第三章 微分方程.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,数学建模,-,数学建模选修课,第三章 微分方程模型,在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特征往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。,从另一个方面来讲，从微小的变化量来研究函数变化的规律，微分提供了一种人们认识系统更加深入的描写和刻画。从这个角度说，微分方程模型在模拟客观事物时更加具有机理性和本质性。,人口模型,、,MALTHUS,模型,英国人,Malthus,认为，在人口自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率）是常数。,设时刻,t,的人口为（,t,），净相对增长率为,r,，我们把（,t,）,当作连续变量来考虑。按照,Malthus,的,理论，在,t,到,t+,t,时间内人口的增长量为,令,t,，则得到微分方程,:,设,t,时人口为,，即有,我们易求得微分方程在上面的初始条件下的解为,问题：当,t,，,我们将会有,(t),这似乎不太可能。,实际背景：这个模型可以与世纪以前欧洲一些地区的统计资料很好地吻合，但是后来人们用它来与世纪的人口资料比较时却发现了相当大的差异。,从图中可一看到在,1925,年之前曲线很光滑，在,1950,年左右出现变化。,图中可以看到在,1875,年之前拟合得出的曲线和真实曲线匹配的很好，但在之后两者之间的差距越来越大。,拟合曲线,真实数据,随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。,、,Logistic,模型,荷兰生物数学家,Verhulst,引入常数,m,表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口，并假定净相对增长率等于,这样，上面模型中的方程就变为,则上面微分方程的解为,易看出，当,t,时，,当,(t),m,。,Logistic,模型结果经过计算发现与实际情况比较吻合。,Logistic,模型曲线与真实情况拟合很好,并很好的预示了人口发展趋势。,这个曲线形状像,不像,s,捕鱼问题,问题：在鱼的总量保持稳定的前提下，达到最大捕鱼量或者最多的经济效益。,设时刻,t,鱼场中的鱼量为,x(t),，鱼场资源条件所限制的,x,的最大值为,x,m,，类似人口模型中的,Logistic,模型，我们得到在无捕捞情况下的关于,x(t),的微分方程,假设单位时间内捕捞量与渔场的鱼量成正比，捕捞率为,K,，则在有捕捞的情况下，,x(t),应满足,但是，我们并不关心方程的解的表达，因为我们只要知道稳定的鱼群时最大的捕捞量或经济效益，那么如何知道什么时候鱼群,x,（,t,）稳定呢？,对于方程,我们把代数方程,f(x)=0,的实根,x,0,称为上面方程的平衡点。显然，,x=x,0,是它的一个解。另外，在点,x,0,附近，有,taylor,展开式,若,f,(x,0,)x,0,时，从而当,t,增加时，导数为负数，,x(t),下降，,x,向,x,0,方向减少；当,x0,，,则,x,0,是不稳定的平衡点,。,我们不难求出方程,的平衡点,易得,根据上面关于平衡点的讨论易知，当,Kr,时，上面所求的,x,0,即为平衡的稳定点。换句话说，只要不是,“,竭泽而鱼,”,，,Kr,就是鱼业生产所必须遵守的基本条件。,下面我们用图解法讨论在保持鱼量稳定的前提下，如何选取捕捞率使捕捞量最大。设,当,Kr,时，曲线,f,1,(x),与,f,2,(x),必相交,p,，其交点的横坐标为,x,0,为稳定平衡点（,f,（,x,0,）,=0,），在所有与抛物线相交的直线中，选择过抛物线的顶点,的直线将得到最大的捕捞量,f(x,0,),此时，,此时是能获得最大的持续产量,在保持鱼场渔量稳定的前提下，如何使经济利润最大。设鱼的单价为,p,，设开支与捕捞率成正比，比例系数为,c,，则在保持鱼量稳定的条件下单位时间内捕捞利润是,上面我们所得到的式子,从此式中，我们可以解出,将此式代入上面的式子中，得,令,(x,0,)=0,，容易求得使,(x,0,),最大的,x,0,为,此时捕捞量为,为了经济离异最大，捕鱼量要比最大捕鱼量小，少的部分与成本的平方成正比，鱼价格的的平方成反比。,3.3,广告,模型,在当今,这个信息社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用。当生产者生产出一批产品后，下一步便去思考如何更快更多地卖出产品。由于广告的大众性和快捷性，其在促销活动中大受经营者的青睐,。,当然,，经营者在利用广告这一手段时自然要关心：广告与促销到底有何关系，广告在不同时期的效果如何,？,下面，我们针对某商品独家销售的情形给出广告模型。首先，做如下假设：,（,1,）商品的销售速度会因做广告而增加，但商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于极限值，这时，销售速度将开始下降；,（,2,）自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售的速度的变化率随商品的销售率的增加而减少。,3.4 Vanmeegren,的艺术,伪造品,在,第二次世界大战末期，比利时解放后，德国战场安全部开始追捕纳粹同党。在与德国有业务往来的纪录中，他们发现一位银行家在拍卖,17,世纪荷兰著名画家,Jan Vermeer,的名画中曾充当过中间人。这位中间人后来承认，他担任过德国三流画家,H.A.Vanmeegren,的代理人,。,1945,年,5,月,29,日，,Vanmeegren,以通敌罪被逮捕,。,van Meegeren in 1945,painting,Jesus Among the Doctors,(his last painting in the style of,Vermeer,-see text for details of his criminal trial),en.wikipedia.org/wiki/Han_van_Meegeren,web.cjcu.edu.tw/ykchen/Fine%20Arts/Van%20Meegeren/Van%20Meegeren.htm,然而,，在,1945,年,7,月,12,日，,Vanmeegren,一口咬定，他从未拍卖过,Jan Vermeer,的名画，他声称这副画以及,Emmaus,的信徒等四幅画都是他伪造的，同时伪造的还有,17,世纪荷兰另一位画家,de Hooghs,的作品。为了证实这一切，,Vanmeegren,在狱中开始伪造,Vermeer,的画耶稣在学者中间。当他的工作几乎要完成时，他获悉他可能以伪造罪被判刑。于是，他拒绝将画老化。,为了,解决这一问题，一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际调查小组受命调查此事。调查小组用,X,射线透视等现代手段来分析检验绘画所用的颜料，从而检验某些年代迹象。尽管,Vanmeegren,千方百计地去掩饰，专家调查小组还是在油画中发现了现代物质诸如钴蓝的痕迹。这样，伪造罪成立。,Vanmeegren,也因此被判处一年徒刑。,1947,年,1,月，他在狱中心脏病发作死去。,但是,，许多人还是不相信,Emmaus,的信徒们等名画是伪造的。他们的理由是：,Vanmeegren,在狱中快要完成的画耶稣在学者中间的质量很差。调查小组解释说，由于,Vanmeegren,对他在艺术界的三流画家地位很不满，因此带着狂热的决心临摹了那副画。当他看到自己的,“,杰作未被识别而轻易出手后，他的决心也随之消失了,。,然而,，这种解释并不能使怀疑者满意，直到,1967,年卡内基,梅龙大学的科学家们才利用微分方程模型基本解决了这一问题。,下面,，我们需了解一些颜料方面的知识。画家用白铅作颜料已有,2000,年的历史了，而白铅中含有少量的铅,210(Pb210),和更少的镭（,Ra226,）。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿石中提炼出来的。在铅矿中铅,210,和镭,226,本是处在放射平衡中，而在上述提取过程中，矿石中铅,210,随铅金属被提取出来，不过，,90%95%,的镭以及它的派生物都随着炉渣中的废物排出了。从图,3.4,可以看出，铅,210,的提取物被排掉了。为了使镭,226,与铅,210,再达到放射平衡，铅,210,开始迅速衰减，其半衰期为,22,年。,观众厅地面的升起曲线,我们在影剧院看电影时，经常为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上看，如果场内地面不做成前高后低的坡度，那么，前面的观众必然会遮挡住后面的视线。这样说来，地面坡度曲线应该如何设计呢？,问题的假设与提出,首先，做如下假设：,（,1,）,同一排的席位在同一等高线上。,（,2,）,每个坐在席位上的观众都是标准的,另外，我们所设计的曲线只要使观众的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过即可。,为简化问题，我们可以用从前到后的观众的眼睛曲线来代替坡度曲线。,微分不等式,从第一排起，观众眼睛与 点的连线的斜率随排数的增加而增加，而眼睛升起曲线显然与这些直线都相交，故易看出此升起曲线是凹的。现在的问题是：求任一排与设计,视点,o,的,垂直距离函数，以使此曲线满足视线的无遮挡要求。,总结与讨论,3.7,作战模型,兰彻斯特方程,，全称为兰彻斯特战斗动态方程，也常称为兰彻斯特作战模型。是二战后形成的军事运筹学、数理战术学的重要作战模拟理论,。,在,一,战前期的,1914,年，由英国人弗雷德里克,威廉,兰彻斯特,(F.W.Lanchester),首先创立,。它,采用数学演绎战术原则，将数学与军事战术学结合起来,。,兰彻斯特,最先提出了一个关于空战战术的尝试性数学模型，描述作战双方兵力变化过程的数学微分方程。,这个理论一般,认为可宏观地描述双方战斗的毁伤过程。常用于优选步兵作战兵力的投放、西方研究战争的定量、科学的常用方法。,一般战争模型,用,x,(,t,),和,y,(,t,),表示甲乙交战双方在时刻,t,的兵力，不妨视为双方的士兵人数。假设,1,、每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，用,f,(,x,y,),和,g,(,x,y,),表示。,2,、每一方的非战斗减员率,(,由疾病、逃跑等因素引起）与本方兵力成正比。,、每一方的增援率是给定的函数，用,P,(,t,),和,Q,(,t,),表示。,由此可以写出关于,x,(,t,),、,y,(,t,),的微分方程为,（,1,）,下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率,f,，,g,的具体表达形式，并分析影响战斗结局的因素。,游击战,混合型常规,游击战,结果表明双方初始兵力之比,y,0,/,x,0,以平方关系影响着战争结局。,例如若乙方的兵力增加到原来的,2,倍（甲方不变），则影响战争结局的能力增加到,4,倍。或者说，若甲方的战斗力譬如,r,x,增加到原来,4,倍（,p,x,r,y,p,y,均不变），那么为了与此相抗衡，乙方只需要将初始兵力,y,0,增加到原来的,2,倍。由于这个原因正规战争模型成为,平方律模型,。,游击战争模型,双方都用游击部队作战。甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为,s,x,的隐藏区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火，而是这个隐藏区域内射击，并且不知道杀伤情况。这是甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关，而且随着甲方的兵力的增加而增加。因为在一个有限区域内，士兵越多，被杀伤的就越多。这样可以简单地假设,游击战 线性律,且乙方战斗有效系数,h,可表示为,其中,r,y,认为射击率，而命中率,p,y,等于乙方一次射击的有效面积,s,ry,与甲方活动面积,s,x,之比。,即初始兵力之比,y,0,/,x,0,以线性关系影响战争结局，并且当射击率和射击有效面积一定时，增加活动面积,s,y,与增加初始兵力,y,0,起着相同的作用。,这个模型又称,线性律模型。,混合型常规,游击战,抛物律,根据类似于以上的计算及上一世纪四五十年代发生在马来亚、菲律宾、老挝等地的混合战争的实际情况估计出，正规部队一方要取胜至少要投入,8,倍于游击部队的兵力，而美国最多只能派出,6,倍于越南的兵力，越南战争最后以美国失败告终,.,正是由于基于这样的分析，约翰逊总统才不得不从政治上寻求一种解决越南战争的办法。他拒绝了,Westmoreland,的请求发起了巴黎和平会谈。最终美国于,1973,年从越南撤军。,硫磺岛战役,J.H.Engel,用二次大战末期美国硫磺岛的美军战地纪录，对正规部队进行了验证,发现模型的结果与实际数据吻合得相当好。,硫磺岛位于东京以南,660,英里的海面上，是日军的重要空军基地。美军在,1945,年,2,月,19,日开始进攻，激烈的战斗持续了一个月，双方伤亡惨重，日方守军,21,500,人全部阵阵亡或被俘，美方投入兵力,73,000,人，伤亡,20,265,人，战争进行了,28,天时美军宣布占领该岛，实际战斗到,36,天才停止。美军的战地记录有按天统计战斗减员和增援情况，日军没有后援，战地记录全部遗失。,例硫磺岛战役,硫磺岛是太平洋上一座由火山熔岩冷却后形成的火山岛，地形起伏，沟壑纵横，熔洞密布，悬崖峭壁临海高耸。从高空俯瞰，,20,余平方公里大小的硫磺岛像一只砍去双腿，又被拔光毛的火鸡，火鸡头位于岛的西南端，高度,168,米的摺钵山雄踞鸡头，是全岛制高点，一个鸡嘴状的岬角一直伸进滚滚波涛中。北部从鸡背一直到东北部鸡尾部分，是一片错落起伏的高地，由一系列小山岗和陡峭的峡谷构成。小山岗高程大多百米左右，地形复杂，可伏重兵。南部鸡脖子和鸡胸部位，地势低平，有一小片被梯状台地逼住的海滩，勉强可作登陆场。除此以外，全岛没有任何可供船舶停靠的锚地或港湾。,硫磺岛虽是弹丸小岛，却处在战略要津。它正当东京与美军新占领的塞班岛之间，距二地各约,1200,公里。美军占领塞班岛以后，一直以塞班岛为基地空袭东京。但因硫磺岛的报警作用，美军对东京的空袭一直效果不佳。驻硫磺岛的日军战斗机还不时升空拦截，冲散美国机群。为总攻日本，美军势必要夺占硫磺岛。而为东京安全，日军也势必要死守硫磺岛。结果，这座杳无人迹的小小火山岛，在太平洋战争后期，就成为日美必争之地。,美军在控制菲律宾后，于,1945,年,1,月,3,日开始，对硫磺岛实施轰炸。,2,月,16,日开始硫磺岛战役，美军出动舰艇,200,多艘次，飞机,400,多架次，对硫磺岛日军,3,个机场和滩头阵地进行炮击和轰炸。,19,日，美海军陆战第,4,师和第,5,师在,600,多架次飞机和舰炮火力掩护下，以,250,多艘登陆艇和,500,多辆水陆坦克、装甲车组成,5,个登陆波，在硫磺岛东南部登陆。经过两周激战，残余的,3000,多日军退进山洞死守。,3,月,8,日，日军师团长栗原中将与,800,余名残兵在山洞内集体自杀。此战役日军被击毙,2.2,万人，被俘,1000,人；美军为攻占该岛阵亡,7000,人，负伤,1.9,万人。,二战结束,60,周年之际,美军老兵在硫磺岛纪念阵亡将士,.,用,A,(,t,),和,J,(,t,),表示美军和日军第,t,天的人数，在正规模型,(2),中忽略非战斗减员，且,v,=0,再添加上初始条件，有 如下方程,（,19,）,美军战地纪录给出增援率,u,(,t,),为,（,20,）,并可由每天伤亡人数算出,A,(,t,),，其中,t,=1,2,.,36(,见,图,中虚线,),。下面要利用这些实际数据代入,(19),式，算出,A,(,t,),的理论值,并与实际值比较,.,对方程,(19),用求和代替积分可得,（,21,）,（,22,）,为估计,b,在,（,12,）,式中取,J,(36)=0,，且由,A,(,t,),的实际数据可得,于是，从,(22),式估计出,再将这个值带入,（,22,）,式即可算出,J,(,t,),t=1,2,，,36,。然后从,（,21,）,式估计,a,，令,t,=36,，得,（,23,）,其中分子是美军的总伤亡人数，为,20,265,人，分母可由已经算出的,J,(,t,),（,24,）,得到，为,372,500,人，于是从,（,23,）,式有：,把这个值代入,（,21,）,式得到,美军人数,70,，,000,66,，,000,62,，,000,58,，,000,54,，,000,50,，,000,4 8 12 16 20 24 28 32 36,天数,图,美军兵力实际数据与理论结果,由,（,24,）,式就能够算出美军人数,A,(,t,),的理论值，,图,中,用实线画出。与虚线表示的实际相比，可以看出吻合情况。,3.8,地中海鲨鱼问题,20,世纪,20,年代中期，意大利生物学家,Umberto DAncona,偶然注意到第一次世界大战期间在原南斯拉夫的里耶卡港，人们捕获的鱼类中，鲨鱼等软骨鱼的百分比大量增加（见表,3-2,），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降。显然，战争使捕鱼量下降，食用鱼应该增加，鲨鱼等软骨鱼也随之增加，但为何其比例大幅度增加呢？,在交通十字路口，都会设置红绿灯，为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段黄灯。,那么，一个问题就来了，黄灯应该亮起多长时间才最为合适呢？,交通管理问题,交通堵塞问题,这个问题很难看作是公路上距离 的连续问题，但由于公路的长度远大于汽车间的距离，因此，我们把公路上行驶的一辆接一辆的汽车看作是连续流。,代入方程中，得,又由 及 的含义，,