平面直角坐标系中的基本公式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1.2,平面直角坐标系中的基本公式,一,.,两点间的距离公式,当,AB,不平行于坐标轴时，也不在坐标轴上时，从点,A,和点,B,分别向,x,轴，,y,轴作垂线,AA,1,，,AA,2,，,BB,1,，,BB,2,，垂足分别为,A,1,(,x,1,，,0),，,A,2,(,y,1,，,0),，,B,1,(0,，,x,2,),，,B,2,(0,，,y,2,),，其中直线,BB,1,和,AA,2,相交于点,C,。,C,在直角,ACB,中，,|,AC,|=|,A,1,B,1,|=|,x,2,x,1,|,，,|,BC,|=|,A,2,B,2,|=|,y,2,y,1,|,，,由勾股定理得,|,AB,|,2,=|,AC,|,2,+|,BC,|,2,=|,x,2,x,1,|,2,+|,y,2,y,1,|,2,，,由此得到计算两点间距离的公式：,d,(,A,，,B,)=|,AB,|,C,两点间的距离公式,已知：,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,y,2,),则,AB,两点间距离的公式：,d,(,A,，,B,),当,AB,平行于,x,轴时，,d,(,A,，,B,)=|,x,2,x,1,|,；（,y,2,=y,1,）,当,AB,平行于,y,轴时，,d,(,A,，,B,)=|,y,2,y,1,|,；,(x,2,=x,1,),当,B,为原点时，,d,(,A,，,B,)=(x,2,=y,2,=0),特别地：,已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：,（,1,）给两点的坐标赋值：,(,x,1,，,y,1,),，,(,x,2,，,y,2,).,（,2,）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即,x,=,x,2,x,1,，,y,=,y,2,y,1,.,求两点距离的步骤,（,3,）计算,d,=,（,4,）给出两点的距离,d,.,通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离,.,例,1.,已知,A,(2,，,4),，,B,(,2,，,3),，求,d,(,A,，,B,),。,解：,x,1,=2,，,x,2,=,2,，,y,1,=,4,，,y,2,=3,，,x,=,x,2,x,1,=,4,，,y,=,y,2,y,1,=7,，,d,(,A,，,B,)=,例题解析,例,2,已知点,A,(1,，,2),，,B,(3,，,4),，,C,(5,，,0),求证：,ABC,是等腰三角形。,证明：因为,d,(,A,，,B,)=,d,(,A,，,C,)=,d,(,B,，,C,)=,因为,|,AC,|=|,BC,|,，且,A,，,B,，,C,不共线，,所以,ABC,是等腰三角形。,坐标法,坐标法：就是通过,建立坐标系,（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题,转化,为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法,.,用坐标法证题的,步骤,（,1,）根据题设条件，在适当位置,建立坐标系,（直线坐标系或者是直角坐标系）；,（,2,）,设出未知坐标,；,（,3,）根据题设条件推导出所需,未知点的坐标，,进而推导,结论,.,例,3,已知,ABCD,，求证,:,AC,2,+,BD,2,=2(,AB,2,+,AD,2,).,证明：取,A,为坐标原点，,AB,所在的直线为,x,轴，建立平面直角坐标系,xOy,，,依据平行四边形的性质可设,点,A,，,B,，,C,，,D,的坐标为,A,(0,，,0),，,B,(,a,，,0),，,C,(,b,，,c,),，,D,(,b,a,，,c,),，,AB,2,=,a,2,，,AD,2,=(,b,a,),2,+,c,2,，,AC,2,=,b,2,+,c,2,，,BD,2,=(,b,2,a,),2,+,c,2,，,AC,2,+,BD,2,=4,a,2,+2,b,2,+2,c,2,4,ab,=2(,2,a,2,+,b,2,+,c,2,2,ab,),，,AB,2,+,AD,2,=,2,a,2,+,b,2,+,c,2,2,ab,，,所以：,AC,2,+,BD,2,=2(,AB,2,+,AD,2,).,二,.,中点坐标公式,已知,A,(,x,1,，,y,1,),B,(,x,2,，,y,2,),两点，,M,(,x,，,y,),是,线段,AB,的,中点,，则有,x-x,1,=x,2,-x,y-y,1,=y,2,-y,（,1,）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。,（,2,）若已知点,P,(,x,，,y,),，则点,P,关于点,M,(,x,0,，,y,0,),对称的点坐标为,P,(2,x,0,x,，,2,y,0,y,).,（,3,）利用中点坐标可以求得,ABC,（,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，,C,(,x,3,，,y,3,),）的,重心,坐标为,例,4,已知,ABCD,的三个顶点,A,(,3,，,0),，,B,(2,，,2),，,C,(5,，,2),，求顶点,D,的坐标。,解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同。,设,D,点的坐标为,(,x,，,y,),，,则,解得,所以点,D,的坐标是,(0,，,4).,小结：,作业：,再见,例,5,已知点,A,(,1,，,3),，,B,(3,，,1),，点,C,在坐标轴上，,ACB,=90,，则满足条件的点,C,的个数是（）,（,A,）,1,（,B,）,2,（,C,）,3,（,D,）,4,解：若点,C,在,x,轴上，设,C,(,x,，,0),，由,ACB,=90,，,得,|,AB,|,2,=|,AC,|,2,+|,BC,|,2,，,(,1,3),2,+(3,1),2,=(,x,+1),2,+3,2,+(,x,3),2,+12,，,解得,x,=0,或,x,=2,若点,C,在,y,轴上，设,C,(0,，,y,),，由,ACB,=90,得,|,AB,|,2,=|,AC,|,2,+|,BC,|,2,，,可得,y,=0,或,y,=4,，,而其中原点,O,(0,，,0),计算了两次，,故选,C,.,例,6,ABD,和,BCE,是在直线,AC,同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：,|,AE,|=|,CE,|.,证明：如图，以,B,点为坐标原点，取,AC,所在的直线为,x,轴建立直角坐标系,.,设,ABD,和,BCE,的边长分别为,a,和,c,，,则,A,(,a,，,0),，,C,(,c,，,0),D,，,E,，,于是,|,AE,|=,|,CD,|=,所以,|,AE,|=|,CD,|.,例,7.,求函数,y,=,的最小值,.,解：函数的解析式可化为,令,A,(0,，,1),，,B,(2,，,2),，,P,(,x,，,0),，,则问题转化为在,x,轴上求一点,P,(,x,，,0),，使得,|,PA,|+|,PB,|,取最小值,.,A,(0,，,1),关于,x,轴的对称点为,A,(0,，,1),，,即函数,y=,的最小值为,练习题：,1,如果一条线段的长是,5,个单位，它的一个端点是,A,(2,，,1),，另一个端点,B,的横坐标是,1,，则端点,B,的纵坐标是（,）,（,A,）,3,（,B,）,5,（,C,）,3,或,5,（,D,）,1,或,3,C,2,设,A,(1,，,2),，在,x,轴上求一点,B,，使得,|,AB,|=5,，则,B,点的坐标是（,）,（,A,）,(2,，,0),或,(0,，,0),（,B,）,(,，,0),（,C,）,(,，,0),（,D,）,(,，,0),或,(,，,0),D,3,若,x,轴上的点,M,到原点及点,(5,，,3),的距离相等，则,M,点的坐标是（,）,（,A,）,(,2,，,0),（,B,）,(1,，,0),（,C,）,(1.5,，,0),（,D,）,(3.4,，,0),D,4,若点,M,在,y,轴上，且和点,(,4,，,1),，,(2,，,3),等距离，则,M,点的坐标是,.,5,若点,P,(,x,，,y,),到两点,M,(2,，,3),和,N,(4,，,5),的距离相等，则,x,+,y,的值等于,.,7,6,已知点,A,(,x,，,5),关于点,C,(1,，,y,),的对称点是,B,(,2,，,3),，则点,P,(,x,，,y,),到原点的距离是,。,7,已知,ABC,的两个顶点,A,(3,，,7),，,B,(,2,，,5),，若,AC,，,BC,的中点都在坐标轴上，则,C,点的坐标是,。,(2,，,7),或,(,3,，,5),8,已知,A,(1,，,2),，,B,(,3,，,b,),两点间的距离等于,4,，则,b,=,。,6,或,2,