高一数学-1.8-单调性与最值课件-新人教A版必修1.ppt

开始,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,1.一般地,设函数f(x)的定义域为I:,(1)如果对于定义域I内某个区间D上的两个自变量的值x,1,x,2,当x,1,x,2,时，都有,，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.反映在图象上,，由左至右，图象连续.,(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x,1,x,2,，当x,1,x,2,时，都有,，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.反映在图象上,，由左至右，图象连续.,2.如果函数y=f(x)在区间D上是,，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的区间,.,任意f(x,1,)f(x,2,),单调,返回,3.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,（1）对于,，都有f(x)M;存在x,0,I,使得,.那么，称M为函数y=f(x)的最大值，记为y,max,=M.,(2)对于任意的xI,都有f(x)M;,，使得f(x,0,)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最小值，记为y,min,=M.,4.函数的最大（小）值反映在图象上,，是函数图象的纵坐标.,任意的xI,f(x,0,)=M,最高（低）点,存在x,0,I,返回,学点一 判定函数的单调性,【分析】,熟练掌握基本初等函数的图象和单调性，有利于更好地掌握复杂的复合函数的单调性.,【评析】判定函数的单调性，可以从图象上直观看出，也可以利用函数本身的性质得出.,下列函数中,在区间（0,+）上是增函数的是(),A.y=x,2,-2x+1 B.y=,C.y D.y,【解析】,y=x,2,-2x+1在1,+)上递增,而在(0,1上递减;y=在(0,+)上是减函数；y =在0,1上递增,在1,2上递减.只有y=在(-,-1)上递增,在(-1,+)上递增,从而在(0,+)上递增.,故应选C.,C,返回,下列函数，在区间(0,2)上是增函数的是（）,A.y=B.y=2x-1,C.y=1-2x D.y=(2x-1),2,B(y=在(0,+)上是减函数，排除A；y=2x-1在R上是增,函数，故在(0,2)上也是增函数；y=1-2x在(0,+)上是减函,数，排除C;y=(2x-1),2,在(0,),上是减函数，在(,2)上是增函数.,故应选B.),B,返回,学点二 单调性的判定与证明,【分析】,用函数单调性定义证明.,求证：函数f(x)=-1在区间(-,0)上是单调增函数.,【证明】,对于区间(-,0)内的任意两个值x,1,x,2,，且x,1,0,x,1,x,2,0,因为f(x,2,)-f(x,1,)=(-1)(-1),=-=,所以f(x,2,)-f(x,1,)0，即f(x,1,)f(x,2,),故f(x)=-1 在区间(-,0)上是单调增函数.,【评析】证明函数在某个区间上是增函数或减函数，用定义证明是最基本的方法，步骤是：设值、作差、变形、判断符号、下结论.,返回,设,x,1,x,2,是(-,+)内的任意两个实数，且x,1,0,0,(x,2,-x,1,)(+x,2,x,1,+)0,即f(x,1,)f(x,2,).,函数f(x)=-x,3,+1在(-,+)上是减函数.,根据函数单调性的定义证明：函数f(x)=-x,3,+1在(-,+)上是减函数.,返回,学点三 利用图象求函数单调区间,【分析】,先将函数解析式化简，变为熟悉的基本函数.,作出函数f(x)=的图象，并指出函数f(x)的单调区间.,由图象知函数的单调区间为(-,-3,-3,3,3,+).,其中单调减区间为(-,-3,单调增区间为3,+),常函数区间为-3,3.,图象如图所示.,【解析】,原函数可化为,f(x)=|x-3|+|x+3|,-2x,x-3,6,-33.,返回,【评析】（1）利用函数图象确定函数的单调区间，具体做法：先化简函数式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间.,显然函数的增区间为x,2,x,3,x,4,x,5,减区间为x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,.,（2）利用图象求函数单调区间是最基本、最直观的方法，只要作出图象，求单调区间很容易，如y=f(x).图象如下图所示：,返回,求函数y=-x,2,+2|x|+3的单调区间.,“脱去”绝对值符号，画出函数图象，如图所示，从图象观察得出.,当x0时，y=-x,2,+2x+3=-(x-1),2,+4;当x0时，y=-x,2,-2x+3=-(x+1),2,+4.,如图所示，在(-,-1，0,1上，函数是增函数；在-1,0,1,+)上，函数是减函数.,返回,学点四 利用单调性求变量范围,(一）在具体函数中利用单调性求变量范围,（1）已知f(x)=x,2,+2(1-a)x+2在(-,4上是减函数，求实数a的取值范围;,（2）已知f(x)=-x,3,+ax在(0,1)上是增函数，求实数a的取值范围.,【分析】,二次函数是我们最熟悉的函数，只要遇到二次函数就画图象，也可以不将图象画出，而在脑海中出现，就会给我们研究问题带来方便.对于不熟悉的函数，可以利用单调函数的定义去研究与单调性有关的问题.,返回,【解析】,（1）要使f(x)在(-,4上是减函数，由二次函数的图象可知，,只要对称轴x 即可，,解得a5.,（2）设0 x,1,x,2,0,f(x,2,)-f(x,1,)=(-+ax,2,)-(-+ax,1,)=(-)+a(x,2,-x,1,),=(x,1,-x,2,)(+x,1,x,2,+-a)0,f(x)在(0,1)上是增函数,又x,2,-x,1,0,+x,1,x,2,+-a +x,1,x,2,+,又0 x,1,x,2,1,+x,1,x,2,+0时，要使f(x)在1,+)上是增函数，,a0,1,（3）,当af(a-1)+2，求a的取值范围.,【分析】,从两点考虑：一是常数2与f(3)是什么关系？,可由f(xy)=f(x)+f(y)找出；二是在不等式f(a)f(a-1)+2,中怎样“脱”去“f”.,【解析】,f(xy)=f(x)+f(y)，且f(3)=1,f(9)=f(33)=f(3)+f(3)=2f(3)=2.,又f(a)f(a-1)+2,f(a)f(a-1)+f(9),即f(a)f9(a-1),返回,【评析】（1）抽象函数不等式的一般解答方法是利用单调性“脱号”.,（2）“脱号”时莫忘定义域对自变量的限制.,由单调函数的概念得,解得1a .,a的取值范围是1a0,求实数m的取值范围.,由,f(m)+f(2m-1)0得f(m)-f(2m-1),f(-x)=-f(x)，f(m)f(1-2m).,由f(x)是(-2,2)上的减函数可得,解得-m .,所求实数m的取值范围是-m x,1,1，则,f(x,2,)-f(x,1,)=(x,2,-x,1,)+,=(x,2,-x,1,)（1-）.,x,2,x,1,1,x,2,-x,1,0,x,1,x,2,1,1,学点五 利用单调性研究函数最值,【分析】,利用函数单调性求函数最值.,已知函数f(x)=,x1,+).,(1)当a=时,求函数f(x)的最小值；,(2)若对任意x1,+),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围.,返回,【评析】函数f(x)在区间a,b(a0,f(x,2,)-f(x,1,)0,f(x)在区间1,+)上为增函数,f(x)在区间1,+)上的最小值为f(1)=.,(2)在区间1,+)上,f(x)=0恒成立x,2,+2x+a0恒成立.设y=x,2,+2x+a,x1,+),则y=x,2,+2x+a=(x+1),2,+a-1递增.当x=1时,y,min,=3+a,于是,当且仅当y,min,=3+a0时,函数f(x)0恒成立,故a-3.,返回,求函数f(x)=x,2,-2ax-1在区间0,2上的最值.,由,f(x)=(x-a),2,-a,2,-1，因为x0,2,(1),当0a2时，f(x),min,=f(a)=-a,2,-1.,当0a1时，f(x),max,=f(2)=2,2,-4a-1=3-4a；,当1a2时，f(x),max,=f(0)=-1.,(2),当a2时，f(x),min,=f(2)=3-4a,f(x),max,=f(0)=-1.,返回,（1）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言，有的函数在整个定义域内具有单调性，如一次函数y=2x+6等.有的函数分别在定义域内的某些区间上单调，但在整个定义域上却不单调，如反比例函数y=等，所以函数f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势，是函数的局部性质.,（2）函数在某一点处的单调性无意义，书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间.（3）函数定义中的x,1,x,2,应深刻理解，一是任意性，即“任意取x,1,x,2,”,“任意”两个字绝不能丢掉，不能为某两个特殊值；二是x,1,x,2,有大小，通常规定x,2,-x,1,0;三是同属于一个单调区间.,1.在函数单调性中应注意什么问题？,返回,2.证明函数单调性的方法和步骤是什么？,证明函数单调性只能用定义来证明，不能用复合函数单调性证明.,证明函数单调性的步骤：,第一步：任意取值x,1,x,2,(在某单调区间I上)，且x,1,0时，函数y=1f(x)与y=f(x)的单调性相反.对于f(x)0),xm,n的最值问题，若当tm,n,x=t时，有最小值s，最大值是f(m),f(n)中较大者；若tm,n，则f(m),f(n)中较小者是最小值，较大者是最大值.当a0时，仿此讨论.,返回,祝同学们学习上天天有进步！,