D8_7方向导数与梯度.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章,第七节,一、方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义,:若函数,则称,为函数在点,P,处沿方向,l,的,方向导数,.,在点,处,沿方向,l,(,方向角为,)存在下列极限:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,记作,定理:,则函数在该点,沿任意方向,l,的方向导数存在,证明,:由函数,且有,在点,P,可微,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于二元函数,为,),的方向导数为,特别:,当,l,与,x,轴同向,当,l,与,x,轴反向,向角,例,1.,求函数,在点,P,(1,1,1),沿向量,3)的方向导数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,向量,l,的方向余弦为,例,2,.,求函数,在点,P,(2,3),沿曲线,朝,x,增大方向的方向导数.,解,:,将已知曲线用参数方程表示为,它在点,P,的,切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,设,是曲面,在点,P,(1,1,1),处,指向外侧的法向量,解,:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点,P,处沿,求函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：,f,变化率最大的方向,模,:,f,的最大变化率之值,方向导数取最大值：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.定义,即,同样可定义二元函数,称为函数,f,(,P,),在点,P,处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,函数的,方向导数,为梯度在该方向上的投影.,向量,2.梯度的几何意义,函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为函数,f,的,等值线,.,则,L,*,上点,P,处的,法向量为,同样,对应函数,有,等值面(等量面),当各,偏导数不同时为零时,其上,点,P,处的法向量为,指向函数增大的方向.,3.梯度的基本运算公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,证,:,试证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处矢径,r,的模,三、物理意义,函数,(,物理量的分布),数量场,(数性函数),场,向量场,(矢性函数),可微函数,梯度场,(势),如:温度场,电位场等,如:力场,速度场等,(向量场),注意:,任意一个向量场不一定是梯度场.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,已知位于坐标原点的点电荷,q,在任意点,试证,证:,利用例4的结果,这说明场强:,处所产生的电位为,垂直于等位面,且指向电位减少的方向.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向,l,(,方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向,l,(,方向角为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,梯度在方向,l,上的投影.,思考与练习,1.设函数,(,1)求函数在点,M,(1,1,1),处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(,2)求函数在,M,(1,1,1),处的,梯度,与(1)中,切线方向,的夹角,.,2.,P73,题 16,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线,1.(1),在点,解答提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数沿,l,的方向导数,M,(1,1,1),处切线的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,P73,题,16,P51 2，3，6，7，8，9，10,作业,第八节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.,函数,在点,处的,梯度,解:,则,注意,x,y,z,具有轮换对称性,(92考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,指向,B,(3,2,2),方向的方向导数是,.,在点,A,(1,0,1),处沿点,A,2.,函数,提示:,则,(96考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,