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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节 函数,一、函数的概念,三、分段函数,四、函数的几种简单性质,二、初等函数,第一章 函数和极限,一、函数的概念,1,常量与变量,注意,一个量究竟是常量还是变量,不是绝对的,要根据具体过程和条件来确定,.,而在过程中可取不同数值的量称为,变量,.,在某过程中始终保持同一数值的量称为,常量,例如：人的身高,在研究少儿发育成长的过程中是,常量,；而在研究成人的健康状况时通常是,变量,函数的概念,因变量,自变量,是自变量的所有允许值的集合，称为函数的定义域而因变量的所有对应值的集合则称为函数的值域,.,定义,1-1,设和是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量 的每一允许的取值，按照一定的规律，变量 总有一个确定值与之对应，则称变量 是变量 的函数变量 称为自变量，变量 称为因变量,.,记为,注意,1,在实际问题中,定义域是由实际问题决定的,.,注意,2,函数的两要素为：,定义域,与,对应规律,注意,3,函数的表示法有,:,公式法、图像法和表格法,这三种表述各有特点并可以相互转化,因此,两个函数只有当它们的,对应规律,和,定义域,都完全相同时,才认为是两个相同的函数,.,例,1-1,在出生后,1,6,个月期间内,正常婴儿的体重近似满足以下关系,:,公式法,37,例,1-2,监护仪自动记录了某患者一段时间内体温,T,的变化曲线,如下图示,:,例,1-3,某地区统计了某年,112,月中当地流行性出血热的发病率,见下表,(,月份,),(),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,16.6,8.3,7.1,6.5,7.0,10.0,2.5,3.5,5.7,10.0,17.1,7.0,t,y,（,5,）三角函数,（,4,）对数函数,（,3,）指数函数,（,2,）幂函数,（,1,）常函数,二、初等函数,1.,基本初等函数,（,6,）反三角函数,等,.,变量称为复合函数的中间变量复合函数的概念可以推广到多个函数的情形，此时复合函数是通过多个中间变量的传递而构成的,例,1-4,设,求 关于,的,复合函数,2.,复合函数,定义,1-2,设变量 是变量 的函数,变量又是变量,的函数,即,如果变量 的某些值通过变量 可以确定变量 的值,则称 是 的复合函数,记为,例,1-5,设,试求,解,解 这里，变量传递顺序是规定好了的，是的中间变量，是 的中间变量，故依次代入可得,可见，复合顺序是关键另外，要注意：若经过变量代入后，复合函数的定义域为空集，则此复合函数无意义，或者说它们不能复合,例如,，,就,不能复合因为,的,定义域为空集,即函数,无,意义,.,例,1-6,将下列复合函数“分解”为简单函数,解,注意,简单函数,是指基本初等函数或由基本初等函数经过四则运算而得到的函数,.,定义,1-3,由基本初等函数经过有限次的四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为,初等函数,3.,初等函数,在不同的区间上用不同的解析式子表示的函数，称为分段函数,例,1-7,三、分段函数,这是一个分段函数，如图,例,1-8,设某药物的每天,剂量为,y,(,单位,:,毫克,),对于,16,岁以上的成年人用药剂量是一常数,设为,2mg.,而对于,16,岁以下的未成年人,则每天用药剂量,y,成比于年龄,x,比例常数为,0.125mg/,岁,其函数关系为,o,16,2,1,-1,x,y,o,定义为：当 时,，,，,例,1-9,设,当 时，则,1.,有界性,四、函数的几种简单性质,有界,M,-M,y,x,o,y=f(x),b,a,y,无界,M,-M,x,o,b,a,2.,单调性,x,y,o,a,b,x,y,o,b,a,增函数,减,函数,设 、是函数 在定义区间 内的任意两点,且,.,若,则称在内是单调递增的,;,若,则称在 内是单调递减的,.,3.,奇偶性,偶函数,y,x,o,x,-,x,y,x,o,x,-,x,奇函数,如果对于函数 定义域内的任意点,恒有,则称 是偶函数,;,如果对于函数,定义域内的任意点,恒有,则称,是奇函数,.,4.,函数的周期性,对于函数,如果存在正的常数,T,使得 恒成立,则称 为周期函数,满足这个等式的最小正数,T,称为函数的周期,.,例如 都是周期函数,周期为,.,主要内容,.,常量变量 函数的概念,.,基本初等函数 复合函数 分段函数 初等函数,.,函数的性质：有界性单调性奇偶性周期性,