讲2梯度散度.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4,矢量场的通量与散度,1.,矢量线,矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。,矢量线,O,M,单位面积上的电力线条数等于该点场的大小,.,面元矢量（面元有法向且有正侧和负侧）,2.,矢量场的通量,每秒钟穿过面元,dS,的流体的体积,每秒钟穿过面元,dS,的流体的体积,穿过面元矢量 的通量,通量为正：场从,dS,的下面指向上面；,通量为负：场从,dS,的上面指向下面,。,沿着法线方向穿过面元的力线条数。,穿出,闭合,曲面,S,的通量,面元在闭合曲面上,:,面元的法向矢量由闭合曲,面,内,指向,外,;,面元在开曲面上,(,由有向闭合曲线,C,围成的,),：,面元的法向矢量与,C,成,右手螺旋法则,。,穿过曲面,S,的通量,闭合面的通量代表穿出曲面的力线的条数，反映了场在闭合面内的发散情况，也反映了产生场的发散源的强度。,穿过面元矢量 的通量,沿着法线方向穿过面元的力线条数。,穿出,闭合曲面,S,的通量,面元在闭合曲面上,:,面元的法向矢量由闭合曲,面,内,指向,外,;,面元在开曲面上,(,由有向闭合曲线,C,围成的,),：,面元的法向矢量与,C,成,右手螺旋法则,。,面元的法向矢量：,穿过曲面,S,的通量,对于流速场，通量代表每秒钟流出闭合曲面的流体的体积。对于电磁场，通量代表穿出闭合曲面的力线的条数。,电场是发散场，电荷是电场的发散源。正电荷为正,通量源,，负电荷为负,通量源,。,磁场是非发散场，没有发散源。,+,-,有净的矢量线从内向外穿出,S,（,发散场）,；,S,内有发出矢量线的正通量源。正电荷是电场的正通量源。,有净的矢量线从外向内穿入,S,（,汇聚场）,S,内有汇聚矢量线的负通量源。负电荷是电场的负通量源。,进入与穿出闭合曲面的矢量线相等,S,内源的代数和为,0.,不能判断场是否发散，除非,S,是任意曲面。,矢量场穿出,闭合面,S,的通量大小反映了场在,S,内的发散情况，也反映了,S,内通量源的大小。,例,1,：已知空间电场分布为 ，求电场强,度穿过以坐标原点为球心半径为,a,的闭合球面的通量。,O,x,y,z,通量密度（散度）,：单位体积内散发出来的矢量的通量。,3.,矢量场的散度,散度描述了通量源的密度。,P,点的散度,0,，,P,点的场发散，,P,点有发散源；,P,点的散度,0,，,P,点的场汇聚，,P,点有汇聚源；,P,点的散度为,0,，,P,点没有发散源；,空间任意点散度,0,，场非发散，无发散源；,直角坐标系下散度的计算公式：,直角坐标系下散度表达式的推导,穿出立方体的前侧面的净通量值为,做一无限小立方体包围,P,（,x,0,y,0,z,0,),点,o,x,y,在直角坐标系中计算,z,z,D,x,D,y,D,P,穿出后侧面的净通量值为,穿出前、后两侧面的净通量值为,穿出前、后两侧面的净通量值为,o,x,y,在直角坐标系中计算,z,z,D,x,D,y,D,P,穿出左、右两侧面的净通量值为,穿出上、下两侧面的净通量值为,穿出包围立方体的闭合面的通量,直角坐标系中的散度为,F,x,沿,x,方向的变化率，场沿,x,方向发散，产生穿出垂直于,x,轴方向的面积的通量,o,x,y,在直角坐标系中计算,z,z,D,x,D,y,D,P,单位体积内沿,x,方向发散源，,x,方向发散源的强度。,单位体积内沿,y,方向发散源，,y,方向发散源的,强,度。,单位体积内沿,z,方向发散源，,z,方向发散源的,强,度。,电荷密度表征了产生电位移矢量的发散源的强度。,磁场是非发散场，没有发散源。,圆柱坐标系,球坐标系,4.,散度定理,体积的剖分,V,S,i,S,i+1,S,矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分。,散度定理的应用,任意,S,V,成立,任意,S,V,成立,例,1,求空间任一点,P,（,x,y,z,）的位置矢量 的散度。,例,1.4.2,已知 ，,求：的,散度（）。,例,2.4.1(V4),半径为,a,的球形区域内充满介电常数为的电介质,，球外为真空,。若已知电场分布如下，求空间电荷体密度（,A,、,a,为常数）。,解：,0,为什么要定义通量？,有散场，例如静电场,无散场，例如恒磁场,通量的大小，由发散场的强度决定，由发散源的强度决定。,比如静电场的通量由,S,内的电荷分布决定。,通量描述,S,内产生发散场的,发散源,的总量。,从通量判断发散场，发散源，确定源与场的关系,