学后反思,判断或证明线面平行的常用方法有,:,(1),利用线面平行的定义,(,无公共点,);,(2),利用线面平行的判定定理,(,a,b,aba,);,(3),利用面面平行的性质定理,(,aa,);,(4),利用面面平行的性质,(,a,a,aa,).,举一反三,2.,如图,在四棱锥,P-ABCD,中,底面,ABCD,为正方形,E,为,PC,中点,.,求证,:,PA,平面,EDB.,证明,如图，连接,AC,交,BD,于,O,连接,EO.,四边形,ABCD,为正方形,O,为,AC,中点,.,E,为,PC,中点,OE,为,PAC,的中位线,故,EOPA,.,又,EO,平面,EDB,PA,平面,EDB,PA,平面,EDB.,题型三 面面平行,【,例,3】,如图,正方体,ABCD-,的棱长为,1.,求证,:,平面,平面,分析,要证明平面,平面,根据面,面平行的判定定理或推论，只要证明,AC,平,面 ，,平面,且,AC,=A,即可,.,证明,方法一,:,四边形 为平行四边形,方法二,:,易知 和确定一个 平面,于是,学后反思,证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推论,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明,.,具体方法有,:,(1),面面平行的定义,;,(2),面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,;,(3),利用垂直于同一条直线的两个平面平行,;,(4),两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行,;,(5),利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化,.,举一反三,3.,在正方体,ABCD-,中,M,、,N,、,E,、,F,分别是棱,的中点,.,求证,:,平面,AMN,平面,EFDB.,证明,如图，连接,MF,M,、,F,分别是 的中点,且四边形 为正方形,又,四边形,ADFM,为平行四边形,AMDF,.,又,AM,平面,EFDB,DF,平面,EFDB,AM,平面,EFDB.,同理可证,AN,平面,EFDB.,AM,AN,平面,AMN,AMAN=A,平面,AMN,平面,EFDB.,题型四 平行的探究问题,【,例,4】,（,2009,银川模拟）如图，在四棱锥,S-ABCD,中，,SA=AB=2,，,SB=SD=2,，底面,ABCD,是菱形，且,ABC=60,，,E,为,CD,的中点,.,(1),求证：,CD,平面,SAE,；,(2),侧棱
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