第二十一讲 齐次线性方程组解的结构.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四讲,齐次线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的性质,二、齐次线性方程组基础解系及其求法,第四章 向量组的线性相关性,1,一、齐次线性方程组解的性质,1.,回忆：线性方程组解的理论,若,则方程组有无穷解,.,若,则方程组有唯一解,其中,，,充分必要条件是系数矩阵的秩,R,(,A,),n.,元齐次线性方程组,A,m,n,x=,0,有非零解的,(2),n,充分必要条件是系数矩阵的秩,R,(,A,)=,n.,元齐次线性方程组,A,m,n,x=,0,只,有零解的,n,2,2.,解向量的概念,设有齐次线性方程,组,若记,（,1,）,3,则上述方程组可写成向量方程,若,为方程 的,解，,则,称为方程组,（,1,）,的,解向量,，,它也就是向量方程,（,2,）,的解,(2),4,3,齐次线性方程组解的性质,（,1,）若 为 的解，则,也是,的解,.,证明,5,证明,：,证毕,.,分析,：,方程组,(2),的全体解向量所组成的集合记为,S,，,如果能求得解集,S,的一个最大无关组,则方程,（,2,）,的任意解都可由,都是方程,（,2,）,的解,。,因此上式就是方程,（,2,）,的通解,。,最大无关组 线性表示,；,的性质，最大无关组,的任何线性组合,（,2,）,若,为,的解,，,为实数,，则,也是,的解,反过来，由解向量,6,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,如果,解系,，,的解,；,线性表出,。,的基,础,称为齐次线性方程组,（,2,）,的一组线性无关,是方程,（,2,）,（,1,）,的任一解都可由,（,2,）,方程,（,2,）,也即：,是方程,（,2,）,解集的最大无关组,7,结论：,0,=,Ax,为齐次线性方程组,如果,的通解可表示为,那么,的一组基础解系,0,=,Ax,.,2,1,是任意常数,其中,r,k,k,k,L,8,2.,基础解系的求法,求解,n,元齐次线性方程组,A,m,n,x=,0,的基础解系,及通解的步骤（设,R,(,A,)=,rn,）：,1.,用初等行变换把,A,化成行最简形矩阵,B,；,3.,令,n-r,个自由未知量分别取如下,n,-,r,组值：,2.,写出,A,的行最简形矩阵,B,所对应的方程组,B,x=,0,；,1,，,0,，,，,0,；,0,，,1,，,，,0,；,0,，,0,，,，,1.,9,的基础解系,.,所得到的,n r,个向量记为,就是方程组,.,2,1,是任意常数,其中,n-r,c,c,c,L,4.,写出通解,:,10,例,1,的,基础解系与通解,.,解,对系数矩阵 作初等行变换,，,变为行最简形矩阵,，,有,求齐次线性方程组,11,12,13,并由此得到通解,14,小结,:,1.,齐次线性方程组,解的性质,；,2.,齐次线性方程组,基础解系,的求法；,3.,齐次线性方程组,通解,的求法,.,15,