第3章离散傅里叶变换.ppt

,*,3.1 定义和物理意义,3.2 基本性质,3.3 频率域采样,3.4 应用举例,序列的FT有理论价值吗？有！,序列的FT有实用价值吗？没有！,第3章 离散傅里叶变换(DFT),3.1 离散傅里叶变换的定义,设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为,X(k)的离散傅里叶逆变换为,n=0,1,N-1 (3.1.2),N称为DFT的变换区间长度NM。下面对比DFT与DFS:,DFT 和DFS基本相同。所不同的是DFT的取值范围是：0N-1，而DFS的取值范围是：-+。,1 为什么用DFT 代替DFS是DSP的必然？,2 能把有限长的序列当作周期序列来看吗？,3 序号k代表什么？X(k)代表什么？,例 3.1.1 设x(n)=R,4,(n)，求它的Z变换、傅里叶变换、8点和16点DFT。,解：,|z|0,设变换区间N=8，则,k=0,1,.,7,设变换区间N=16，则,k=0，1,.,15,观察w和k在公式和图的关系：,1 k是对数字角频率的采样顺序;,2 X(k)是X()的采样序列。,例如：x(n)为6点长的序列，以N=6为周期的延拓序列为x(n),6,，将它左移n,0,得x(n+n,0,),6,，取其主值得循环移位序列x(n+n,0,),6,R,6,(n)，也叫圆周移位。,MATLAB:,clear,close all,n=0:20;,x=1,2,3,4,zeros(1,17);subplot(4,1,1);stem(n,x);,a=x(1+mod(n,4);subplot(4,1,2);stem(n,a);,b=x(1+mod(n+2,4);subplot(4,1,3);stem(n,b);,c=b.*(1-n=4);subplot(4,1,4);stem(n,c);,3.2.2 循环卷积,设有限长序列x,1,(n)和x,2,(n)，长度分别为N,1,和N,2,，N=max N,1,N,2,。定义循环卷积为：,循环卷积的直线坐标图解法：,画出,x,1,(l),和,x,2,(l),，,周期化,x,2,(l),得,x,2,(l),N,，,反转,x,2,(l),N,得,x,2,(-l),N,，,移位,x,2,(-l),N,得,x,2,(n-l),N,x,1,(l),和,x,2,(n-l),N,在,l=0N-1,上求积和。,循环卷积的圆圈坐标图解法：,画出,x,1,(l),和,x,2,(l),，,反转,x,2,(l),得,x,2,(-l),，,移位,x,2,(-l),得,x,2,(n-l),x,1,(l),和,x,2,(n-l),在圆坐标上求积和。,3.2.3 卷积定理,设时域里循环卷积为：,则频域里 X,(k)=X,1,(k)X,2,(k)。,注意：,X,(k)、X,1,(k)和X,2,(k)都是N点的DFT。,！因为DFT是DFS的代表，,！所以DFT具有与DFS类似的性质。,3.3 频率域采样,设任意序列x(n)的Z变换为,且X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到,实际上X(k)的反变换是有限长的序列x,N,(n)，,x,N,(n)=IDFTX(k)，0nN-1,请问，原序列x(n)和它的频谱采样后恢复的序列x,N,(n)一样吗？,频率采样定理：如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数NM时，才有,x,N,(n)=IDFTX(k)=x(n),即可以由频率采样恢复原序列，否则x,N,(n)会产生混叠失真现象。,3.4 DFT的应用举例,DFT的快速算法FFT的出现，使DFT在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、仿真、系统分析、雷达理论、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。,各种应用一般都是以卷积和相关运算为依据，或是以DFT作为连续傅里叶变换的近似为基础。这两种理论是DFT应用的基础。,例如：,There are applications where it is necessary to compare one reference signal with one or more signals to determine the similarity between the pair and to determine additional information based on the similarity.,For example,in digital communications,a set of data symbols are represented by a set of unique discrete-time sequences.If one of these sequences is transmitted,the receiver has to determine which particular sequence has been received by comparing the received signal with every member of possible sequences from the set.,Similarly,in radar and sonar applications,the received signal reflected from the target is the delayed version of the transmitted signal and by measuring the delay,one can determine the location of the target.,The detection problem gets more complicated in practice,as often the received signal is corrupted by additive random noise.,A measure of similarity between a pair of energy signals,x(n),and,y(n),is given by the,cross-correlation sequence r,xy,(l),defined by,The parameter,l,called lag,indicates the time-shift between the pair.The time sequence,y(n),is said to be shifted by,l,samples with respect to the reference sequence,x(n),to the right for positive values of,l,and shifted by,l,samples to the left for negative values of,l,.,The ordering of the subscripts,xy,in the above-mentioned equation specifies that,x(n),is the reference sequence which remains fixed in time whereas the sequence,y(n),is being shifted with respect to,x(n).,3.4.1 用DFT计算线性卷积,因为有,所以处理信号时，希望利用DFT的卷积定理。,但是 ，,可以吗？,设 x(n)长N,1,，h(n)长N,2,。,对于 ，长(N,1,+N,2,-1)，,，长L，还有周期性；,若(N,1,+N,2,-1)L时，包含 的后面部份，,若(N,1,+N,2,-1)=(N,1,+N,2,-1)时，可以等于 ，可以 用 计算 。这种做法称为快速卷积。,当x(n)很长，而h(n)较短时，怎么计算循环卷积呢？,（1）重叠相加法,将x(n)分成几段，每段的长和h(n)相当，对它们分别求循环卷积，然后将结果相加。,（2）重叠保留法,将x(n)分成几段，每段的长和h(n)相当；每段连上前一段的一部份后与h(n)分别求循环卷积，然后去掉循环卷积重叠失真的部份；最后将结果相加。,例如：设信号s=2n(0.9),n,，用M点的moving-average filter,对被噪声污染的信号进行滤波处理。用M-file fftfilt可以执行上述方法。,clear,close all,r=70;m=0:r-1;%噪声和信号的长,M=3;%滤波器的长,d=rand(r,1)-0.5;%产生噪声,s=2*m.*(0.9.m);%产生信号,x=s+d;%信号受干扰,h=ones(1,3)/3;%moving-average filter的系数,y=fftfilt(h,x,4);%重叠相加法输出,plot(m,s,-r,m,x,b-,m,y,k);,legend(s,x,y),3.4.2 用DFT对信号进行谱分析,信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析不能用计算机计算。而DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合计算机计算。,因为：,1 对连续信号x,a,(t)采样近似得x(n)；,2 对连续信号x,a,(t)的频谱X,a,(j)采样近似得X,a,(kF)，F=f,s,/N称为频谱分辨率；,3 对比X,a,(kF)和 X(k)可以得到,X,a,(kF)=T*X(k),所以：用DFT可以近似地分析连续信号的频谱。,但是要注意：,1 对于有限长序列，它的频谱是连续的？还是离散的？,增加DFT的长度N可以减小栅栏效应的影响。,2 对于无限长序列，它的频谱是连续的？还是离散的？,增加DFT的长度N可以减小窗口效应（频率混叠或泄漏）的影响。,下面用实验说明：,用DFT分析信号,的频谱。,clear,close all%栅栏效应和开窗效应实验,r=0:15;,x1=sin(2*pi/16*r);X1=fft(x1);,subplot(3,2,1);stem(r,x1);legend(0=2/16),subplot(3,2,2);stem(r,abs(X1);xlabel(k(=2k/16);,axis(0,16,0,10);legend(N=16正好为周期),n=0:19;,x2=(sin(2*pi/16*n).*n16;subplot(3,2,3);stem(n,x2);,w=linspace(0,2*pi,1000);X2=x2*exp(-j*n*w);k=w*20/2/pi;,w1=w/2/pi;k=0:19;%1000点中取20点,subplot(3,2,4);plot(w1,abs(X2),k/20,abs(X2(k*50+1),*k);,xlabel(w1(=2*w1);legend(连续频谱,栅栏效应);,x3=sin(2*pi/16*n);subplot(3,2,5);stem(n,x3);,X3=fft(x3);subplot(3,2,6);stem(n,abs(X3);,xlabel(k(=2k/20);legend(开窗效应),例3.4.1 对实信号进行谱分析。设信号最高频率f,c,=2.5 kHz，要求谱分辨率F10 Hz。请问最小的记录时间T,Pmin,，最大的采样间隔T,max,，最少的采样点数N,min,？如果f,c,不变，要求谱分辨率增加一倍，问最少的采样点数和最小的记录时间是多少?,解：因为f,smin,=5kHz，所以T,max,=0.2(ms);,？,因为F=f,smin,/N10Hz，所以N,min,=500(点);,因为T,p,=NT，所以T,Pmin,=0.1(s)。,当F=5Hz时，,N,min,=1000点，,？,T,Pmin,=0.2 s。,？,习题：P.15、16。,补充题：设有限长序列100点，信号,噪声的最大值为0.2。请用3点长的moving average filter高效率地处理被噪声污染的信号，并画出它们的波形和频谱图。,