高考数学 艺考生冲刺 第六章 函数、导数及其应用 第18讲 导数的概念与运算课件.pptx

知 识 梳 理,典 例 变 式,基 础 训 练,能 力 提 升,真 题 演 练,第,18,讲,导数的概念与运算,1,.,导数的概念与运算,(1),函数,y=f,(,x,),在,x=x,0,处的导数,(3),基本初等函数的导数,公式,(4),导数运算法则,f,(,x,),g,(,x,),=f,(,x,),g,(,x,);,f,(,x,),g,(,x,),=f,(,x,),g,(,x,),+f,(,x,),g,(,x,);,(5),复合函数的导数,复合函数,y=f,(,g,(,x,),的导数和函数,y=f,(,u,),u=g,(,x,),的导数间的关系为,y,x,=y,u,u,x,即,y,对,x,的导数等于,y,对,u,的导数与,u,对,x,的导数的乘积,.,(6),导数的几何意义,函数,f,(,x,),在点,x,0,处的导数,f,(,x,0,),的几何意义是在曲线,y=f,(,x,),上点,P,(,x,0,y,0,),处的切线的斜率,.,相应地,切线方程为,y-y,0,=f,(,x,0,)(,x-x,0,),.,特别地,如果曲线,y=f,(,x,),在点,(,x,0,y,0,),处的切线垂直于,x,轴,则此时导数,f,(,x,0,),不存在,由切线定义可知,切线方程为,x=x,0,.,2,.,利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间,(1),函数的单调性,在,(,a,b,),内函数,f,(,x,),可导,f,(,x,),在,(,a,b,),任意子区间内都不恒等于,0,.,f,(,x,),0,f,(,x,),在,(,a,b,),上为增函数,.,f,(,x,),0,f,(,x,),在,(,a,b,),上为减函数,.,(2),辨明导数与函数单调性的关系,(1),f,(,x,),0(,或,0(,或,0),恒成立,“,=,”,不能少,.,3,.,利用导数解决函数的极值问题,(1),函数的极小值,函数,y=f,(,x,),在点,x=a,的函数值,f,(,a,),比它在点,x=a,附近的其他点的函数值都小,f,(,a,),=,0,而且在点,x=a,附近的左侧,f,(,x,),0,则点,a,叫做函数,y=f,(,x,),的极小值点,f,(,a,),叫做函数,y=f,(,x,),的极小值,.,(2),函数的极大值,函数,y=f,(,x,),在点,x=b,的函数值,f,(,b,),比它在点,x=b,附近的其他点的函数值都大,f,(,b,),=,0,而且在点,x=b,附近的左侧,f,(,x,),0,右侧,f,(,x,),0,则点,x=b,叫做函数,y=f,(,x,),的极大值点,f,(,b,),叫做函数,y=f,(,x,),的极大值,.,(3),函数的极值,极小值点和极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值,.,4,.,函数的最值与导数,(1),在闭区间,a,b,上连续的函数,f,(,x,),在,a,b,上必有最大值与最小值,函数的最大值和最小值一定产生在极值点或闭区间的端点处,.,(2),若函数,f,(,x,),在,a,b,上单调递增,则,f,(,a,),为函数的最小值,f,(,b,),为函数的最大值,;,若函数,f,(,x,),在,a,b,上单调递减,则,f,(,a,),为函数的最大值,f,(,b,),为函数的最小值,.,(3),设函数,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,求,f,(,x,),在,a,b,上的最大值和最小值的步骤如下,:,求,f,(,x,),在,(,a,b,),内的极值,;,将,f,(,x,),的各极值与,f,(,a,),f,(,b,),进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,.,题型一,导数的运算,【例,1,】,分别求下列函数的导数,:,(1),y=,e,x,cos,x,【解析】,(1),y=,(e,x,),cos,x+,e,x,(cos,x,),=,e,x,cos,x-,e,x,sin,x,【规律方法】,变式训练一,1,.,分别求下列函数的导数,.,题型二,导数的几何意义及应用,考法一,求切线方程,【例,2,-,1,】,(1)(2018,全国卷,),设函数,f,(,x,),=x,3,+,(,a-,1),x,2,+ax.,若,f,(,x,),为奇函数,则曲线,y=f,(,x,),在点,(0,0),处的切线方程为,(,),A.,y=-,2,x,B.,y,=-x,C.,y=,2,x,D.,y=x,(2),已知函数,f,(,x,),=x,ln,x,若直线,l,过点,(0,-,1),并且与曲线,y=f,(,x,),相切,则直线,l,的方程为,.,【解析】,(1),因为,f,(,x,),为奇函数,所以,f,(,-x,),=-f,(,x,),由此可得,a=,1,故,f,(,x,),=x,3,+x,f,(,x,),=,3,x,2,+,1,f,(0),=,1,所以曲线,y=f,(,x,),在点,(0,0),处的切线方程为,y=x.,(2),点,(0,-,1),不在曲线,f,(,x,),=x,ln,x,上,设切点为,(,x,0,y,0,),.,又,f,(,x,),=,1,+,ln,x,直线,l,的方程为,y+,1,=,(1,+,ln,x,0,),x.,解得,x,0,=,1,y,0,=,0,.,直线,l,的方程为,y=x-,1,即,x-y-,1,=,0,.,【答案】,(1)D,(2),x-y-,1,=,0,考法二,求切点坐标,【例,2,-,2,】,设函数,f,(,x,),=x,3,+ax,2,.,若曲线,y=f,(,x,),在点,P,(,x,0,f,(,x,0,),处的切线方程为,x+y=,0,则点,P,的坐标为,(,),A.(0,0),B,.(1,-,1),C.(,-,1,1),D,.(1,-,1),或,(,-,1,1),【解析】,由,f,(,x,),=x,3,+ax,2,得,f,(,x,),=,3,x,2,+,2,ax,设,y,0,=f,(,x,0,),即,P,(1,-,1),或,P,(,-,1,1),.,故选,D,.,【答案】,D,考法三,求参数的值,【例,2,-,3,】,(1),已知函数,f,(,x,),=,(,x,2,+ax-,1)e,x,(,其中,e,是自然对数的底数,a,R,),若,f,(,x,),在,(0,f,(0),处的切线与直线,x+y-,1,=,0,垂直,则,a=,(,),A.1,B,.,-,1,C.2,D,.,-,2,【解析】,(1),f,(,x,),=,(,x,2,+ax-,1),e,x,+,(,x,2,+ax-,1)(e,x,),=,(2,x+a,)e,x,+,(,x,2,+ax-,1)e,x,=,x,2,+,(,a+,2),x+,(,a-,1)e,x,故,f,(0),=,0,2,+,(,a+,2)0,+,(,a-,1)e,0,=a-,1,.,因为,f,(,x,),在,(0,f,(0),处的切线与直线,x+y-,1,=,0,垂直,故,f,(0),=,1,即,a-,1,=,1,解得,a=,2,.,(2),设切点的坐标为,(,x,0,y,0,),【答案】,(1)C,(2)B,【规律方法】,导数几何意义的应用类型及求解思路,(1),已知切点,A,(,x,0,f,(,x,0,),求斜率,k,即求该点处的导数值,:,k=f,(,x,0,),.,(3),已知斜率,k,求切点,A,(,x,1,f,(,x,1,),即解方程,f,(,x,1,),=k.,(4),函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢,.,变式训练,二,A.1B.,-,1,C.7,D.,-,7,2,.,若曲线,y=x,ln,x,上点,P,处的切线平行于直线,2,x-y+,1,=,0,则点,P,的坐标是,.,C,(e,e,),【解析】,由题意得,y=,ln,x+x,=,1,+,ln,x,直线,2,x-y+,1,=,0,的斜率为,2,.,设,P,(,m,n,),则,1,+,ln,m=,2,解得,m=,e,所以,n=,eln,e=e,即点,P,的坐标为,(e,e),.,3,.,如图,y=f,(,x,),是可导函数,直线,l,:,y=kx+,2,是曲线,y=f,(,x,),在,x=,3,处的切线,令,g,(,x,),=xf,(,x,),其中,g,(,x,),是,g,(,x,),的导函数,则曲线,g,(,x,),在,x=,3,处的切线方程为,.,y-,3,=,0,又因为,g,(,x,),=xf,(,x,),所以,g,(,x,),=f,(,x,),+xf,(,x,),g,(3),=f,(3),+,3,f,(3),由题图可知,f,(3),=,1,题型三,利用导数研究函数的单调性,【例,3,-,1,】,已知函数,f,(,x,),=x,3,-ax-,1,.,(1),若,f,(,x,),在区间,(1,+,),上为增函数,求,a,的取值范围,;,(2),若,f,(,x,),在区间,(,-,1,1),上为减函数,求,a,的取值范围,;,(3),若,f,(,x,),的单调递减区间为,(,-,1,1),求,a,的值,.,【解】,(1),因为,f,(,x,),=,3,x,2,-a,且,f,(,x,),在区间,(1,+,),上为增函数,所以,f,(,x,),0,在,(1,+,),上恒成立,即,3,x,2,-a,0,在,(1,+,),上恒成立,所以,a,3,x,2,在,(1,+,),上恒成立,所以,a,3,即,a,的取值范围为,(,-,3,.,(2),因为,f,(,x,),在区间,(,-,1,1),上为减函数,所以,f,(,x,),=,3,x,2,-a,0,在,(,-,1,1),上恒成立,即,a,3,x,2,在,(,-,1,1,),上恒成立,.,因为,-,1,x,1,所以,3,x,2,0,则,x,ln,2,令,f,(,x,),0,则,0,x,ln,2,f,(,x,),的递增区间是,(,-,0),(ln,2,+,);,递减区间是,(0,ln,2),.,【规律方法】,(1),(2,),(3),利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路,由函数在区间,a,b,上单调递增,(,减,),可知,f,(,x,),0(,f,(,x,),0),在区间,a,b,上恒成立列出不等式,.,利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题,.,对等号单独检验,检验参数的取值能否使,f,(,x,),在整个区间恒等于,0,若,f,(,x,),恒等于,0,则参数的这个值应舍去,;,若只有在个别点处有,f,(,x,),=,0,则参数可取这个值,.,(4),利用导数比较大小或解不等式的常用技巧,利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式,.,【注意】,f,(,x,),为增函数的充要条件是对任意的,x,(,a,b,),都有,f,(,x,),0,且在,(,a,b,),内的任一非空子区间上,f,(,x,)0,.,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解,.,注意函数的单调区间与函数在某区间上具有单调性是不同的,.,变式训练三,1,.,已知函数,f,(,x,),=,ln,x-ax,(,a,R,),讨论函数,f,(,x,),的单调性,.,2,.,已知函数,f,(,x,),=x,2,+,4,x+a,ln,x,若函数,f,(,x,),在,(1,2),上是单调函数,则实数,a,的取值范围是,(,),A.(,-,6,+,),B.(,-,-,16),C.(,-,-,16,-,6,+,),D.(,-,-,16),(,-,6,+,),C,f,(,x,),在,(1,2),上是单调函数,f,(,x,),0,或,f,(,x,),0,在,(1,2),上恒成立,即,2,x,2,+,4,x+a,0,或,2,x,2,+,4,x+a,0,在,(1,2),上恒成立,即,a,-,(2,x,2,+,4,x,),或,a,-,(2,x,2,+,4,x,),在,(1,2),上恒成立,.,记,g,(,x,),=-,(2,x,2,+,4,x,),1,x,2,则,-,16,g,(,x,),0,得函数的增区间是,(,-,-,2),及,(2,+,),由,f,(,x,),0,得函数的减区间是,(,-,2,2),由于函数在,(,k-,1,k+,1),上不是单调函数,所以,k-,1,-,2,k+,1,或,k-,1,2,k+,1,解得,-,3,k-,1,或,1,k,3,.,4,.,已知定义域为,R,的函数,f,(,x,),满足,f,(4),=-,3,且对任意的,x,R,总有,f,(,x,),3,则不等式,f,(,x,),3,x-,15,的解集为,.,(4,+,),【解析】,令,g,(,x,),=f,(,x,),-,3,x+,15,则,f,(,x,),3,x-,15,的解集即为,g,(,x,),0,的解集,.,又,g,(,x,),=f,(,x,),-,3,0,所以,g,(,x,),在,R,上是减函数,.,又,g,(4),=f,(4),-,34,+,15,=,0,所以,g,(,x,),4,.,所以,f,(,x,),3,x-,15,的解集为,(4,+,),.,题型四,利用导数研究函数的极值与最值,考法一,根据导函数图象判断函数的极值,【例,4,-,1,】,设函数,f,(,x,),在,R,上可导,其导函数为,f,(,x,),且函数,y=,(1,-x,),f,(,x,),的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是,(,),A.,函数,f,(,x,),有极大值,f,(2),和极小值,f,(1),B.,函数,f,(,x,),有极大值,f,(,-,2),和极小值,f,(1),C.,函数,f,(,x,),有极大值,f,(2),和极小值,f,(,-,2),D.,函数,f,(,x,),有极大值,f,(,-,2),和极小值,f,(2),【解析】,由题图可知,当,x,0;,当,-,2,x,1,时,f,(,x,),0;,当,1,x,2,时,f,(,x,),2,时,f,(,x,),0,.,由此可以得到函数,f,(,x,),在,x=-,2,处取得极大值,在,x=,2,处取得极小值,.,【答案】,D,考法二,根据函数的解析式求极值,【例,4,-,2,】,已知函数,f,(,x,),=,ln,x-ax,(,a,R,),.,(2),讨论函数,f,(,x,),在定义域内极值点的个数,.,令,f,(,x,),=,0,得,x=,2,于是当,x,变化时,f,(,x,),f,(,x,),的变化情况如下表,.,故,f,(,x,),在定义域上的极大值为,f,(,x,),极大值,=f,(2),=,ln2,-,1,无极小值,.,当,a,0,时,f,(,x,),0,在,(0,+,),上恒成立,即函数在,(0,+,),上单调递增,此时函数在定义域上无极值点,;,综上所述,当,a,0,时,函数在定义域上无极值点,当,a,0,时,函数有一个极大值点,.,考法三,已知函数的极值求参数,【例,4,-,3,】,(1)(2019,成都模拟,),若函数,f,(,x,),=,(,x,2,+ax+,3)e,x,在,(0,+,),上有且仅有一个极值点,则实数,a,的取值范围是,(,),(2),若函数,f,(,x,),=x,(,x-a,),2,在,x=,2,处取得极小值,则,a=,.,【解析】,(1),f,(,x,),=,(2,x+a,)e,x,+,(,x,2,+ax+,3)e,x,=,x,2,+,(,a+,2),x+a+,3e,x,.,令,g,(,x,),=x,2,+,(,a+,2),x+a+,3,(2),f,(,x,),=x,(,x-a,),2,=x,3,-,2,ax,2,+a,2,x,f,(,x,),=,3,x,2,-,4,ax+a,2,.,由,f,(2),=,12,-,8,a+a,2,=,0,解得,a=,2,或,a=,6,.,当,a=,2,时,f,(,x,),=,3,x,2,-,8,x+,4,=,(,x-,2)(3,x-,2),函数在,x=,2,处取得极小值,符合题意,;,当,a=,6,时,f,(,x,),=,3,x,2,-,24,x+,36,=,3(,x-,2)(,x-,6),函数在,x=,2,处取得极大值,不符合题意,a=,2,.,【答案】,(1)C,(2)2,考法四,利用导数求函数的最值,【例,4,-,4,】,(2019,郑州模拟,),已知函数,f,(,x,),=,(,x-k,)e,x,.,(1),求,f,(,x,),的单调区间,;,(2),求,f,(,x,),在区间,0,1,上的最小值,.,【解】,(1),由,f,(,x,),=,(,x-k,)e,x,得,f,(,x,),=,(,x-k+,1)e,x,令,f,(,x,),=,0,得,x=k-,1,.,f,(,x,),与,f,(,x,),的变化情况如下,:,所以,f,(,x,),的单调递减区间是,(,-,k-,1);,单调递增区间是,(,k-,1,+,),.,(2),当,k-,1,0,即,k,1,时,函数,f,(,x,),在,0,1,上单调递增,所以,f,(,x,),在区间,0,1,上的最小值为,f,(0),=-k,当,0,k-,1,1,即,1,k,2,时,由,(1),知,f,(,x,),在,0,k-,1),上单调递减,在,(,k-,1,1,上单调递增,所以,f,(,x,),在区间,0,1,上的最小值为,f,(,k-,1,),=-,.,当,k-,1,1,即,k,2,时,函数,f,(,x,),在,0,1,上单调递减,所以,f,(,x,),在区间,0,1,上的最小值为,f,(1),=,(1,-k,)e,.,综上可知,当,k,1,时,f,(,x,),min,=-k,;,当,1,k,0,2,.,已知函数,f,(,x,),=x,(,x-m,),2,在,x=,1,处取得极小值,则实数,m=,(,),A.0B.1,C.2,D.3,B,【解析】,f,(,x,),=x,(,x,2,-,2,mx+m,2,),=x,3,-,2,mx,2,+m,2,x,所以,f,(,x,),=,3,x,2,-,4,mx+m,2,=,(,x-m,)(3,x-m,),.,由,f,(1),=,0,可得,m=,1,或,m=,3,.,若,m=,3,则,f,(,x,),=,3(,x-,1)(,x-,3),当,1,x,3,时,f,(,x,),0,当,x,3,时,f,(,x,),0,此时在,x=,1,处取得极大值,不合题意,若,m=,1,则,f,(,x,),=,(,x-,1)(3,x-,1),3,.,已知函数,f,(,x,),=x-a,ln,x,(,a,R,),.,(1),当,a=,2,时,求曲线,y=f,(,x,),在点,A,(1,f,(1),处的切线方程,;,(2),求函数,f,(,x,),的极值,.,因为,f,(1),=,1,f,(1),=-,1,所以曲线,y=f,(,x,),在点,A,(1,f,(1),处的切线方程为,y-,1,=-,(,x-,1),即,x+y-,2,=,0,.,当,a,0,时,f,(,x,),0,函数,f,(,x,),为,(0,+,),上的增函数,函数,f,(,x,),无极值,;,当,a,0,时,由,f,(,x,),=,0,解得,x=a.,又当,x,(0,a,),时,f,(,x,),0,从而函数,f,(,x,),在,x=a,处取得极小值,且极小值为,f,(,a,),=a-a,ln,a,无极大值,.,综上,当,a,0,时,函数,f,(,x,),无极值,;,当,a,0,时,函数,f,(,x,),在,x=a,处取得极小值,a-a,ln,a,无极大值,.,4,.,已知函数,f,(,x,),=x,3,+ax,2,+bx+c,曲线,y=f,(,x,),在点,x=,1,处的切线为,l,:3,x-y+,1,=,0,若,x,=,时,y=f,(,x,),有极值,.,(1),求,a,b,c,的值,;,(2),求,y=f,(,x,),在,-,3,1,上的最大值和最小值,.,解,:,(1),由,f,(,x,),=x,3,+ax,2,+bx+c,得,f,(,x,),=,3,x,2,+,2,ax+b.,当,x=,1,时,切线,l,的斜率为,3,可得,2,a+b=,0,可得,4,a+,3,b+,4,=,0,由,解得,a=,2,b=-,4,.,由于切点的横坐标为,1,所以,f,(1),=,4,.,所以,1,+a+b+c=,4,得,c=,5,.,(2),由,(1),可得,f,(,x,),=x,3,+,2,x,2,-,4,x+,5,f,(,x,),=,3,x,2,+,4,x-,4,.,当,x,变化时,f,(,x,),f,(,x,),的取值及变化情况如下表所示,:,B,2,.,若函数,f,(,x,),=kx-,ln,x,在区间,(1,+,),上单调递增,则,k,的取值范围是,(,),A.(,-,-,2B.(,-,-,1,C.2,+,)D.1,+,),D,即,k,的取值范围为,1,+,),故选,D,.,f,(,x,),图象的切点为,(1,f,(1),则,m,的值为,(,),A.-1B.-3,C.-4D.,-,2,D,【解析】,f,(,x,),=,直线,l,的斜率为,k=f,(1),=,1,又,f,(1),=,0,切线,l,的方程为,y=x-,1,.,g,(,x,),=x+m,设直线,l,与,g,(,x,),的图象的切点为,(,x,0,y,0,),4,.,函数,f,(,x,),=,3,+x,ln,x,的单调递增区间是,(,),C,5,.,函数,f,(,x,),=,(,x,2,-,1),2,+,2,的极值点是,(,),A.,x=,1,B.,x,=-,1,C.,x=,1,或,-,1,或,0,D.,x=,0,C,【解析】,f,(,x,),=x,4,-,2,x,2,+,3,由,f,(,x,),=,4,x,3,-,4,x=,4,x,(,x+,1)(,x-,1),=,0,得,x=,0,或,x=,1,或,x=-,1,又当,x-,1,时,f,(,x,),0;,当,-,1,x,0;,当,0,x,1,时,f,(,x,),1,时,f,(,x,),0,x=,0,1,-,1,都是,f,(,x,),的极值点,.,A.-5,0),B,.(-5,0),C.-3,0),D,.(,-,3,0),C,【解析】,由题意,f,(,x,),=x,2,+,2,x=x,(,x+,2),故,f,(,x,),在,(,-,-,2),(0,+,),上是增函数,在,(,-,2,0),上是减函数,7,.,若函数,f,(,x,),=x,3,-,3,ax,在区间,(,-,1,2),上仅有一个极值点,则实数,a,的取值范围为,(,),A.(1,4,B.2,4,C.1,4),D,.1,2,C,【解析】,因为,f,(,x,),=,3(,x,2,-a,),所以当,a,0,时,f,(,x,),0,在,R,上恒成立,所以,f,(,x,),在,R,上单调递增,f,(,x,),没有极值点,不符合题意,;,当,a,0,时,令,f,(,x,),=,0,得,x,=,当,x,变化时,f,(,x,),与,f,(,x,),的变化情况如下表所示,:,解得,1,a,4,.,选,C,.,8,.f,(,x,),=x,3,-,3,x,2,+,2,在区间,-,1,1,上的最大值是,.,2,【解析】,f,(,x,),=,3,x,2,-,6,x=,3,x,(,x-,2),令,f,(,x,),=,0,得,x=,0,或,x=,2(,舍,),当,-,1,x,0;,当,0,x,1,时,f,(,x,),0,所以当,x=,0,时,函数取得极大值即最大值,所以,f,(,x,),的最大值为,2,.,【解析】,函数,f,(,x,),为偶函数,因此,f,(,-,3),=f,(3),.,又,f,(,x,),=,sin,x+x,cos,x-,sin,x=x,cos,x,10,.,已知函数,f,(,x,),=x,2,-a,ln,x+b,(,a,R,),.,(1),若曲线,y=f,(,x,),在,x=,1,处的切线方程为,3,x-y-,3,=,0,求实数,a,b,的值,;,(2),若,x=,1,是函数,f,(,x,),的极值点,求实数,a,的值,.,(2),因为,x=,1,是函数,f,(,x,),的极值点,所以,f,(1),=,1,-a=,0,所以,a=,1,.,当,0,x,1,时,f,(,x,),1,时,f,(,x,),0,f,(,x,),单调递增,所以,x=,1,是,f,(,x,),的极值点,所以,a=,1,符合题意,.,1,.,(2019,合肥模拟,),已知,f,(,x,),=,e,-x,-,e,x,+x-,sin,x,(,其中,e,为自然对数的底数,),则不等式,f,(,x,2,-x,),f,(,x+,3),的解集为,.,(,-,-,1),(3,+,),【解析】,由已知得,f,(,-x,),=,e,x,-,e,-x,-x+,sin,x=-f,(,x,),所以函数,f,(,x,),是奇函数,又,f,(,x,),=-,e,-x,-,e,x,+,1,-,cos,x,所以,f,(,x,),0,恒成立,所以,f,(,x,),是,R,上的减函数,所以,f,(,x,2,-x,),x+,3,所以,x,2,-,2,x-,3,0,所以,x,3,.,2,.,若函数,f,(,x,),=-x,3,+x,在,(,a,10,-a,2,),上有最大值,则实数,a,的取值范围是,.,-,2,1,),【解析】,由于,f,(,x,),=-x,2,+,1,.,易知,f,(,x,),在,(,-,-,1),和,(1,+,),上,f,(,x,),0,.,3,.,已知点,P,在曲线,y,=,上,为曲线在点,P,处的切线的倾斜角,则,的取值,范围,是,.,4,.,(2019,新乡模拟,),已知函数,f,(,x,),=,e,x,-x,2,+,2,ax.,(1),若,a=,1,求曲线,y=f,(,x,),在点,(1,f,(1),处的切线方程,;,(2),若,f,(,x,),在,R,上单调递增,求实数,a,的取值范围,.,解,:,(1),当,a=,1,时,f,(,x,),=,e,x,-,2,x+,2,f,(1),=,e,又,f,(1),=,e,+,1,所求切线方程为,y-,(e,+,1),=,e(,x-,1),即,e,x-y+,1,=,0,.,(2),f,(,x,),=,e,x,-,2,x+,2,a,f,(,x,),在,R,上单调递增,f,(,x,),0,在,R,上恒成立,在,(,-,ln2),上,g,(,x,),0;,在,(ln2,+,),上,g,(,x,),0,g,(,x,),在,(,-,ln2),上单调递增,在,(ln2,+,),上单调递减,g,(,x,),max,=g,(ln2),=,ln2,-,1,a,ln2,-,1,实数,a,的取值范围为,ln2,-,1,+,),.,一、单选题,1,.,(2018,全国卷,),设函数,f,(,x,),=x,3,+,(,a-,1),x,2,+ax.,若,f,(,x,),为奇函数,则曲线,y=f,(,x,),在点,(0,0),处的切线方程为,(,),A.,y=-,2,x,B.,y,=-x,C.,y=,2,x,D.,y=x,D,【解析】,因为函数,f,(,x,),是奇函数,所以,a-,1,=,0,解得,a=,1,所以,f,(,x,),=x,3,+x,f,(,x,),=,3,x,2,+,1,所以,f,(0),=,1,f,(0),=,0,.,所以曲线,y=f,(,x,),在点,(0,0),处的切线方程为,y-f,(0),=f,(0),x,化简可得,y=x,故选,D,.,A.(,-,-,1B.(0,+,),C.(,-,1,0),D,.(,-,0),D,【解析】,函数,f,(,x,),的图象如下图所示,所以满足,f,(,x+,1),0,解得,x,4,或,x-,2,所以,(4,+,),为函数,y=x,2,-,2,x-,8,的一个单调递增区间,.,根据复合函数的单调性可知,函数,f,(,x,),=,ln(,x,2,-,2,x-,8),的单调递增区间为,(4,+,),.,7,.,(2019,全国卷,),设,f,(,x,),为奇函数,且当,x,0,时,f,(,x,),=,e,x,-,1,则当,x,0,时,f,(,x,),=,(,),A.e,-x,-,1,B.e,-x,+,1,C.,-,e,-x,-,1,D,.,-,e,-x,+,1,D,【解析】,f,(,x,),是奇函数,且当,x,0,时,f,(,x,),=,e,x,-,1,.,当,x,0,f,(,x,),=-f,(,-x,),=-,(e,-x,-,1),得,f,(,x,),=-,e,-x,+,1,.,故选,D,.,则,a,b,c,的大小关系为,(,),A.,abc,B.,bac,C.,cba,D.,ca,log,2,4,.,1,2,2,0,.,8,且函数,f,(,x,),在,R,上是增函数,f,(,2,0,.,8,),f,(log,2,4,.,1),f,(log,2,5),cbx,0,时,f,(,x,0,),0,函数,f,(,x,),单调递增,;,当,0,xx,0,时,f,(,x,0,),0,函数,f,(,x,),单调递减,;,因此,f,(,x,),存在唯一的极值点,.,(2),由,(1),知,f,(,x,0,),0,所以,f,(,x,),=,0,在,(,x,0,+,),内存在唯一实根,记作,x=,.,综上,f,(,x,),=,0,有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数,.,