工程力学--弯曲变形与内力.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 直梁的弯曲,1,拉压杆：承受轴向拉、压力,轴 ：承受扭矩,梁：承受横向力,墙,楼板,桥板,4-1,平面弯曲的概念 梁的类型,2,起重机大梁,目录,P,3,镗刀杆,目录,P,4,火车轮轴,目录,5,火车轮轴简化,6,P,P,弯曲特点：,以弯曲变形为主的杆件通常称为,梁,。,受力特点：受到垂直于杆件轴线的外力（即横向力）或,力偶的作用,变形特点：杆件的轴线由原来的直线变成曲线,7,常见梁截面,8,具有纵向对称面,外力都作用在此面内,弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线,平面弯曲,9,梁载荷的分类,q,q(x),均匀分布载荷,线性（非均匀）分布载荷,P,集中,力,T,T,集中力偶,T,分布载荷,载荷集度,q(N/m),注意还有支座反力,10,M,A,固定支座,（,fixed support),X,A,Y,A,A,滚动铰支座,(,roller support),Y,A,A,固定铰支座,(,pin support),Y,A,X,A,支座种类,支座反力,A,11,B,简支梁,A,P,2,P,1,Y,B,Y,A,X,A,梁的类型,悬臂梁,A,B,P,1,P,2,M,A,Y,A,X,A,P,1,P,2,外伸梁,A,B,C,Y,A,Y,B,X,A,12,简支梁,外伸梁,悬壁梁,13,P,m,n,x,l,力矩平衡：,M+P(l-x)=0,剪力：,Q=P,弯矩：,M=-P(l-x),剪力、弯矩正负号的含义,力平衡：,Q-P=0,P,Q,M,（按左半边梁，能算出,Q、M,吗？）,Q,M,4-2,梁弯曲时的内力,14,弯矩的符号约定,上压下拉为正,+,M,M,上拉下压为负,-,M,M,注意,:,当梁的跨度,(,两支点间的距离,),较大时，剪力相比于弯矩较小，在工程上可不考虑剪力的作用，只考虑弯矩。,15,求弯矩的规则,：梁的任一截面上的弯矩的大小等于截面之左（或右）所有外力（包括力偶）对该截面形心之矩的代数和。,16,4-3,弯矩图,梁横截面上的弯矩，一般随横截面的位置而变化，以坐标,x,表示横截面位置，则弯矩可表示为,x,的函数：,M=M,（,x,）,称为梁的弯矩方程,为了形象地表示梁各个横截面上弯矩的大小与正负，将弯矩方程用图表示，称为弯矩图。,一、弯矩图的作法：先求得梁的支座反力，列出弯矩方程，然后选择适当的比例，以,x,为横坐标，弯矩为纵坐标，按方程作图。正的弯矩画在,x,的上方，负弯矩画在下方。,17,P,m,n,x,l,弯矩方程：,（-）,弯矩图,P,Q,M,例,1,、图示一受集中力作用的悬臂梁，画该梁弯矩图。,18,弯矩图,（-）,Q,M,q,m,n,x,l,例,2,、图示一受均布载荷的悬臂梁，画该梁弯矩图。,19,B,A,l,F,AY,F,BY,例,3,、图示简支梁,C,点受集中力作用。,试写出,弯矩方程，并,画出弯矩,图。,解,：,1,确定约束力,F,Ay,Fb/l,F,By,Fa/l,2.,写出弯矩方程,x,2,M,x,x,1,AC,CB,3.,依方程画出弯矩图,C,F,a,b,20,B,A,l,F,AY,q,F,BY,例,4,、简支梁受均布载荷作用试写出弯矩方程，并画出弯矩图。,解,：,1,确定约束力,F,Ay,F,By,ql,/2,2,写出弯矩方程,y,x,C,x,3.,依方程画出剪力图和弯矩图,M,x,21,B,A,l,F,AY,F,BY,例,5,、图示简支梁,C,点受集中力偶作用。,试写出弯矩方程，并画出弯矩图。,解,：,1,确定约束力,F,Ay,M/l,F,By,-M/l,2,写出弯矩方程,x,2,x,1,AC,CB,3.,依方程画出弯矩图,C,M,a,b,22,规律：,在梁上没有分布载荷的地方，弯矩图为一直线，且一般为一倾斜直线。,(2),在有均布载荷的一段梁内，弯矩图为一抛物线。,(3),在集中力作用处，弯矩图在此为一折角。,(4),在集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变之值即为该处集中力偶之力偶矩。,23,解,：,（,1,）,求支坐反力,取全梁为研究对象，由平衡方程,例,6,、一外伸梁受,均布载荷,和,集中力偶,作用，如图。试作此梁的弯矩图,24,(2),画弯矩图,(i),分段，初步确定弯矩图形状,仍将全梁分为,CA,、,AD,、,DB,三段。,CA,段有向下的均布载荷，弯矩图为凸形的抛物线；,AD,、,DB,两段则为傾斜直线；在,A,处因有集中力，弯矩图有一折角；在,D,处弯矩有突变，突变之值即为该处集中力偶之力偶矩。,(ii),求特殊截面上的弯矩,为画出各段梁弯矩图，需求以下各横截面上弯矩：,25,(iii),作图,在,CA,段内再适当算出几个弯矩值，标于坐标上，并与,M,C,M,A,的坐标相连，画出抛物线；再以直线,M,A,M,D,左,和,M,D,右,，,M,B,的坐标，可得全梁的弯矩图图,c,所示。由图可见，在,D,稍右处横截面上有绝对值最大的弯矩，其值为,26,叠加原理：,=,+,二、弯矩图的叠加作图法,27,叠加原理：,几个载荷共同作用的,效果,，等于各个载荷单独效果,之和,。,叠加原理成立的前提条件：,（1）小变形；,（2）材料满足虎克定理。,“,效果,”,指载荷引起的反力、内力、应力或变形。,“,之和,”代数和。,28,回顾与比较,内力,应力,F,Ay,Q,M,N,T,29,纯弯曲,梁段,CD,上，只有弯矩，没有剪力,纯弯曲,梁段,AC,和,BD,上，既有弯矩，又有剪力,横力弯曲,4,-,4,纯弯曲时梁横截面上的正应力,30,一、实验观察和假设推论,研究对象：等截面直梁,研究方法：实验观察假,设,梁段,CD,上，只有弯矩，没有剪力,纯弯曲,31,实验现象,:,1,、横线仍是直线，但发生相对转动，仍与纵线正交；,2,、纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，上侧缩短；,3,、横截面的高度不变，宽度在上部略为增大，下部 略为缩小。,32,假设：,1,、平面假设：,横截面变形后保持为平面，只是绕截面内,某一轴线,偏转了一个角度。,2,、互不挤压假设：,所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，相互之间没有挤压。,推论：,1,、纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形，而非剪切变形，梁横截面宽度的改变是纵向纤维的横向变形引起的；,2,、横截面上只有正应力，而无剪应力；凹侧纤维缩短，凸侧纤维伸长。因此凹侧受压缩，存在压缩应力；凸侧受拉伸，存在拉伸应力；,3,、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中性层与横截面的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应力为零，梁横截面的偏转就是绕其,中性轴,旋转的。,33,二、弯曲正应力公式的推导,1,、几何关系,34,dx,1,、几何关系,35,z,y,2,、物理关系,胡克定理,纯弯曲时梁横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴,同一高度上,各点的,正应力,相等。,36,3,、静力学关系,轴惯性矩,37,正应力公式,变形几何关系,物理关系,静力学关系,为梁弯曲变形后的曲率,为曲率半径,38,4,、横截面上的弯曲正应力,抗弯截面模量,39,三、弯曲正应力公式的适用范围,1,、纯弯曲梁。一般梁由于剪力的存在，梁的横截面将发生翘曲，同时横向力将使梁的纵向纤维间产生局部挤压应力。,弹性力学精确分析表明，当跨度,l,与横截面高度,h,之比,l/h,5,（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。,2,、具有纵向对称面的各种截面形状的梁，但注意中性轴不是横截面的对称轴时，上下表面的抗弯截面模量不同。,3,、弹性变形阶段。,40,常见截面的,I,Z,和,W,Z,矩形截面,4,-,5,常用截面的轴惯性矩和抗弯截面模量,空心圆截面,圆截面,41,弯曲正应力强度条件,1.等截面直梁，弯矩最大的截面上下边缘,4.,脆性材料,抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑,4,-,6,弯曲正应力的强度条件,2.,变截面梁要综合考虑 与,3.,如横截面不对称于中性轴时，上下表面抗弯截面模量不同,42,F,AY,F,BY,B,A,l=,3,m,q=,60kN/m,x,C,1,m,M,x,30,z,y,180,120,K,1.,C,截面上,K,点正应力,2.,C,截面上,最大,正应力,3.,全梁,上,最大,正应力,4.,已知,E,=200GPa,，,C,截面的曲率半径,1.,求支反力,（压应力）,解：,例题,6-1,43,B,A,l=,3,m,F,AY,q=,60kN/m,F,BY,x,C,1,m,M,x,30,z,y,180,120,K,2.,C,截面最大正应力,C,截面弯矩,C,截面惯性矩,44,B,A,l=,3,m,F,AY,q=60kN/m,F,BY,x,C,1,m,M,x,30,z,y,180,120,K,3.,全梁最大正应力,最大弯矩：,截面惯性矩：,45,B,A,l=,3,m,F,AY,q=60kN/m,F,BY,x,C,1,m,M,x,30,z,y,180,120,K,4.,C,截面曲率半径,C,截面弯矩：,C,截面惯性矩：,46,分析（,1,）,（2）弯矩 最大的截面,（3）抗弯截面系数 最,小的截面,图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知：,材料的许用应力,？,例题,6-2,47,48,（3）,B,截面，,C,截面需校核,（4）强度校核,B,截面：,C,截面：,（5）结论：强度满足要求,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,F,a,F,b,解：,49,分析,（1）确定危险截面,（3）计算,（4）计算 ，选择工,字钢型号,某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重,材料的许用应力,起重量,跨度,试选择工字钢的型号。,（2）,例题,6-3,50,（4）选择工字钢型号,（5）讨论,（3）根据,计算,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,解：,36c,工字钢,51,作弯矩图，寻找需要校核的截面,要同时满足,分析：,非对称截面，上下表面,抗弯截面模量,不同,“T,型”截面铸铁梁，截面尺寸如图示。,试校核梁的强度。,例题,6-4,y,z,52,52,（,2,）,B,截面校核,解：（,1,）作弯矩图,53,（,3,）,C,截面要不要校核？,54,4,-,7,提高梁强度的主要措施,1.,降低,M,max,：,合理安排支座,合理布置载荷,6-7,55,合理布置支座,F,F,F,56,合理布置支座,57,合理布置载荷,F,58,2.,增大,W,Z,：,合理设计截面,合理放置截面,6-7,59,合理设计截面,60,合理放置截面,61,3,、等强度梁,62,63,小 结,1,、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法,.,2,、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用,.,3,、了解提高梁强度的主要措施,.,64,4,-8,梁的弯曲变形,7-1,65,4,-8,梁的弯曲变形,66,4,-8,梁的弯曲变形,67,一,.,梁的弹性曲线,挠度和转角,挠曲线方程：,由于小变形，截面形心在,x,方向的位移忽略不计,挠度转角关系为：,挠曲线,挠度,转角,挠度,y,：,截面形心在,y,方向的位移,向上为正,转角,：,截面绕中性轴转过的角度。,逆时针为正,7-2,68,二,.,弹性曲线的近似微分方程,推导弯曲正应力时，得到：,忽略剪力对变形的影响,69,由数学知识可知：,略去高阶小量，得,所以,70,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,71,挠曲线的近似微分方程为：,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,7-3,72,积分常数,C,、,D,由梁的边界条件确定。,边界条件,弹簧变形,73,例,1,求梁的,转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的,EI,已知。,解,1,）由梁的整体平衡分析可得：,2,）写出,x,截面的弯矩方程,3,）列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,A,B,F,74,4,）由边界条件确定积分常数,代入求解,5,）确定转角方程和挠度方程,6,）确定最大转角和最大挠度,A,B,F,75,例,2,求梁的,转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的,EI,已知，,l=a+b,，,ab,。,解,1,）由梁整体平衡分析得：,2,）弯矩方程,AC,段：,CB,段：,76,3,）列挠曲线近似微分方程并积分,AC,段：,CB,段：,目录,77,4,）由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,78,5,）确定转角方程和挠度方程,AC,段：,CB,段：,79,6,）确定最大转角和最大挠度,令 得，,令 得，,80,积分法求梁变形,适用于小变形、弹性材料、细长构件的平面弯曲,可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的变形,积分常数由挠曲线变形的边界条件确定,优点,使用范围广，精确；,缺点,计算较繁,81,设梁上有,n,个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为,M(x),，,转角为 ，挠度为,y,，,则有：,若梁上只有第,i,个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为 ，挠度为,，,则有：,由弯矩的叠加原理知：,所以，,7-4,三,.,用叠加法求梁的变形,82,故,由于梁的边界条件不变，因此,重要结论：,梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是,计算弯曲变形的叠加原理,。,83,例,3,已知,简支梁受力如图示，,q,、,l,、,EI,均为已知。,求,C,截面的挠度,y,C,；,B,截面的转角,B,1,）将梁上的载荷分解,y,C1,y,C2,2,）查表得,2,种情形下,C,截面的挠度,和,B,截面的转角,。,解,84,3,）,应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和,y,C1,y,C2,85,1.,刚度条件,建筑钢梁的许可挠度,：,机械传动轴的许可转角,：,精密机床的许可转角：,7-5,四,.,梁的刚度校核和提高梁弯曲刚度的措施,86,根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承,B,处转角不超过许用数值。,B,1,）,由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁,B,处的转角为：,解,例,5,已知钢制圆轴左端受力为,F,20,kN,，,a,l m,，,l,2 m,，,E,=206,GPa,。,轴承,B,处的许可转角,=0.5,。,根据刚度要求确定轴的直径,d,。,87,例,5,已知钢制圆轴左端受力为,F,20,kN,，,a,l m,，,l,2 m,，,E,=206,GPa,。,轴承,B,处的许可转角,=0.5,。,根据刚度要求确定轴的直径,d,。,B,2,）由刚度条件确定轴的直径：,88,2.,提高梁刚度的措施,1,）选择合理的截面形状,89,2,）改善结构形式，减少弯矩数值,改变支座形式,90,2,）改善结构形式，减少弯矩数值,改变载荷类型,91,