第3章基本动态系统建模.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,控制相关专业研究生选修课程,系统建模方法,马宏军,东北大学 信息学院 控制理论与导航技术研究所,2013,年,3,月,逸夫楼,203,第,3,章 基本动态系统建模,本章介绍动态系统的,机械系统元件、电气系统元件、电气,机械变换器、动态系统的液压元件、纯液压变换器、液压机械变换器。基本动态系统建模与分析，连续系统的数学模型形式（包括微分方程、传递函数、权函数、状态空间表达式）。,3.1,基本物理元件建模,对于动态系统的分析，总是首先建立一个模型的表达式。这些模型则是有一些理想化的基本环节组成，这些环节代表了实际系统本质的物理现象。无论机械系统、电气系统或液压系统，都是有一些基本的这样的环节组成，这些环节构成了系统，本课程将系统的基本的环节理想化后，所获得的能够用数学方法表示的基本单元称作,基本物理元件,。,有时，在一个给定的实际系统中，对于某一部分或基本环节，其中一个因素与其他因素相比是占主导地位的。而在有的场合，两种或三种因素同时出现，并且很难加以区分。这个区分工作正是建模过程的一部分，利用这些基本元件的组合，建立和实际系统足够接近的模型，这是对于大型工程系统进行分析的关键。,一、机械系统基本元件,机械系统有三个最基本的机械元件：,质量,、,弹簧,和,阻尼,，这些元件代表了机械系统各组成部分的本质。根据机械系统的运动方式（直线、旋转运动）机械系统的基本元件各有不同的物理特性。,基本方程,（代数方程和微分方程）描述了各种物理系统建模中的理想元件。基本方程描述了理想元件的运动作用特性和能量特性。,1,、作直线运动的机械系统元件,（,1,）作直线运动的纯质量基本方程及其图示法,m,F,纯质量的符号及表示法,质量所储存的能量直接取决于通过质量的运动速度。,（,2,）作直线运动的纯弹簧基本方程,及其图示法,纯弹簧表示法,弹簧所储存的能量直接取决于通过弹簧的力或变形。,（,3,）直线运动的纯阻尼,基本方程及其图示法,纯阻尼的符号及表示法,物体的运动常常受到来自各方面的阻力作用，如液体、空气的粘性阻尼，或物体相对运动表面的干摩擦。在机械系统中，由于粘性等原因产生的摩擦力正比于物体的相对速度，这种摩擦力叫做粘性或线性摩擦。,阻尼,所消耗的能量能取决于通过阻尼的力或运动速度。,2,、作旋转运动的机械系统元件,纯转动质量表示法,机械系统中相当一部分运动是围绕固定轴或无加速度轴的旋转运动，这些作旋转运动机械元件是,旋转质量或惯量,、,扭簧或旋转弹簧,以及,扭转式旋转阻尼,。与直线运动相比较，所不同的只是旋转运动绕轴转动，而直线运动是沿轴向运动，同时作用的是力矩而不是力。,（,1,）纯转动质量或惯量,基本方程及其图示法,（,2,）作旋转运动的纯弹簧,基本方程及其图示法,（,3,）纯旋转阻尼,基本方程及其图示法,纯扭转弹簧表示法,纯扭转阻尼表示法,例,3.1,试验确定转动惯量,实验过程：把一刚体安装在无摩擦的轴系中，该转轴就是要确定刚体转动惯量的转轴。接着，刚体轴与弹性系数（,k,）,已知的扭转弹簧连接（如图）。使弹簧做微小的扭转后释放，由此产生的简谐运动的周期就可以测量。由于该系统的运动方程为,图,实验确定转动惯量装置,二、纯电气系统元件,与机械系统一样，描述电气系统，通常用类似的一组理想元件来代表电气元件，但仍保持要求的准确性。这些元件是：,电容,（,把能量存储在电场内,），,电感,（,把能量存储在磁场内,），,电阻,（,消耗能量,）。,1,、理想电容,基本方程及其图示法,理想电容,表示法,理想电感,表示法,2,、理想电感,基本方程及其图示法,理想电阻,表示法,3,、理想电阻,基本方程及其图示法,3.2,理想系统元件的相似性及广义化,观测到不同系统类型之间的很多相似点（数学关系）是惊人的，更有趣的是这些系统有着共同的行为模式和变量。,例如理想质量和理想电容的基本方程：,我们将两个理想元件的这种关系叫做,相似性,。对于相似的理想元件，只要将变量比较，就可以得出其相似性，在分析变量时将基本变量分为,通过变量,和,跨越变量,。,一、通过变量和跨越变量,变量是用来度量系统随时间的变化的量。,1,通过变量,f,：,在元件两端具有相同的数值。如力、力矩、电流、包括以后介绍的流体流量、热通量，测量时必须截断装置。,2,跨越变量,e,：,用元件两端差值或相互关系来表示。如速度、电压、压差、温度等，测量时必须跨接在元件的两端进行。,对于已经介绍的三种系统，功和能从一个元件通过连接点传递给另一元件，元件间以功率的形式传递能量，我们发现，,功率都是通过变量和跨越变量的乘积,。,在讨论基本元件时，我们已经把理想元件分成,储能元件和耗能元件,两类。其中的质量、转动惯量和电容通过它的跨越变量存储能量，我们叫它为,A,型储能元件,；弹簧及电感靠通过变量来储能，我们叫它为,B,型储能元件,；阻尼及电阻消耗能量，我们叫它为,D,型元件,。,我们也讨论了能量变换器，它们的输入功率和输出功率相等。对于这种装置，输入的通过变量和跨越变量的乘积等于输出的通过变量和跨越变量的乘积。,二、功和能,三、广义化的元件方程,A,型储能元件,B,型储能元件,D,型元件,通过变量为,f,，,跨越变量为,e,。,3.3,动态系统的流体元件,在工程领域中，液压系统是指采用液体的流体系统，流体系统的数学模型一般是非线性的。然而，如果假设非线性系统在正常工作点附近工作，那么该系统在工作点附近可以认为是线性的，数学模型可以线性化。在许多工程中包含流体系统。如电站和能量转换系统（水电、热电站、内燃机、喷气发动机等）以及控制系统（自动车床、化工生产、自动装置、飞机、导弹及船舶等）。,在讨论中，将直接模拟电器和机械系统元件。流体系统的元件通常由管道连接起来组成网络。液体的流量与电流相似，压力（压强）与电流相似，工作介质为液体。,一、压力和流量,1,、,压力,指的是两点压差，对管来说往往只谈一点压力而没有明显地表示出参考点。实际情况参考点往往取大气压等形式。,压力,(,在物理学中称为,压强,),定义为作用与单位面积上的正压力,如下图所示，以,p,表示压力，有：,则在垂直于管中心线的管截面上的轴向力,F,n,为整个面积上的积分。,假如压力在这个面积,A,上处处相等，则：,流体通过,A,的体积为：,因而：,可见，,压力,p,如同电势，它是移动单位体积流体所作的功,。,在讨论流体受力时，其压力,p,时有参考点的（通常定为环境大气压），所以,压力是一个跨越变量,。,p,如果是变化的，则压力,p,可定义为该截面上的平均压强。当流体沿,F,n,或,p,方向通过面积,A,，,并使流体移动一段距离,dx,，,则力,F,n,所作的功为：,、,流量,（,Q,）,是单位时间通过给定面积的流体量（）。对于管路，这个面积是指管道的垂直面积。,即：,其中，,V,指流体体积，,L,指管长，,v,指流体流动的平均速度。可见，流量,Q,与,电流,i,相似。,通常我们假定流体是不可压缩的，管道是刚性的，则对于一个管道，进入一端管截面的流量必等于流出另一端管截面的流量。可见，,流量是一个通过变量,，测量时必须断开管道才能直接得到。,其跨越变量：,其通过变量：,液压元件表示法,3,、功率及能量,二、纯流体系统元件,这些元件是：,液容,、,液感,和,液阻,。,1,、,纯液容,是与电气系统的电容和机械系统的质量具有十分相似的一种元件，它是以液势能的形式储存能量的一种元件，在实际系统中这样的元件有很多，最有代表性的是,“,油箱,”,。,“,油箱,”,，这里介绍的油箱最简单的例子是开式油箱，在垂直力场的作用下，由箱体底部通过油管供油。,H,当有流动时，液体被压入系统，则有：,如果不考虑液体阻尼及加速度的影响，则液体底部压差正好支持液体重量，即：,开式油箱,纯液容表示法,定义油箱液容为,假如液体不可压缩，无摩擦。,在管路中，管道的任何截面上的流量是一样的。如果管道粗细均匀，速度沿截面分布均匀，我们可以说所有流体质点具有相同的速度和加速度。,2,、纯液感,和电感有着相似特性的流体元件为液感，当有外力加速管道火通道中的流体时，便产生液感。,实际管道是存在摩擦力的，只有流体加速度很大时，液感才起主导作用，而对于大管径管道中液阻急剧降低时液感起较大作用。,液感表示法,3,、纯液阻,在液压系统中有四种常见的液阻。,（,1,）不可压缩流体通过多孔芯,：如图所示。,该情况与电阻的欧姆定律相似，达西定律有,:,（,2,）,不可压缩流体通过长毛细管,：如图所示。,应用哈根,泊松定律有,:,（,3,）不可压缩流体通过长管,如果通过管道的流速很大，雷诺数,R,e,大于,2000,，这时，层流毛细管方程,当雷诺数,R,e,大于,5000,时，流动为紊流，便有如下近似方程：,式中,a,t,为一常数，取决于变为紊流时的流量，管道尺寸、液体的性质（,、,）,及管道内壁的粗糙度。,（,4,）,不可压缩流体通过节流孔,，,如图所示。,雷诺数,:Reynolds number,雷诺根据实验结果指出，水流流动型态由下列因素决定：,（,1,）流速。流速小时容易出现层流，流速大时则发生紊流；,（,2,）管道直径。在其他条件不变的情况下，管道直径小易发生层流，直径,大易发生紊流；,（,3,）粘滞性。粘滞性大的水体易发生层流，粘滞性小的水体易发生紊流，,雷诺把这几个因素综合在一起，得出：,Re=,vd/r,式中,Re,为雷诺数，,d,为管道直径，,v,为管道中平均流速，,r,为液体运动粘滞系数,。,（,4,）,一个表征流体惯性力与粘性力之比的无量纲量,3.4,变换器,一、机械变换器,以上讨论了两种形式的机械系统元件，一种积聚能量，另一种消耗能量。而机械变换器作为第三种形式的机械系统元件，既不储能，也不耗能，而是转换能量。,在机械系统中，许多机械装置可以近似地用理想变换器表示。如带及链传动、凸轮系统、间歇运动装置及连杆机构等。,使用这些装置的作用无非有以下几个方面：,改变转速速比（增速或减速）“传递运动”，,将均匀的运动变成不均匀的运动，,改变力矩，,改变运动形式等。,机械换能器很多，下面举例介绍齿轮齿条机构，假设齿轮齿条啮合准确，都是刚体，则：齿条移动距离应当等于齿轮节园转过的弧长。即：,齿轮齿条传动,二、,电气变换器（,纯变压器）,一个理想变压器不存储也不消耗能量。输出电压和输入电压呈线性关系，如图所示变压器，满足电压比,如果铁心磁导率很大，无电容影响，无能耗，则输入和输出两端的功率相等，即：,则,：,可见该元件与机械旋转变换器原理相近。,理想变压器,三、流体变换器,纯流体变换器的净功率为零。假设活塞,a,、,b,与腔壁间无漏损，并忽视其间的摩擦力，两活塞刚性连接，活塞间的,腔室是开式的。图中：,四、换能器,换能器是把一种形式的能量或功率转换为另一种形式的能量或功率的变换器。一个纯换能器完成这个功能时没有能量的损失或积聚。即不消耗能量、不储存能量。,一些具有换能器特征的系统有：发电机、电动机、透平机、液压泵、热电偶、压电材料等。,对于复杂系统，机,电、机,液、,电,机、液,机、热,电,等子系统间的能量转化均采用换能器进行能量或功率的转换。,各子系统间的变量偶合也是通过换能器进行转换。,由于换能器种类繁多，以下简要介绍电气,机械换能器的典型实例,电动机。,换能器实例,电动机,电动机就是一种电气,机械变换器，如图所示，这个装置把电流转换成力矩，把电压转换成转速，也可以相反。电动机转子由,N,匝的线圈绕在铁心轴上，电动机定子由磁极组成，中间有一定的气隙，产生一个磁感应强度为,B,的径向磁场。,由于电流和磁场的相互作用，产生一个力矩,T,b,其中：,B,：,磁感应强度；,2,NL,：,导体在磁场中的总长度；,r,c,：,线圈半径,令,n,称为变换比或电气,机械耦合常数。由法拉第定律：,如果不考虑其功率损耗，则：,电动机转子和定子,3.5,基本动态系统分析,一、两个理想元件的连接,为了能够对复杂系统进行数学建模，本节介绍简单系统分析法建模的基本知识及简单系统的动态特性分析。为了掌握其分析建模规律，首先要正确分析系统的连接。,这里讨论最简单的两个元件组成的动态系统，以引出一些基本概念和解决问题的思路。,电阻和电容的并联和串联,电阻和电容有两种接法：一种是共电压（并联），另一种是供电流（串联），如下图所示。,质量和阻尼的连接有如下图所示的并联（两个元件具有相同的速度）和串联（两个元件具有相同的力）。,质量和阻尼的连接,并联,串联,在分析机械系统的连接时需要注意的是质量的一端参考点（地，或无加速度点），质量和地之间不存在实际连接，所以没有力从质量传递到地，实际的力传递是通过惯性力作用于地或其它参考系上。,二、动态系统的主导关系,系统分析时，利用简单的理想化系统元件，它们的方程式已知的，当这些元件互相连接时，要满足两个重要的条件，这两个条件叫做,相容性,和,连续性,。,因此，在系统分析时，要用到以下的几个条件：,（,1,）描述元件特性的元件方程,；,（,2,）跨越变量的相容性条件,；,（,3,）通过变量的连续性条件,。,跨越变量的相容性,：要求多个元件串联时，在连接点处的跨越变量相等，多个元件串联时的端点的跨越变量等于每个元件两端的跨越变量的总和。在机械系统中，相容性的概念是限制运动的几何约束；在电路中，要求封闭回路各元件压降之和为零（基尔霍夫电压定律）。,通过变量的连续性,：表示在一个多元件系统中，通过变量的守恒。例如在一个电路或一个机械网络中的电流或力是守恒的，相当于基尔霍夫电流定律。,对于一个系统，当系统已经剖析到理想元件程度并且网络结构确定时，在考虑到相容性和连续性要求时，利用元件的基本关系（基本方程）就可以建立动态系统的,微分方程,。,三、建立系统微分方程,对于如图所示的系统，系统输入为电流,i,，,输出为元件电压。,RC,并联电路,1,、运用,动态系统的主导关系,建立系统微分方程,2,、,运用能量法获得系统方程,电容储能为：功率为：,电阻功率为：,系统输入功率为：,又能量守恒定律：,得：,即得：,3,、多个元件的动态系统,由于系统元件越多，微分方程将越复杂，可能出现多阶微分方程。,如果系统中只有一个储能元件，则系统仍然是一阶的。如下图所示的系统，系统只有一个储能元件。列出方程：,将,以上各式联立可得输入,F,与输出,v,的输出方程为,1,2,0,如果系统中出现两个不同类储能元件，则方程就是二阶的，即最高阶导数为二阶。,如下图所示的电路，输入为,e,，,输出为,V,，,对该系统可列出方程：,将,以上各式联立可得,四、基本动态系统分析,1,、初始条件,动态系统微分方程求解伴随着大量的积分运算，进行积分运算必须确认初始条件。,这样，必须总结一下系统元件的初始条件情况，对突然变化时的元件特性作一总结：,（,1,）惯性元件如质量、惯量、电容和液容等，其跨越变量不可能产生突变，除非受到无穷大的通过变量作用。,（,2,）感性元件如弹簧、电感和液感等，其通过变量不可能产生突变，除非加上一个无穷大的跨越变量。,（,3,）耗能元件的通过变量和跨越变量能否产生突变不确定，需要考虑该元件在回路的相邻元件特性。,2,、系统分析,（,1,）一阶线性系统阶越响应,（,RC,并联回路阶跃响应）,右图为输出,V,的时间响应。,0,（,2,）,二阶系统正弦激励响应,由常微分方程理论知道，方程的解,x,由相应的齐次方程的通解,x,h,和非齐次方程的任意特解,x,p,两部分组成，即：,式中,x,h,为,有阻尼的自由振动，它的特点是振动频率为无阻尼固有频率，式中,x,p,是一种持续的等幅振动，它是由于简谐激振力的持续作用而产生的，称为稳态受迫振动。,弹簧、质量、阻尼单自由度系统，质量块上作用有简谐激振力,P,(,t,),=P,0,Sint,，,质量为,m,，,弹簧的弹性系数为,K,，,粘性阻尼器的阻尼系数为,C,，,分析其动力学特性。,从力的平衡可以得到系统的运动微分方程为：,其,稳态振动的解为：,幅频特性可以通过振幅放大率,和频率比,来,分析,幅频响应曲线,相频响应曲线,对于单自由度系统，激励频率越高，系统响应的振幅放大倍数越小。,控制系统调试中将系统工作频率区域尽快穿越系统固有频率，达到系统更稳定的工作频率区域。,=1,时，无相位差；,1,时，振动位移与激励相位相反。,3.6,连续系统的数学模型形式,连续系统广泛存在于航空、航天、动力、控制、化工等领域中。描述连续系统的连续时间数学模型主要有,微分方程,、,传递函数,、,权函数,、,状态空间表达式等形式,。,连续时间模型：假定一个系统的输入量,u,(,t,),、,输出量,y,(,t,),及内部状态变量,x,(,t,),都是时间,t,的连续函数，常用如下四种模型形式。,一、微分方程,二、传递函数,线性常微分方程系统的传递函数定义为：在,全部初始状态为零,的假设下，输出量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（驱动函数）的拉普拉斯变换之比。,考虑上述微分方程描述的线性定常系统，在全部初始状态为零时，输出量与输入量的拉普拉斯变换之比，就是这个系统的传递函数：,利用传递函数的概念，可以用以,s,为变量的代数方程表示系统的动态特性。如果传递函数的分母中,s,的最高阶次为,n,，,则该系统为,n,阶系统。,例,3.2,机械系统传递函数,下面研究图所示的卫星姿态控制系统，该图仅表示了偏航角,的,控制（在实际系统中，存在围绕三个轴的控制）。小型喷气发动机施加反作用力，将卫星体转动到要求的姿态。两个斜对称配置的喷气发动机用,A,和,B,来表示，它们成对地工作。假设每一个喷气发动机的推力为,F,/2,，,并且作用到系统上的力矩为,T,=,Fl,。,喷气发动机在一定的持续时间内产生作用，所以力矩可以写成,T(t),。,在质量中心，围绕转动轴的转动惯量为,J,。,卫星姿态控制原理图,假设力矩,T,(,t,),为输入量，卫星姿态角位移,(,t,),为,输出量，下面求系统的传递函数。,为了导出传递函数，执行下列步骤,1,、写出系统微分方程。,2,、假设全部初始条件为零，对微,分方程进行拉普拉斯变换。,3,、求输出与输入量拉氏变换的比，,该比值就是传递函数。,对,该系统应用牛顿第二定律，注意到卫星周围不存在摩擦，有,对,上述方程两端进行拉氏变换，并假设全部初始条件为零，得：,系统的传递函数为：,例,3.3,液压伺服马达,为了推导如图所示液压伺服马达的数学模型，我们假设液压流体不可压缩，活塞的惯性力及其受载相对其液压力可以忽略不计，导阀为无重叠阀，液压油流量与导阀的位移成正比。,液压伺服马达工作如下：导阀右移,x,作为输入，口,1,打开，高压油进入活塞右侧。由于口,2,与排泄口相连，活塞左侧的液压油从排泄口流回。流入液压缸的油处于高压，流出液压缸到排泄口的油处于低压，活塞两侧所产生的压力差使得活塞向左移动。,液压伺服马达,注意到流体流量,Q,1,与时间,d,t,(,s,),的乘积等于活塞位移,d,y,的乘积，即,给定流量,Q,1,与导阀的位移,x,成正比，比例常数为,K,1,，,即,得到,对上式做拉普拉斯变换，并设初始条件为,0,，得,或,式中,K,=,K,1,/,A,。,所以，上图的液压马达为积分控制器。,例,3.4,缓冲器,如右图所示缓冲器（又称减振器），推导位移,y,和位移,x,之间的传递函数。,缓冲器,设活塞右侧和左侧的油压分别为,P,1,和,P,2,，,忽略惯性力，那么作用在活塞上的力必须和弹簧力平衡。所以有,式中：,A,活塞面积；,k,弹簧弹性系数。,通过节流装置的流量为,式中：,R,节流装置处的液阻。,由于流量守恒，且在,d,t,时间内,x,和,y,位移为,d,x,和,d,y,，,有,变化为,或,通过拉氏变换，得到,定义时间常数,三、脉冲响应函数,考虑当初始条件为零时，系统在单位脉冲输入量作用下的输出（响应）。因为单位脉冲函数的拉氏变换为,1,，所以系统输出量的拉氏变换为：,对,上述方程给出的输出量进行拉氏反变换，可以得到系统的脉冲响应。,G,(,s,),的拉氏反变换，即,称为脉冲响应函数，函数,g,(,t,),称为系统的,权函数,。,因此，脉冲响应函数,g,(,t,),是当,初始条件为零时，线性系统对单位脉冲输入的响应，该函数的拉氏变换就是传递函数。所以，线性,定常系统的传递函数和脉冲响应函数包含关于系统动态特性的相同信息。于是，通过用脉冲输入信号激励系统并测量系统的响应，能够获有关系统动态特性的全部信息。,四、状态空间模型,工程系统正朝着更加复杂的方向发展，这主要是由于复杂的任务和高精度的要求所引起的。复杂系统可能具有多输入量和多输出量，并且可能是时变的。由于需要满足控制系统性能提出的日益严格的要求，系统的复杂程度越来越大，并且要求能够方便地用大型计算机对系统进行处理。一种对复杂系统进行分析和设计的新方法，即现代控制理论，大约从,1960,年开始发展起来。这种新方法就是建立在,状态,概念之上的。,现代控制理论和传统控制理论形成鲜明的对照，前者适用于多输入、多输出系统，系统可以是线性的或非线性的，也可以是定常的或时变的；后者则仅仅适用于线性、定常、单输入、单输出系统。此外，现代控制理论本质上是一种时域方法，而传统控制理论则是一种复频域方法。,1,、状态,动态系统的,状态,是系统的最小一组变量组,（称为状态变量），只要知道了在,t=t,0,时的一组变量和 时的输入量，就能够完全确定系统在任何时间 时的行为。,应当指出，状态这个概念决不限于在物理系统中的应用。它还适用于生物学系统、经济学系统、社会学系统和其他一些系统。,2,、状态变量,动态系统的,状态变量,是确定动态系统状态的最小一组变量,。如果至少需要,n,个变量 才能完全描述动态系统的行为，则这,n,个变量就是一组状态变量。,状态变量未必是物理上可测量的或可观察的量,。某些不代表物理量的变量，它们既不能测量，又不能观察，但是就实用观点而言，如果有可能，选择容易测量的量作为状态变量毕竟比较方便，因为最佳控制律需要反馈所有具有加权的状态变量。,3,、状态向量,如果完全描述一个定系统的行为需要,n,个状态变量，那么这,n,个,状态变量可以看作是向量,x,的,n,个分量，该向量就称为状态向量。,状态向量,是这样一种向量，,一旦,t=t,0,时的状态给定，并且给出 时的输入量,u,(t),，,则任意时间 时的系统状态,x,(t),便,可以唯一地确定。,4,、状态空间,设 为状态向量，那么由,x,1,轴，,x,2,轴，,x,n,轴，所组成的,n,维空间称为状态空间,。任何状态都可以用状态空间的一点来表示。,5,、状态空间方程,状态空间方程由状态方程和输出方程构成，其矩阵形式为,