石大线代15.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章 相似矩阵及二次型,第,*,页,前次课内容回顾,一些概念：,内积、长度（范数）、正交、正交向量组、,正交规范基、施密特正交化,主要结论：,内积、长度的性质；,正交向量组一定是线性无关的。,正交矩阵,定义,（正交矩阵）如果,n,阶方阵,A,满足,A,T,A,=,E,，,则,称,A,为,正交矩阵,。,由定义立即可知：,若,A,为正交矩阵，则,结论,A,为正交阵,A,的列（行）向量皆为单位,向量，且两两正交。,显然,A,的列,(,行,),向量组皆构成,R,n,的正交规范基。,定义,若,P,为正交矩阵,x,y,是,n,维向量。称由,x,到,y,的,变换,y=,Px,为,正交变换,。,结论 正交变换保持向量的长度不变。,即：若,y=,Px,，,P,为正交矩阵，则,方阵的特征值和特征向量：,定义,设,A,为,n,阶方阵，如果数,和,n,维,非零向量,x,使关系式,成立，则称数,为方阵,A,的,特征值,，非零向量,x,为,A,的,对应于,的,特征向量,。,注 ：,1),若,p,是,A,的对应于,的特征向量,则,kp,(,k,0),也,是,A,的对应于,的特征向量。,2),若,p,1,p,2,皆是,A,的对应于,的特征向量,则,p,1,+p,2,(,p,1,+p,2,0),也是,A,的对应于,的特征向量。,结论,n,阶方阵,A,一定有,n,个特征值。,(,但要注意：,1,）是在复数范围内；,2,）可能有重根。,),为方阵,A,的,特征多项式,（为关于,的一元,n,次多项式）。,称,为,A,的,迹,，记为,tr(A,).,即，求对应的特征向量归结为解一个线性方程组。,设,A,的特征值为,由多项式的根与系数,之间的关系知：,的特征向量满足,1,）解特征方程,2),对每个特征值,n,阶方阵,A,的特征值、特征向量的求法：,得到,A,的全部特征值。,（注意共有,n,个特征值。）,求出齐次线性方程组,的基础解系，它们就是,A,的对应于,的线性无关的特征向量。,关于方阵的特征值和特征向量，,我们有下面结果,结论：设,是,A,的特征值，则,2,是,A,2,特征值，一般,地，,k,是,A,k,的特征值,。,证 因为,是,A,的特征值，即有,于是，,即,2,是,A,2,特征值，类似可证一般情形。,注：此,结,论还可进一步推广如下：,若,是,A,的特征值，则,更一般地，,定理,2,设,是方阵,A,的,m,个特征值,依次是与之对应的特征向量，如果,各不相等，则,线性无关。,证 设有,（*）式两端分别用,左乘,由引理,可得,:,左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，由条件知，,此行列式不等于零，故该矩阵可逆，于是有：,证毕,用矩阵形式写出,即,:,3,相似矩阵,定义,设,A,，,B,都是,n,阶方阵，若有可逆矩阵,P,，使,则称矩阵,B,和,A,相似,，,对,A,进行运算,称为对,A,进行,相似变换,，可逆矩阵,P,称,为,相似变换矩阵,。,定理,3,若,n,阶方阵,A,与,B,相似，则,A,与,B,的特征多项式相,同，从而,A,与,B,的特征值亦相同。,证 因,A,与,B,相似，即有,P,，使,故,推论 若,n,阶方阵,A,相似于对角阵,则,即是,A,的,n,个特征值。,思考：,1),若,A,、,B,相似，,A,、,B,是否等价？,2),若,A,、,B,相似,是否有,结论,:,若,A,、,B,相似,则,A,B,等价,(,从而秩相等,),且有,A,B,的特征多项式相同,特征值相同,;,以及,问题,对,n,阶方阵,A,，,如何寻求相似变换矩阵,P,，,使,为对角阵？,定理,4 n,阶方阵,A,相似于对角阵（即,A,能对角化）充分,必要条件是,A,有,n,个线性无关的特征向量。,由此定理知，,A,能否对角化归结为何时,A,能有,n,个线性,无关的特征向量，在上节的例子中，我们知道，尽管,n,阶矩阵一定有,n,个特征值，但却不一定有,n,个线性无关,的特征向量。,则有：,定理,4,的证明,即,（充分性）将必要性证明逆推之即可。证毕,证 （必要性）若,A,与对角阵相似，,即存在可逆矩阵,P,，使,推论 如果,n,阶矩阵,A,的,n,个特征值各不相等，则,A,与对,角阵相似。,在一个特别情形，我们有：,注意 由定理,4,的证明过程可知：,1,）对角阵,的对角线上的元素就是,A,的,n,个特征值；,2,）相似变换矩阵,P,的列向量就是,A,的,n,个线性无关,的特征向量。,当有,成立时，,设,3,阶方阵,A,的特征值为,1,1,2,，问,A,3,能否相似对角化？,答,:,可以,.,解,A,的特征多项式为,故得,A,的三个特征值为,对于,方程组（,-,2E,A,),x,=0,试证三阶矩阵,与对角阵相似。,解齐次线性,可得特,征向量：,例,(,P116,例,7,),对于,解齐次线性方程组（,E,A,),x,=0,则有：,试证三阶矩阵,A,与对角阵相似。,得两个线性无,关的特征向量：,构造矩阵,即,A,与对角矩阵相似。,例,1,(P118,第,1,题,),解 因,A,与,相似，,补充例题,4,实对称矩阵的相似矩阵,定理,5,实对称矩阵的特征值为实数。,前面我们知道，一般来说,n,阶矩阵不一定有,n,个线性,无关的特征向量,即,n,阶矩阵不一定能对角化,.,但对实对称矩阵，有肯定的结论。为此,先介绍对实对称矩阵的有关结论：,（证明略去）此定理表明,n,阶实对称矩阵一定有,n,个实,特征值。,定理,6,设,1,2,是实对称矩阵,A,的两个特征值，,P,1,P,2,是对应的特征向量，若,1,2,，则,P,1,P,2,正交。,定理,6,设,1,2,是实对称矩阵,A,的两个特征值，,P,1,P,2,是对应的特征向量，若,1,2,，则,P,1,P,2,正交。,证 已知,要证,证毕,定理,7,设,A,是,n,阶实对称矩阵,是,A,的特征方程的,r,重,根,则特征值,恰有,r,个线性无关的特征向量。,（此时矩阵（,A,E,）,的秩,R(,A,E,)=,n-r,。,),在上述三个定理的基础上，可得下述定理,8.,定理表明,n,阶,实对称矩阵,一定有,n,个线性无关的特,征向量。,此定理在理论上非常重要，但证明超出范围，故略去。,定理,8,设,A,是,n,阶实对称矩阵,则必有正交矩阵,P,使,，其中 是以,A,的,n,个特征值为对角元素,的对角阵。,注意此定理不仅表明实对称矩阵可以对角化，而且指出其相似变换矩阵可以是正交矩阵。,证 设,A,的互不相等的特征值为,它们的重数依次为,由定理,7,知特征值,所对应的线性,定理,8,设,A,是,n,阶实对称矩阵,则必有正交矩阵,P,使,，其中 是以,A,的,n,个特征值为对角元,素的对角阵。,将其正交化,单位化,就得到,单位正交的特征向量,于是,一共可以得到,n,个单位正交的特征向量,以这,n,个单位正交的特征向量为列向量构造矩阵,P,则,P,为正,交矩阵，且有,证毕,无关的特征向量有,解,A,的特征多项式为,故得,A,的三个特征值为,对于,解齐次线性方程组（,A,2E,),x,=0,P119,例,9,例 设,求一个正交矩阵,P,使,为对角阵。,系数,矩阵,同解,方程,组为,取基,础解,系,单位,化得,例 设,求一个正交矩阵,P,使,为对角阵。,对于,解齐次线性方程组（,A,4E,),x,=0,系数,矩阵,同解,方程,组为,取基,础解,系,例 设,求一个正交矩阵,P,使,为对角阵。,基础解系中的,两个向量恰好正,交,故只须单位化,构造,正交,矩阵,例 设,求一个正交矩阵,P,使,为对角阵。,解,A,的特征多项式为,故得,A,的三个特征值为,对于,解齐次线性方程组（,4 E,A,),x,=0,P120,例,10,例 设,求一个正交矩阵,Q,使,为对角阵。,得特,征向量,单位,化得,对于,解齐次线性方程组（,5E,A,),x,=0,得两个线性无,关的特征向量,例 设,求一个正交矩阵,Q,使,为对角阵。,（由于这两个向量不是正交的,故须,),先正交化再单位化,正交化,取,例 设,求一个正交矩阵,Q,使,为对角阵。,再单位化,构造,正交,矩阵,例 设,求一个正交矩阵,Q,使,为对角阵。,