高三数学一轮复习 第三章数列数列的综合应用课件 文 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2013,届高三数学一轮复习课件第三章数列,数列的综合应用,考点,考 纲 解 读,1,运用数列的概念、公式、,性质解决简单的实际问题,以数列知识为载体考查数,学建模和运用数列知识解,决实际问题的能力.,数列的综合应用问题既能考查学生的潜能,又具有较强的区分度,创,新应用问题选材也可以用数列为背景,在近几年的高考试题中,在解,答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不,等式相关联,还可与三角、几何、复数等知识相结合,题目新颖,难度,较大,对数学思想方法的运用和各种数学能力的要求较高,学生面对,问题时的心理压力也较大.在复习中要重视紧扣等差、等比数列的,性质和定义,做到合理地分析,灵巧地选择公式或性质,找到解决问题,的突破口与思路,本节内容在高考中主要考查等差、等比的综合问,题,递推与求和的综合,数列与其他知识的综合,数列实际应用.数列,是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具,三者,的综合求解是对基础和能力的双重检验,而三者的证明题是近几年,来高考热点.一般情况下,本节内容无论是选择题、填空题还是解答,题中都是以中档题与难题为主,难度较大.,数列的综合应用通常有三种的类型,1.数列知识范围内的综合应用,(1)等差、等比数列以及递推数列之间的综合应用;,(2)紧扣等差、等比数列的定义和性质,作出合理的分析,灵巧地选择,公式或性质解决问题.,2.数列的实际应用问题,(1)构造等差、等比数列的模型,然后利用数列的通项公式和求和公,式求解;,(2)通过归纳得到结论,再用数列知识求解.,运用数列知识解决实际应用问题时,应在认真审题的基础上,认清问,题的那一部分是数列问题,又是哪种数列(等差数列、等比数列)的,问题,在,a,d,(或,q,),n,a,n,S,n,中哪些量是已知的,哪些量是待求的,特别是,认准项数,n,为多少.充分运用“观察归纳猜想证明”的方法,建立等差(比)数列,递推数列的模型,再综合利用其他相关知识来解,决问题.,3.数列与其他分支知识的综合应用,(1)主要为数列与函数、方程、不等式、三角等高考重点知识的综合.,(2)解决有关此类综合问题时,首先要认真审题、弄清题意,分析出涉,及哪些数学分支内容,在每个分支中各是什么问题;其次,要精心分,解,把整个大题分解成若干个小题或若干步骤,使它们成为在各自分,支中的基本问题;最后,分别求解这些小题或步骤,从而得到整个问题,的结论.,1.(2011年房山区期末)已知数列,a,n,的通项公式,a,n,=log,2,(,n,N,*,),设其前n项和为S,n,则使S,n,-,4成立的自然数n有,(),(A)最大值15.(B)最小值15.,(C)最大值16.(D)最小值16.,【解析】由已知,S,n,=log,2,+log,2,+log,2,+,+log,2,=log,2,log,2,15且,n,N,*,n,的最小值为16.,【答案】D,2.(2011年范水高中高三数学期末考试)某工厂的产量第二年比第一,年增长的百分率是,p,1,第三年比第二年增长的百分率为,p,2,若,p,1,+,p,2,=,m,(定值),则年平均增长的百分率的最大值是,.,【解析】设年平均增长的百分率为,p,可知(1+,p,),2,=(1+,p,1,)(1+,p,2,),(,),2,1+,p,=1+,p,p,的百分率的最大值是,.,【答案】,3.(2011年石景山一模理14)函数,y,=,x,2,(,x,0)的图象在点(,a,n,)处的切,线与,x,轴交点的横坐标为,a,n,+1,n,N,*,若,a,1,=16,则,a,3,+,a,5,=,数列,a,n,的通项公式为,.,【解析】由导数的几何意义可知,k,=2,x,=2,a,n,所以切线方程为,y,=2,a,n,x,-,切线与,x,轴交点的横坐标0=2,a,n,a,n,+1,-,可得,a,n,+1,=,a,n,.,a,1,=16,a,2,=8,a,3,=4,a,4,=2,a,5,=1,a,3,+,a,5,=5.,a,n,+1,=,a,n,a,n,是以16为首项,为公比的等比数列.,a,n,=16(,),n,-,1,=2,5,-,n,.,【答案】52,5,-,n,4.某单位用3.2万元买了一台工作设备,已知该设备从启用的第一天,起连续使用,第,n,天的维修保养费为,元(,n,N,*,),使用它直至报废,最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为,止,一共使用了,(),(A)600天.(B)800天.(C)1000天.(D)1200天.,【解析】由第,n,天的维修保养费为,元(,n,N,*,),可以得出整个耗,资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应,n,的值.设一共,使用了,n,天,则使用,n,天的平均耗资为,=,+,当且仅当,=,时取得最小值,此时,n,=800.,【答案】B,题型1,等差数列与等比数列的综合题,例1(2011年浙江卷)已知公差不为0的等差数列,a,n,的首项,a,1,为,a,(,a,R),设数列的前,n,项和为,S,n,且,成等比数列.,(1)求数列,a,n,的通项公式及,S,n,;,(2)记,A,n,=,+,+,+,+,B,n,=,+,+,+,+,当,n,2时,试比较,A,n,与,B,n,的大小.,【分析】(1)抓住数列中的项的两重身份,由等比中项求出等差数列,的公差,从而求出其通项公式与前,n,项和,S,n,.,(2)由(1)求出,的通项公式,利用裂项相消法求,A,n,利用公式法求,B,n,利,用二项式定理判断,A,n,与,B,n,的大小.,【解析】(1)设等差数列,a,n,的公差为,d,由(,),2,=,得(,a,1,+,d,),2,=,a,1,(,a,1,+3,d,).,因为,d,0,所以,d,=,a,所以,a,n,=,na,S,n,=,.,(2)因为,=,(,-,),所以,A,n,=,+,+,+,+,=,(1,-,).,因为,=2,n,-,1,a,所以,B,n,=,+,+,+,+,=,=(1,-,).,当,n,2时,2,n,=,+,+,+,+,n,+1,即1,-,0时,A,n,B,n,;,当,a,B,n,.,【点评】等差数列、等比数列是两种特殊数列,在处理等差数列与,等比数列的综合题时,要注意灵活运用它们的定义、性质,对于等比,数列还要注意对公比的讨论.,变式训练1已知等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,公差,d,0,且,S,3,+,S,5,=50,a,1,a,4,a,13,成等比数列.,(1)求数列,a,n,的通项公式;,(2)若从数列,a,n,中依次取出第2项、第4项、第8项,第2,n,项,按,原来顺序组成一个新数列,b,n,记该数列的前,n,项和为,T,n,求,T,n,的表达,式.,(2)由已知得,b,n,=,=2,2,n,+1=2,n,+1,+1,T,n,=,b,1,+,b,2,+,+,b,n,=(2,2,+2,3,+,+2,n,+1,)+,n,=,+,n,=2,n,+2,-,4+,n,.,【解析】(1)依题意得,解得,a,n,=,a,1,+(,n,-,1),d,=3+2,(,n,-,1)=2,n,+1,即,a,n,=2,n,+1.,题型2,数列与函数、方程、不等式的综合应用,例2已知二次函数,f,(,x,)=,x,2,-,(,m,+2),x,+,m,+2(,x,R)同时满足:不等,式,f,(,x,),0的解集有且只有一个元素;在定义域内存在,x,1,x,2,使得,x,1,+,x,2,=0,但,f,(,x,1,),f,(,x,2,).设数列,a,n,的前,n,项和,S,n,=,f,(,n,).,(1)求,f,(,x,)的表达式;,(2)求数列,a,n,的通项公式.,【分析】由不等式,f,(,x,),0的解集有且只有一个元素,可得,=0,再由,S,n,可得,a,n,.,【解析】(1),f,(,x,),0的解集有且只有一个元素,=,-,(,m,+2),2,-,4(,m,+2)=0,m,=,-,2或,m,=2.,当,m,=,-,2时,函数,f,(,x,)=,x,2,是一个偶函数,故不存在,x,1,x,2,使得,x,1,+,x,2,=0,且,f,(,x,1,),f,(,x,2,).,当,m,=2时,函数,f,(,x,)=,x,2,-,4,x,+4,在定义域内存在,x,1,x,2,使得,x,1,+,x,2,=0,且,f,(,x,1,),f,(,x,2,),故,f,(,x,)=,x,2,-,4,x,+4.,(2)由(1)可知,S,n,=,n,2,-,4,n,+4,当,n,=1时,a,1,=,S,1,=1,当,n,2时,a,n,=,S,n,-,S,n,-,1,=(,n,2,-,4,n,+4),-,(,n,-,1),2,-,4(,n,-,1)+4=2,n,-,5,a,n,=,【点评】以函数知识为背景,以数列知识为辅,考查学生对知识的综,合把握,符合高考题在知识的交汇处出题的特点.,变式训练2(江西省南康中学2011届下学期高三理科数学二轮专题,复习)已知函数,f,(,x,)=,(,x,R),点,P,1,(,x,1,y,1,),P,2,(,x,2,y,2,)是函数,f,(,x,)图象上,的两个点,且线段,P,1,P,2,的中点,P,的横坐标为,.,(1)求证:点,P,的纵坐标是定值;,(2)若数列,a,n,的通项公式为,a,n,=,f,(,)(,m,N,*,n,=1,2,m,),求数列,a,n,的前,m,项,S,m,.,【解析】(1)由题可知:,x,1,+,x,2,=2,=1,所以,y,1,+,y,2,=,f,(,x,1,)+,f,(,x,2,)=,+,=,=,=,.,点,P,的纵坐标,y,p,=,=,是定值,问题得证.,(2)由(1)可知:对任意自然数,m,n,f,(,)+,f,(,)=,恒成立.,由于,S,m,=,f,(,)+,f,(,)+,+,f,(,)+,f,(,)+,f,(,)故可利用倒序求和的方法.,S,m,=,f,(,)+,f,(,)+,+,f,(,)+,f,(,)+,f,(,),S,m,=,f,(,)+,f,(,)+,f,(,)+,+,f,(,)+,f,(,),2,S,m,=,f,(,)+,f,(,)+,f,(,)+,f,(,)+,+,f,()+,f,(,)+2,f,(,)=,(,m,-,1)+2,f,(1)=,(3,m,-,1),所以,S,m,=,(3,m,-,1).,例3(2011年湖南卷)某企业在第1年初购买一台价值为120万,元的设备,M,M,的价值在使用过程中逐年减少,从第2年到第6年,每年,初,M,的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初,M,的价值为上,年初的75%.,题型3,数列在实际问题中的应用,(1)求第,n,年初,M,的价值,a,n,的表达式;,(2)设,A,n,=,若,A,n,大于80万元,则,M,继续使用,否则须在第,n,年,初对,M,更新,证明:须在第9年初对,M,更新.,【分析】分析理解题意,与等差、等比数列的定义相联系,注意分类,讨论求数列的和,借助数列的单调性求范围.,【解析】(1)当,n,6时,数列,a,n,是首项为120,公差为,-,10的等差数列.,a,n,=120,-,10(,n,-,1)=130,-,10,n,当,n,6时,数列,a,n,是以,a,6,为首项,公比为,的等比数列,又,a,6,=70,所以,a,n,=70,(,),n,-,6,.,因此,第,n,年初,M,的价值,a,n,的表达式,a,n,=,(2)设,S,n,表示数列,a,n,的前,n,项和,由等差及等比数列的求和公式得,当1,n,6时,S,n,=120,n,-,5,n,(,n,-,1),A,n,=120,-,5(,n,-,1)=125,-,5,n,;,当,n,7时,S,n,=,S,6,+(,a,7,+,a,8,+,+,a,n,)=570+70,4,1,-,(,),n,-,6,=780,-,210,(,),n,6,A,n,=,因为,a,n,是递减数列,所以,A,n,是递减数列,又,A,8,=,=82,80,A,9,=,=76,80,所以须在第9年初对,M,更新.,【点评】在实际问题中,常出现等差数列或等比数列模型,利用所学,到的等差、等比数列的知识便可使问题顺利解决.数列是特殊的函,数,从而常与函数的特性联系起来.,变式训练3某油库已储油料,a,吨,按计划正式运营后的第一年进油,量为已储油量的25%,以后每年的进油量为上一年底储油量的25%,且每年运出,b,吨.设,a,n,为正式运营后第,n,年的储油量.,(1)写出,a,n,的表达式;(不要求证明),(2)为抵御突发事件,该油库年底储油量不得少于,a,吨,如果,b,=,a,该,油库能否长期按计划运营?如果可以,请加以证明;如果不行,请说明,理由.(取lg 2=0.30,lg 3=0.48),【解析】(1)依题意,油库原有储油量为,a,吨,则,a,1,=,a,-,b,a,2,=,a,1,-,b,=(,),2,a,-,(,+1),b,a,3,=,a,2,-,b,=(,),3,a,-,(,),2,+,+1,b,.,猜想:,a,n,=(,),n,a,-,(,),n,-,1,+(,),n,-,2,+,+,+1,b,=(,),n,a,-,4(,),n,-,1,b,(,n,N,*,).,(2)当,b,=,a,时,该油库第,n,年年底储油量不少于,a,吨,即(,),n,a,-,4(,),n,-,1,a,a,即(,),n,3,n,lo,3=,=,=,=4.8.,所以不能长期运营.,1.等差、等比数列是基本数列,往往结合实际问题出题,并与递推公,式相联系,主要应用函数与方程、分类讨论、化归、整体等思想来,解题.,2.在解数列应用题时,要重视建模的方法,将实际问题转化为数列问题.,3.探索型问题是高考数列题中的重要题型之一,该问题有两种形式:,其一是不知结论,经过自己去探索、发现,从而得到结论.思维过程,是:“观察分析归纳猜想证明”.其二是“存在性”问题,解,题思路是:假设满足条件的对象存在,在此基础上,寻找出对象存在的,条件,从而肯定假设;或推导出矛盾,从而推翻假设,得出结论.,