石大线代13.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 线性方程组,第,*,页,第三、四章内容总结,一、理论发展脉络,秩、最大,无关组,线性相关,基、维数,向量组等,价讨论,基础解,系、维数,解的结构,向量,AX=0,的,解空间,向量组,向量空间,AX=b,1,向量,解线性方程组,矩阵的秩,求向量组,的秩和最,大无关组,2,矩阵,求向量空,间的基和,维数,矩阵,矩 阵 的 初 等 变 换,判别向量,组的线性,相关性,求向量在,基下的坐标,解矩阵方程,求可逆矩阵的逆矩阵,2,若向量组 是向量空间,V,的一个基，则,V,可表示为,一些概念,：向量空间、基和维数、生成向量空间、子空间,向量空间,1,等价的向量组所生成的向量空间相同。,一些结论,结论,2,表明，此时,V,中向量可用一个统一的式子表出。,内容,回顾,定义 称解空间,S,的基为方程组,AX=0,的,基础解系,。,结论,2,若,R(A)=r,则解空间,S,的维数等于,n,r,。,（其中,n,为方程组中未知变量的个数）,结论,1,齐次线性方程组,AX=0,的解的全体是一个向量,空间。（记为,S,，称,S,为解空间。）,若设,是,S,的基础解系，则任一解可表示为,称（*）式为齐次方程组,AX,=0,的,通解,。,B,解：应填,.,03,年考研题,以上命题中正确的是,练 习,例,(P94,例,2),求解方程组,解 对系数矩阵施行初等,行,变换变为,行最简形,同解方,程组：,通解,为：,例,设,A,B,都是,n,阶方阵,且,AB,=0,证明,R(A)+R(B)n,见,P94,例3,证 将矩阵,B,按列分块,则,由,AB,=0,即,B,的每一个列向量皆为方程组,AX=,0,的解向量。,又若,R,(,A,)=,r,，,则解空间,S,的维数：维,(,S,)=,n,r,。,非齐次线性方程组,设有非齐,次方程组,向量,形式,矩阵形式,AX=b,其中,A,mn,为系数矩阵,(6),结论 对非齐次方程组,(4),：,Ax,=,b,下面四种说法等价：,方程组（,4,）有解；,向量,b,能由向量组,a,1,a,2,a,n,线性表示；,向量组,a,1,a,2,a,n,与向量组,a,1,a,2,a,n,b,等价；,矩阵,A=(,a,1,a,2,a,n,),与,B=(,a,1,a,2,a,n,b,),的秩相等。,通常称,A,为,系数矩阵,，称,B=(A,，,b),为,增广矩阵,。,定理,1,非齐次方程组有解的充分必要条件为：它的系数,矩阵,A,与增广矩阵,B,的秩相等。,即,AX=b,有解 充要条件为,R(A)=R(B),。,故,知 当,R(A)R(B),时，方程组无解。,利用增广矩阵,方程组,(4),的解的判定条件常表述为：,非齐次方程组的,解的结构,。,性质,1,为对应的齐次方程组,AX=,O,的解,。,性质,2,非齐次方程的通解,=,对应齐次方程的通解,+,+,非齐次方程的一个特解,是对应齐次方程的基础解系，,若设,则非齐次方程,AX=b,的,通解,可表示为,对于非齐次线性方程组,在有无穷多解时，,通解为,向量组的相关性讨论,向量组的秩和最大无关组的讨论,求向量组的秩和最大无关组、并将其余向量用此,最大无关组线性表示,。,关于矩阵秩命题的讨论,解齐次、非齐次方程组；,带有参数的非齐次方程组的解的讨论；,一些综合问题。,二、典型习题类型,1.n,阶方阵,A,可逆的充要条件,A,可逆,三、一些结论,2.,关于矩阵秩的关系式,答 应选,C).,例,1,若向量组,线性无关,线性相关,下面中的结论那一个正确,:,98,年考研题,因为,线性相关,而 线性无关,补充例题,答 应选,D).,注意线性无关的向量组不可能由个数比它少的向量组,线性表示。,例,2,向量组,I:,可由向量组,II:,线性表示，则,03,年考研题,补充例题,例,3,证 设有一组数,98,年考研题,例,4,补充例题,(1),设非齐次方程组,AX=b,，,R(A)=n-1,其中,n,是,未知数的个数，,是方程组的两个不同的解，则,方程组的通解为,。,补充例题,(2),若线性方程组,有解,则常数 应满足条件,(),。,例,5,(2),若线性方程组,有解,则常数 应满足条件,(),。,解 增广矩阵,易见，方程组有解,证 由于,A,组、,B,组皆可由,C,组线性表示，故有,例,6,(P87,第,1,题,),设向量组,A,：,的秩为,r,1,，,向量组,B,：,的秩为,r,2,，,向量组,C,：,的秩为,r,3,，,证明：,下证,当,r,1,=0,，,r,2,=0,时，结论显然成立。,从而，,补充例题,于是,C,组中任一向量可由,在,r,1,0,，,r,2,0,时，可不妨设：,是,A,组的最大无关组,是,B,组的最大无关组,线性表示，从而,例,6,(P87,第,1,题,),设向量组,A,：,的秩为,r,1,，,向量组,B,：,的秩为,r,2,，,向量组,C,：,的秩为,r,3,，,证明：,答 应选,B,).,例,7,04,年考研题,评点：请注意,A*,与,A,的秩之间的关系,(,参见,P104,习题,7,).,02,年考研题,例,8,解,(A),(B),(D),例,9,02,年考研题,(C),注意,:A),表示有唯一解,C),表示两两有公共解,D),表示某,方程分别与另两方程有公共解,.,(A),(B),(D),(C),