【点集拓扑学】§2.4 导集, 闭集, 闭包.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4导集,闭集,闭包,给定一个子集,拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同,可以对它们进行分类处理.,定义2.4.1,设,X,是一个拓扑空间,A X,如果点,xX,的每一个邻域,U,中都有,A,中异于,x,的点,即,U(A-x),则称点,x,是集合,A,的一个凝聚点或极限点.集合,A,的所有凝聚点构成的集合称为,A,的导集,记作,d(A).,如果,xA,并且,x,不是,A,的凝聚点,即存在,x,的一个邻域,U,使得,U(A-x),则称,x,为,A,的一个孤立点.,如果点,xX,的每一个邻域,U,中都有,A,中异于,x,的点,即,U(A-x),则称点,x,是集合,A,的一个凝聚点或极限点.集合,A,的所有凝聚点构成的集合称为,A,的导集,记作,d(A).,如果,xA,并且,x,不是,A,的凝聚点,即存在,x,的一个邻域,U,使得,U(A-x),则称,x,为,A,的一个孤立点.,例2.4.1,离散空间中集合的凝聚点和导集.,设,X,是一个离散空间,A,是,X,中的一个任意子集.由于,X,中的每一个单点集都是开集,因此如果,xX,则,X,有一个邻域,x,使得 ,于是,x,不是,A,的聚点.以上论证说明,集合,A,没有任何一个凝聚点,从而,A,的导集是空集,即,d(A).,定理2.4.1,设,X,是一个拓扑空间,A X,(l)d()=；,(2)A B,则,d(A)d(B);,(3)d(AB)d(A)d(B)；,4)d(d(A)A,d(A),定义2.4.2,设,X,是一个拓扑空间,A X.,如果,A,的每一个凝聚点都属于,A,即,d(A)A,则称,A,是拓扑空间,X,中的一个闭集.,例如,根据例2.4.,l,和例2.4.2 中的讨论可见,离散空间中的任何一个子集都是闭集,而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集.,定理 2.4.2,设,X,是一个拓扑空间,A X.,则,A,是一个闭集,当且仅当,A,的补集 是一个开集.,例2.4.3,实数空间,R,中作为闭集的区间.,设,a,b R,ab.,闭区间,a,b,是实数空间,R,中的一个闭集,因为,a,b,的补集 =(-,a)(b,),是一个开集.,同理,(-,a),b,都是闭集,(-,),R,显然更是一个闭集.然而开区间(,a,b),却不是闭集,因为,a,是(,a,b),的一个凝聚点,但,a (a,b).,同理区间(,a,b),a,b,(-,a),和(,b,),都不是闭集.,定理2.4.3,设,X,是一个拓扑空间.记,F,为所有闭集构成的族.则：,(1),X,F,(2),如果,A,B,F,则 .(从而有限并封闭),(3)如果 ,在此定理的第(3)条中,我们特别要求 的原因在于,当 =时,所涉及的交运算没有定义.,总结：(1)有限个开集的交是开集,任意个开集的并是开集.其余情形不一定.,(2)有限个闭集的并是闭集,任意个闭集的交是闭集.其余情形不一定.,定义2.4.3,设,X,是一个拓扑空间,A X.,集合,A,与,A,的导集,d(A),的并称为,A,的闭包，记为 或 .,定理2.4.4,拓扑空间,X,的子集,A,是闭集的充要条件是,A=,.,定理 2.4.5,设,X,是一个拓扑空间,则对于任意,A,BX,有：,定理 2.4.6,拓扑空间,X,的任何一个子集,A,的闭包 都是闭集.,证明根据定理2.4.4和定理2.4.5(4)直接推得.,定理2.4.7设,X,是一个拓扑空间,F,是由空间,X,中所有的闭某构成的族,则对于,X,的每一个子集,A,有,即集合,A,的闭包等于包含,A,的所有闭集之交.,在度量空间中,集合的凝聚点,导集和闭包都可以通过度量来刻画.,定义2.4.5,设(,X,),一个度量空间.,X,中的点,x,到,X,的非空子集,A,的距离,(x,A),定义为,(x,A),inf,(x,y)|yA,定理2.4.9,设,A,是度量空间(,X,),中的一个非空子集.则,(1),x d(A),当且仅当,(x,A-x)=0；,(2)x,当且仅当,(x,A)0.,定理2.4.10,设,X,和,Y,是两个拓扑空间,f:XY.,则以下条件等价：,(,l)f,是一个连续映射；,(2),Y,中的任何一个闭集,B,的原象 (,B),是一个闭集；,(3)对于,X,中的任何一个子集,A,A,的闭包的象包含于,A,的象的闭包,即,(4)对于,Y,中的任何一个子集,B,B,的闭包的原象包含,B,的原象的闭包,即,.,总结一下,到目前为止,证明映射连续的方法有几种?证明一个子集是开集,闭集的方法有几种?如何证明一个点是某个子集的凝聚点?,作业,:,P69 1.2,