线性代数 2-3 矩阵的转置对称矩阵.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,矩阵的转置 对称矩阵,定义,2.11,把一个,矩阵,的行列互换得到的一个 矩阵，称之为,A,的,转置矩阵,，记作,.,例,由定义可知,如果记,则,.,注,:,由于 维列向量 可看作 矩阵,所以可以记,维列向量 为,:,矩阵的转置性质,:,证明,:,仅证性质,(4),其余留给同学们自证,.,.,设,矩阵,且,这就证明了,注,:,性质,(4),可推广多个矩阵相乘的情形,即,于是,所以,.,例,已知,解法,1,解法,2,.,方阵的行列式,定义,由 阶方阵 的元素所构成的行列式，,叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,.,对称阵与伴随矩阵,定义,设 为 阶方阵，如果满足 ，即,则,称为,对称阵,.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,.,说明,.,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所,构成的如下矩阵,性质,称为矩阵 的,伴随矩阵,.,.,例,1,设,是一个 矩阵,则 和 都是,对称矩阵,.,证明,是,n,阶矩阵,且有,所以 是,n,阶对称矩阵,.,同理,是,m,阶对称矩阵,.,例,2,设,A,是阶,n,反对称矩阵,B,是,n,阶对称矩阵,则,AB+BA,是,n,阶反对称矩阵,.,证明,.,注意,两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵,例,且若,A,与,B,均为对称矩阵,则,AB,对称的充要条件是,AB=BA,.,P56,例,4,同理可证,两个下三角形矩阵的乘积仍为下三角形矩阵,两个上三角形矩阵的乘积仍为上三角形矩阵,故,C,上三角形矩阵,.,由于,A,是上三角形矩阵,设,当,时,所以,因此,例,证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵,与反对称阵之和,.,证明,所以,C,为对称矩阵,.,所以,B,为反对称矩阵,.,命题得证,.,4,、共轭矩阵,定义,当 为复矩阵时，用 表示 的共轭,复数，记，称为 的共轭矩阵,.,故,同理可得,运算性质,（,设 为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）,:,例,6,设列矩阵 满足,证明,解,例,4,由此归纳出,所以对于任意的 都有,用数学归纳法证明,当 时，显然成立,.,假设 时成立，则 时，,