高数 8-7方向导数与梯度~.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章,第七节,一、方向导数,二、梯度,方向导数与梯度,一、方向导数,定义,:,若函数,则称,为函数在点,P,处沿方向,l,的,方向导数,.,在点,处,沿方向,l,(,方向角为,),存在下列极限,:,记作,定理,:,则函数在该点,沿任意方向,l,的方向导数存在,证明,:,由函数,且有,在点,P,可微,得,故,对于三元函数,为,),的方向导数为,特别,:,当,l,与,x,轴同向,当,l,与,x,轴反向,向角,例,1.,求函数,在点,P,(1,1,1),沿向量,3),的方向导数,.,解,:,向量,l,的方向余弦为,例,2.,求函数,在点,P,(2,3),沿曲线,朝,x,增大方向的方向导数,.,解,:,将已知曲线用参数方程表示为,它在点,P,的,切向量为,例,3.,设,是曲面,在点,P,(1,1,1),处,指向外侧的法向量,解,:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数,.,在点,P,处沿,求函数,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：,f,变化率最大的方向,模,:,f,的最大变化率之值,方向导数取最大值：,定义,即,同样可定义三元函数,称为函数,f,(,P,),在点,P,处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,向量,1.,函数,在点,处的,梯度,解,:,注意,x,y,z,具有轮换对称性,指向,B,(3,2,2),方向的方向导数是,.,在点,A,(1,0,1),处沿点,A,2.,函数,提示,:,则,第八章,第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值,定义,:,若函数,则称函数在该点取得,极大值,(,极小值,),.,例如,:,在点,(0,0),有极小值,;,在点,(0,0),有极大值,;,在点,(0,0),无极值,.,极大值和极小值,统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,的某邻域内有,说明,:,使偏导数都为,0,的点称为,驻点,.,例如,定理,1,(,必要条件,),函数,偏导数,证,:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立,.,取得极值,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点,.,有驻点,(0,0),但在该点不取极值,.,且在该点取得极值,则有,存在,故,时,具有极值,定理,2,(,充分条件,),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则,:1),当,A0,时取极小值,.,2),当,3),当,时,没有极值,.,时,不能确定,需另行讨论,.,若函数,例,1.,求函数,解,:,第一步 求驻点,.,得驻点,:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 判别,.,在点,(1,0),处,为极小值,;,解方程组,的极值,.,求二阶偏导数,在点,(,3,0),处,不是极值,;,在点,(,3,2),处,为极大值,.,在点,(1,2),处,不是极值,;,例,2.,讨论函数,及,是否取得极值,.,解,:,显然,(0,0),都是它们的驻点,在,(0,0),点邻域内的取值,因此,z,(0,0),不是极值,.,因此,为极小值,.,正,负,0,在点,(0,0),并且在,(0,0),都有,可能为,二、最值应用问题,函数,f,在闭域上连续,函数,f,在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点、,偏导不存在的点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在,且,只有一个,极值点,P,时,为极小 值,为最小 值,(,大,),(,大,),依据,例,3.,解,:,设水箱长,宽分别为,x,y,m,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为,2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省,?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点,.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省,.,例,4.,有一宽为,24cm,的长方形铁板,把它折起来做成,解,:,设折起来的边长为,x,cm,则断面面积,x,24,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大,.,为,问怎样折法才能使断面面,令,解得,:,由题意知,最大值在定义域,D,内达到,而在域,D,内只有,一个驻点,故此点即为所求,.,三、条件极值,条件极值的求法,:,方法,1,代入法,.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如,转化,例,.,要设计一个容量为,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,试问,方法,2,拉格朗日乘数法,.,如方法,1,所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,引入辅助函数,辅助函数,F,称为拉格朗日,(Lagrange),函数,.,利用拉格,极值点必满足,则,极值点满足,:,朗日函数求极值的方法称为,拉格朗日乘数法,.,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形,.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点,.,例如,求函数,下的极值,.,在条件,例,5.,要设计一个容量为,则问题为求,x,y,令,解方程组,解,:,设,x,y,z,分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小,.,z,使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,试问,得,唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的,2,倍时，所用材料最省,.,因此,当高为,例,6,：已知平面上两定点,A,(1,3),B,(4,2),试在椭圆,圆周上求一点,C,使,ABC,面积,S,最大,.,解答提示,:,设,C,点坐标为,(,x,y,),则,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知,点,C,与,E,重合时,三角形,面积最大,.,1.,求半径为,R,的圆的内接三角形中面积最大者,.,解,:,设内接三角形各边所对的圆心角为,x,y,z,则,它们所对应的三个三角形面积分别为,设拉氏函数,解方程组,得,故圆内接正三角形面积最大,最大面积为,为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件,?,提示,:,目标函数,:,约束条件,:,答案,:,即四边形内接于圆时面积最大,.,2.,求平面上以,3.,求,旋转抛物面,与平面,之间的最短距离,.,解：,设,为,抛物面,上任一点，,则,P,的,距离为,问题归结为,约束条件,:,目标函数,:,作,拉氏函数,到平面,令,解此,方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,