平板应力分析.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,例题：,一自增强厚壁圆筒，承受内压,p,=250MPa,，圆筒内外直径,D,i,=300mm,，,D,o,=500mm,，材料为,N,i,-C,r,-M,o,高强度钢，,s,=750MPa,，,b,=900MPa,，试求：,（,1,）按,Mises,屈服条件，计算当,R,c,=200,mm,时的自增强压力,p,f,；,（,2,）在内压,p,作用后,R,c,处的环向合成应力。,1,2,、压力容器应力分析,2.4,平板应力分析,CHAPTER,STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS,2,2-4,平板应力分析,3,2.4.1,概述,2.4.2,圆平板对称弯曲微分方程,主要内容,2.4.3,圆平板中的应力,2.4.4,承受轴对称载荷时环板中的应力,2.4,平板应力分析,4,2.4.1,概述,1,、应用：,平封头：常压容器、,高压容器；,贮槽底板：可以是各种形状；,换热器管板：薄管板、厚管板；,板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；,反应器触媒床支承板等。,2.4.,平板应力分析,5,2,、平板的几何特征及平板分类,几何特征,中面是一平面,厚度小于其它方向的尺寸,2.4,平板应力分析,分类,厚板与薄板,大挠度板和小挠度板,t/b,1,/,5,时，,w,/t,1/5,时，,按小挠度薄板计算,图,2-28,薄板,6,3,、载荷与内力,载荷,平面载荷,横向载荷,复合载荷,（作用于板中面内的载荷）,（垂直于板中面的载荷）,内力,薄 膜 力,弯曲内力,中面内的拉、压力和面内剪力，,并产生面内变形,弯矩、扭矩和横向剪力，,且产生弯扭变形,2.4,平板应力分析,7,当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲,载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度,分析复杂的多。,本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论,2.4,平板应力分析,8,弹性薄板的小挠度理论,-,克希霍夫,Kirchhoff,假设,变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同,一法线上，且法线上各点间的距离不变。,类同于梁的平面假设,:,变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。,平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应,力较小，可忽略不计。,板弯曲时其中面保持中性，即,板中面内,各点无伸缩和剪切,变形，只有沿中面法线 的挠度,。,只有横向力载荷,2.4,平板应力分析,9,2.4.2,圆平板对称弯曲微分方程,2.4,平板应力分析,分析模型,10,分析模型,半径,R,，,厚度,t,的圆平板,受轴对称载荷,p,z,内力：,M,r,、,M,、,Q,r,三个内力分量,在,r,、,、,z,圆柱坐标系中,轴对称性,几何对称，载荷对称，约束对称，,在,r,、,、,z,圆柱坐标系中,挠度 只是,r,的函数，而与,无关。,2.4,平板应力分析,11,挠度微分方程的建立：,基于平衡、几何和物理方程,微元体：,用半径为,r,和,r+dr,的,圆柱面和夹角为,d,的,两个径向截面截取板上,一微元体,2.4,平板应力分析,12,挠度微分方程的建立：,基于平衡、几何和物理方程,微元体内力,径向：,M,r,、,M,r,+,（,dM,r,/dr,）,dr,周向：,M,、,M,横向剪力：,Q,r,、,Q,r,+,（,dQ,r,/dr,）,dr,微元体外力,上表面,P=,p,z,rddr,2.4,平板应力分析,13,1,、平衡方程,微体,内力与外力对圆柱面,切线,T,的力矩代数和为零，,即,M,T,=0,（2-54）,圆平板在轴对称载荷下的,平衡方程,2.4,平板应力分析,14,2,、几何方程,取,径向截面上与,中面相距为,z,，,半径为,r,与,两点,A,与,B,构成的微段,2.4,平板应力分析,w,15,板变形后：,微段的径向应变为,（第,2,假设）,过,A,点的周向应变为,（第,1,假设）,作为小挠度,，,带入以上两式，,应变与挠度关系,的,几何方程,（2-55）,2.4,平板应力分析,16,3,、物理方程,根据第,3,个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板,物理方程,为,（2-56）,2.4,平板应力分析,17,4,、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程,（2-57）,2.4,平板应力分析,18,4,、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程（续）,图,2-31,圆平板内的应力与内力之间的关系,2.4,平板应力分析,19,、的线性分布力系便组成弯矩,、。,单位长度上的径向弯矩为：,（2-58a）,（2-58b）,“,抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关,同理,2.4,平板应力分析,参照,35,页壳体的抗弯刚度,通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩 和 表示成 的形式。,20,得弯矩和应力的关系式为：,（2-59）,2-58,代入平衡方程,2-54,，得：,即：受轴对称,横向载荷,圆形薄板小挠度,弯曲微分方程：,（2-60）,Q,r,值可依不同载荷情况用静力法求得,2.4,平板应力分析,21,求解圆平板弯曲应力的基本步骤,外载荷,P,剪切内力,Q,r,圆平板轴对称弯曲微分方程,弯曲内力,M,r,、,M,弯曲应力,r,、,22,2.4.3,圆平板中的应力,一、承受均布载荷时圆平板中的应力,二、承受集中载荷时圆平板中的应力,（,圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）,2.4,平板应力分析,23,一、承受均布载荷时圆平板中的应力,图,2-32,均布载荷作用时圆板内,Q,r,的确定,据图,2-32,，可确定作用在半径为,r,的圆柱截面上的剪力，即：,代入,2-60,式中,均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为,对,r,连续两次积分,得到挠曲面在半径方向的斜率,（2-61）,对,r,连续三次积分,（得到中面在弯曲后的挠度）,（2-62）,2.4,平板应力分析,24,C,1,、,C,2,、,C,3,均为积分常数。,对于圆平板在板中心处（,r=0,）,挠曲面之斜率与挠度均为,有限值，因而要求积分常数,C,2,0,，,于是上述方程改写为：,（2-63）,式中,C,1,、,C,3,由边界条件确定。,2.4,平板应力分析,25,下面讨论两种典型支承情况,(,两种边界条件）,图,2-33,承受均布横向载荷的圆板,周边固支圆平板,周边简支圆平板,周边,固支,圆平板,周边,简支,圆平板,2.4,平板应力分析,26,1,、周边固支圆平板,周边固支圆平板,在支承处不允许有,挠度,和,转角,将上述边界条件代入式（,2-63,），解得积分常数：,得周边固支平板的,斜率和挠度方程,代入式（,2-63,）,（2-64）,2.4,平板应力分析,27,将挠度,w,对,r,的,一阶导数和二阶导数,代入式（,2-58,），便得固支条件下的周边固支圆平板,弯矩表达式,：,（2-65）,由此（代入,2-59,）,弯曲应力,计算试，可得,r,处上、下板面的应力表达式：,（2-66）,2.4,平板应力分析,28,最大应力在板边缘上下表面，即,2.4,平板应力分析,29,2,、周边简支圆平板,将上述边界条件代入式（,2-63,），解得积分常数,C,1,、,C,3,：,得周边简支平,板的挠度方程,代入式（,2-63,）,（2-67）,周边简支圆平板,2.4,平板应力分析,30,弯矩表达式：,（2-68）,应力表达式,：,（2-69）,2.4,平板应力分析,31,2.4,平板应力分析,32,3,、支承对平板刚度和强度的影响,a.,挠度,周边,固支,时，最大挠度在板中心,周边,简支,时，最大挠度在板中心,（2-70）,（2-71）,这表明，周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。,2.4,平板应力分析,slide,fix,33,b.,应力,周边,固支,圆平板中的,最大正应力为支承处,的径向应力，其值为,（2-72）,周边,简支,圆平板中的,最大正应力为板中心处,的径向应力，其值为,（2-73）,这表明周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。,2.4,平板应力分析,34,结论：,挠度反映板的刚度，应力则反映强度。,周边固支的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板,2.4,平板应力分析,35,最大正应力与 同一量级；,最大切应力则与 同一量级。,因而对于薄板,R,t,，,板内的正应力远比切应力大。,内力引起的切应力：,在均布载荷,p,作用下，圆板柱面上的最大剪力 ，,（处）,近似采用矩形截面梁中最大切应力公式,得到,2.4,平板应力分析,36,和,w,max,与圆平板的材料（,E,、,）、,半径、厚度有关,若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都,可减小挠度和降低最大正应力。,工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于,固支条件。,增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法,来提高平板的强度与刚度。,2.4,平板应力分析,37,4,、薄圆平板应力特点,板内为二向应力,、。平行于中面各层相互之间的正,应力,及剪力,引起的切应力 均可予以忽略。,正应力 、,沿板厚度呈直线分布，在板的上下表面有最 大值，是纯弯曲应力。,应力沿半径的分布与周边支承方式有关，工程实际中的圆板,周边支承是介于两者之间的形式。,薄板结构的最大弯曲应力,与,成正比，而薄壳的最大,拉 （压）应力,与,成正比，故在相同 条件下，,薄板所需厚度比薄壳大。,2.4,平板应力分析,38,二、承受集中载荷时圆平板中的应力,图,2-35,圆板中心承受集中载荷时板中的剪力,Q,r,挠度微分方程式（,2-60,）中，剪力,可由图,2-35,中的平衡条件确定：,采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值。,2.4,平板应力分析,39,图,2-36,外周边简支内周边承受,均布载荷的圆环板,通常的环板仍主要受弯曲，仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变，只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。,当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。圆环在沿其中心线（通过形心）均布力矩,M,作用下，矩形截面只产生微小的转角 而无其它变形，从而在圆环上产生周向应力。,2.4,平板应力分析,2.3.4,承受轴对称载荷时环板中的应力,40,圆环绕其形心的转角 和最大应力 （在圆环内侧两表面）,（2-74）,M,R,i,R,X,t,R,o,图,2-37,圆环转角和应力分析,2.4,平板应力分析,圆环：（,R,0,-,R,i,）,10t,不能采用圆平板基本方程求解应力,41,作业：,10,、,11,、,12,42,