初等数论不定方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,、什么是不定方程？,顾名思义即方程的解不定,.,一般地有,第二章 不定方程,定义,：,不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，或未知数受到某种限制,(,如整数，正整数等）的方程和方程组。,2,、主要研究问题,a.,不定方程有解的条件,b.,有解的情况下，解的个数,c.,有解的情况下，如何解,3,、本章学习内容,(1,）二元一次不定方程,（,2,）多元一次不定方程,（,3,）勾股数组,（,4),费马大定理简介,(5),几类特殊的不定方程,1,二元一次不定方程,定义,：形如,其中,()a,b,c,为整数的方程称为二元一次不定方程。,例,：,2X+3Y=5,5U+6V=21,定理,：有解的充要条件是,(a,b)|c,证：设方程有解 则有,因为（,a,b)|a,(a,b)|b,因而,(a,b)|c,反之，设,(a,b)|c,则 由最大公因数的性质存在,s,t,使得,as+bt,=(a,b),令 即为方程的解,3,、二元一次不定方程有解的情况下解的结构,定理,：设 是方程的一组解，则不定方程有无穷解，其一切解可表示成,其中,证：把 代入不定方程成立，所以是方程的解。,又设 是不定方程的任一解，又因为 是一特解,则有,即有,有,因为,令 即得到了方程的解。,方程有解情况下不定方程的解法,（,1,）,观察法,：当,a,b,的绝对值较小时可直接观察不定方程的一组特解 ，然后用,得到其所有解。,2,、,公式法,：当,a,b,的绝对值较小时，可用公式,得到特解,然后用公式写出一切解。为,a,b,作辗转相除时不完全商,(,见书,),3,、,整数分离法,：当,a,b,中系数不同时，用绝对值较小的系数后的变量表示另一个变量，通过变量替换得到一个新的不定方程。如此反复，直到一个参数的系数为,1.,从而得到不定方程的解。,4,、,化为同余方程,（同余方程中再讲）,注,:,方法,(1)(3)(4),用得较多,(2),不太实用,.,例,1,：求解不定方程,解：因为（,9,，,21,）,=3,，,3|144,所以有解；,化简得 考虑,有解,所以原方程的特解为 ，,所以方程的解为,注,：解的表达式是不惟一的,例,2,、用整数分离法解,解：因为（,107,，,37,）,=1,，所以有解；故,故,2,多元一次不定方程,2.1,定义,：形如,的不定方程多元一次不定方程。,2.2,定理,有解的充要条件是,证：必要性，若不定方程有解,则有,由 。,充分性：用数学归纳法,(n=2,）,时已证,假设对,n-1,时条件是充分的，令,则方程 有解，设解为,又 有解，,设为,这样 就是方程的解。,注,：从证明过程也提供了方程的解法。,则 等价于方程组,设,先解,最后一个方程的解，得 然后把其代入倒数第二个方程求得一切解，如此向上重复进行，求 得所有方程的解。,例,1,：求不定方程 的整数解,.,解 因为（,25,，,13,）,=1,，（,1,，,7,）,=1|4,，所以方程有解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解,25x+13y=t,t+7z=4.,先求,t+7z=4,的解为,t=4-7u,，,z=u,。,因为,25*(-1)+13*2=1,，,所以,25x+13y=1,的特解为,=-1,，,=2,故,25x+13y=t,的,解为,x=-t-13v,，,y=2t+25v,所以 的解为,x=-4+7u-13v,，,y=8-16u+25v,，,z=u.u,，,v,为整数。,3,勾,股,数,定义,：一般地称,x,2,+y,2,=z,2,的正整数解为勾股数,例,（,3,，,4,，,5,），（,5,，,12,，,13,）（,8,，,15,17,）为勾股数,x,2,+y,2,=z,2,方程解的分析,（,1,）若,x,，,y,，,z,是方程解，则,dx,，,dy,，,dz,也是 方程解,（,2,）由（,1,）只要考虑（,x,，,y,，,z,）,=1,的解即可，而实际上只 要（,x,，,y,）,=1,即可，假设（,x,，,y,）,=d,，则,d|x,，,d|y,，,则有,d|z,（,3,）,由（,2,）可设（,x,，,y,）,=1,，则,x,，,y,为 一奇一偶。,若,x,，,y,都为奇数，则,z,为偶数，则方程左边为,4K+2,，,右边为,4K,，,矛盾。所以,x,，,y,为一奇一偶。,由上分析，我们对（,x,y,）,作了一些限制，而这些限制并不影响其一般性。,即可假设在,x0,，,y0,，,z0,，（,x,，,y,）,=1,，,2x,的条件下给出,x,2,+y,2,=z,2,的通解公式。,定理,：在条件,x0,，,y0,，,z0,，（,x,，,y,）,=1,，,2x,的条件下,x,2,+y,2,=z,2,的通解公式为,x=2ab,，,y=a,2,-b,2,，,z,2,=a,2,+b,2,，,ab0,(a,b)=1,，,a,b,一奇一偶。,为了证明定理的结论，先给出下面引理。,引理,：设,u0,，,v0,，（,u,v,）,=1,，则不定方程,uv,=w,2,的解为,u=a,2,，,v=b,2,，,w=,ab,其中,a0,，,b0,，（,a,b,）,=1,。,证：设,u,，,v,，,w,是方程的解，令,不含平方数，,又（,u,，,v,）,=1,，,不能被 整除,.,故,所以,u=a,2,，,v=b,2,，,w=,ab,。,a0,，,b0,，（,a,b,）,=1,下面进行定理的证明,.,定理的证明：,x=2ab,，,y=a,2,-b,2,，,z,2,=a,2,+b,2,，,ab0,(a,b)=1,，,a,b,一奇一偶。显然是方程,x,2,+y,2,=z,2,的解，满足,x0,，,y0,，,z0,，,2x,，且,设（,x,，,y,）,=d,，,则有,由（,a,，,b,）,=1,，有,d=1,，或,d=2,又由,y,为奇数，所以,d=1,。,设,x,，,y,，,z,是满足条件的一组解，由,2|x,，,及（,x,，,y,）,=1,知,y,，,z,是单数，有 且,因为设 则有,d|z,，,d|y,，,因而有,d|x,，,所以,d=1,于是由引理令,于是有,x=2ab,，,y=a,2,-b,2,，,z,2,=a,2,+b,2,，,a0,b0,(a,b)=1,由,y0,知,ab0,又,y,单，所以,a,b,一奇一偶。,推论,：单位圆上的有理点可写成,证：由 两边同除,有 ，令,所以有 即为单位圆的方程,而有理点的坐标都是有理数，即为可约分数的形式，分数的分子正好为,x,2,+y,2,=z,2,的,x,和,y,分母为,z,，,且正负都可，又可交换即有,例,1,：,勾股数的勾股中至少有一个是,3,的倍数。,证：设,N=3m 1,，（,m,为整数），则,=3k+1,设 中，若,x,，,y,都不是,3,的倍数，,都是,3K+1,，,则其和为,3k+2,。,不可能是平方数，所以 是 不可能的。,4,费尔马大定理和无穷递降法,1,、,费尔马大定理,：不定方程,x,n,+y,n,=,z,n,，,n3,无正整数解。,由于一个大于,2,的整数,n,，当,n,是偶数时，必为,4,的倍数或为某个奇质数的偶数倍，当,n,是奇数时，必是一个奇质数,p,的倍数。因此，实际上只需证明 和,（,p,为奇质数）都没有正整数解就可以了。对 可用无穷递降法证明，而,无正整数解的证明是非常困难的,。,2,、无穷递降法 的逻辑步骤,（,1,）若一个关于正整数的命题,P,（,n,）,对若干正整数,n,是下正确的，则在所有,n,中一定有最小者。,（,2,）若 正确，则有 使 正确。,由（,1,）（,2,），则,P,（,n,）,不能成立。,例,2,:,证明 是无理数,证：假设 是有理数，则 有正整数解,.,设自然数,(,a,b,),所有解中使得,a,最小一组解,.,即有 容易知道,a,是偶数，设,a,=2,a,1,，,代入又得到,b,为偶数，设,则,即,也是方程的解,这里,这与,a,的最小性矛盾,.,无理数。,例,2,:,证明 是无理数,证：假设 是有理数，则存在自然数,a,b,使得满足 ，即 容易知道,a,是偶数，设,a,=2,a,1,，,代入又得到,b,为偶数，设,则,这里,这样可以进一步求得,a,2,，,b,2,且有,aba,1,b,1,a,2,b,2,但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，,无理数。,几个特殊的不定方程的初等解法,1,、奇偶分析法,例：,求不定方程 的正整数解,解：因为,328,为偶数，即左边为偶数，,x,，,y,的奇偶性相同，不妨设,xy,设,则有,同理有,一奇一偶,则 得解,进一步有,所发原方程的解为,(2,18),和,(18,2),2,、利用特殊模的余数,例,2,：证明 无整数解。,证：由求根公式得,原方程要有整数解则 为完全平方,而 所以有,不可能为平方数。,所以原方程无整数解。,3,、数与式的分解,例,3,：求 的整数解。,解：原方程通过变形得,则有,从而原方程的解为,4,、不等分析法,例,4,：求 的正整数解。,解：因 所以,又因为 为偶数，所以 只能为,4,，,16,代入得,=16,，,所以原方程的解为（,4,，,3,）,5,、分离整数部分法,例,5,：求 的整数解。,解：因为,x=-1,不是方程的解，所以原方程为,所以有,x+1|2,，即,x=0,，,-2,，,1,，,-3,得原方程的解为,(0,4),(-2,0),(1,3),(-3,1).,6,、求根公式法,例,6,：求 的整数解。,解：把它看成,x,的二次方程有,由根号里面大于等于,0,，得,y,只能,1,，,2,，,3,代入得到方程的解为,(2,1),(1,1),(1,2),(3,2),(3,3),(2,3),7,、利用韦达定理,例,7,：求 的正整数解。,解：把它看成,x,的二次方程，设根为,则有,所以两根同奇偶，且 除,4,，余数不为,0,所以两根只能是,1,，,3,，,5,和,11,，,9,，,7,又两根之积减,2,是平方数。所以 只能是,1,，,11,和,3,，,9,。所以原方程的解为,(1,3),(11,3),(3,5),(9,5).,8,、换元法,例,8,：求 的正整数解。,解：由题意有 于是令,y=,tx,，则有,由韦达定理得,因为,1981=1*1981=7*283,，只有,得,y=10,，从而得原方程解为（,70,，,10,）（,2830,，,10,）。,8,、换元法,例,8,：求 的正整数解。,解：由题意有 于是令,y=,tx,，则有,由韦达定理得,因为,1981=1*1981=7*283,，只有,得,y=10,，从而得原方程解为（,70,，,10,）（,2830,，,10,）。,9,、其它方法,例,9,：求 的正整数解。,解：原方程为,而由勾股定理有,或,所以方程的解为（,3,，,8,），（,4,，,6,）,