线性代数课件第一章行列式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,教材：,线性代数,吴天毅等,主编,南开大学出版社,教案作者：韩会磊,第一章 行列式,行列式的定义,行列式的性质,克莱姆（,Cramer,）法则,主要内容：,行列式按行（列）展开,11,行列式定义,用消元法解二元一次方程组：,一、二阶和三阶行列式,分母为,的系数交叉相乘相减：,定义,二阶行列式,：,主对角线,元素,图示记忆法,例,用消元法解三元线性方程组,：,可得,的,分母为,(,若不为零）：,定义,三阶行列式,：,图示记忆法,例,解,例,计算三阶行列式的例子：,对于数码,i,s,和,i,t,：,逆序数,：一个排列中逆序的个数，,例,求,132,、,436512,的逆序数,解,逆序数为偶数的排列称为,偶排列,，,n,阶,（,级,）,排列,：由,n,个不同的数码,1,2,n,组成的有序数组,132,是奇排列，,436512,是偶排列。,但,31,2,是偶排列，,6,3,4,512,、,4365,21,是奇排列。,（二）,排列与逆序数,大前,小后,叫,逆序,(,反序,),记为：,为奇数的称为,奇排列,。,可见：,交换任何两个元素（,对换,）改变了排列的奇偶性！,再,分析,P.5,的表,1-1,排列,1 2 3,1 3 2,2 1 3,2 3 1,3 1 2,3 2 1,逆 序,无,32,21,21,，,31,31,，,32,32,，,31,，,21,逆 序 数,0,1,1,2,2,3,奇偶性,偶,偶,偶,奇,奇,奇,一个对换改变排列的奇偶性；,3!,个排列中，奇、偶排列各占一半。,定理,1,对换,改变排列的奇偶性。,证,（,1,）设元素,i,j,相邻：,若,ij,则新排列,减少,一个逆序。,改变了奇偶性,（,2,）设元素,i,j,不相邻：,共,作了,2s+1,次相邻对换，,由（,1,）知，排列改变了奇偶性。,定理,2,n,个数码构成,n!,个,n,级排列，,奇,偶,排列各占一半（,n!/2,个）。,证,设有,p,个,奇,排列，,q,个,偶,排列，,p,个,奇,排列,p,个,偶,排列,q,个,偶,排列,q,个,奇,排列,（,三）,n,阶行列式定义,2,阶：,3,阶：,n,阶：,1,阶：,几种特殊行列式：,例,解,由定义,，,只有,左下三角形行列式,右上三角形行列式,等于,对角线上元素之乘积,(P.9),类似可得：,特别：,对角形行列式,等于,对角线上元素之乘积,(P.10),O,O,例,的,一般项还可记为,或（定理,1.3,）,(P.10),列标,按自然顺序排列,n,阶行列式的另外两种表示,(,证明略）,：,例,下列元素之积是否为四阶行列式的项？,否,，因为第二行有两个元素；,是,，因为四个元素取自不同行不同列，,例,解,1.2,行列式的性质,复习：,定义：,的,转置行列式,行变列，列变行,例,证,D,的一般项,：,它的元素在中位于不同的行不同的列，因而在的转置中位于不同的列不同的行所以这,n,个元素的乘积在的转置中应为,性质,1,所以,由此性质也知：,行具有的性质列也同样具有,性质,2,交换行列式的两,行,（,列,）,行列式反号。,证,D,的一般项,：,交换行以后，元素所处的列没变，只是行标作了交换，,即行标排列中，,i,和,s,作了对换，,改变了排列的奇偶性，,故反号,。,推论：,n,阶行列式某,两行,（,列,）,对应元素全相等,，,则行列式等于零。,证,性质,3,证,记,左边的行列式为,D1,有,注：,该性质对列也成立。,推论：,n,阶行列式某,两行,（,列,）,对应元成比例,，,则行列式等于零。,证,提出比例系数后，行列式有两行（列）对应相等，,由,前面的推论知行列式为零。,性质,4,注：,该性质,对列也成立,。,证,左边行列式的一般项为：,可推广到,m,个数的情形。,性质,5,（,保值变换,）,证,成比例,例,计算行列式,思路,：用保值变换化成三角形行列式,将,过程记在行列式符号的右边，用“,箭头,”表示。,解,为,对称行列式,例,为,反对称行列式,例,是,反对称行列式,不是,反对称行列式,两个重要概念,例,证明,奇数阶,反对称行列式的值为零,。,证,当,n,为,奇数时有,用性质计算行列式,=,9,一般地，可以计算,请牢记这种方法，这类题就这种做法。,关于范德蒙行列,式注意以下三点,1.,形式,:,按升幂排列,幂指数成等差数列,.,2.,结果,:,可为正可为负可为零,.,3.,共,n(n-1)/2,项的乘积,.,对于范德蒙行列式,我们的任务就是,利用它计算行列式,因此要牢记范德,蒙行列式的形式和结果,.,你能识别出范德蒙行列式吗？,你会用范德蒙行列式的结果做题吗？,例：,范德蒙行列式,有几种变形?,行列式按,行（列）展开,主要内容：,1.代数余子式,2.展开定理,1.3,余子式,n-1,阶行列式,A,ij,=,(-1),i+j,M,ij,a,ij,的,代数余子式,（,一）,按某一行（列）展开,定理,4,按行,展开,按,列展开,即：,D,等于第,i,行（,列,）元素,与,对应的代数余子式相乘相加。,证,（下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。）,(3),四阶行列式按第三行展开的结果,n,阶行列式按第,i,行展开：,例,2,计算行列式,解,按第三列展开,其中：,所以,解,2,按,第二行,展开,按,第一列,展开,例,讨论当为何值时,解,所以，当,例,4,求证,证,按第,1,列,展开,n-1,阶,即,：,第,i,行元素与另一行元素的代数余子式相乘相加等于零。,定理,5,证,0=,i,行,s,行,综合定理,4,，定理,5,对于,行,：,对于,列,：,克莱姆（Cramer）法则,1.4,其,解：,记,系数行列式,讨论,n,个方程、,n,个未知量,的,线性方程组,的解,一、,非齐次,线性方程组,系数行列式：,用,常数项列替换,D,的第,j,列，其余列不变。,记,6,9,11,定理,5,（,克莱姆法则,）,对于方程组（,1,），若,有,唯一解，且,证明思路：,1,验证,满足各方程（存在性）；,2,（,1,）的,解定能表成形式,（,唯一性）。,所用结果：,证,1,将,D,j,按,第,j,列展开,代入第,1,个方程的左端,将,4,左,（,证,b,1,),(),D,按第,1,行展开,0,0,满足第,1,个方程,类似验证第,2,，,，,n,个方程也满足。,是,方程组（,1,）的解。,2,由,1,知，（,1,）有解，,a,11,x,1,+a,12,x,2,a,1n,x,n,+,+,=b,1,a,21,x,1,+a,22,x,2,a,2n,x,n,+,+,=b,2,a,n1,x,1,+a,n2,x,2,a,nn,x,n,+,+,=,b,n,用,D,的第,j,列元素的代数余子式乘两边,A,nj,A,2j,A,1j,A,1j,这证明了（,1,）有解,。,A,1j,A,1j,A,2j,A,2j,A,2j,A,nj,A,nj,A,nj,对应相加整理,由,定理,4,和定理,5,证毕,例,二、,齐次,线性方程组,齐次线性方程组,一定有解,（零解,x,j,=0),，,现在讨论在什么条件下,有非零解,。,定理,6,证,2,由,1,可得。,例,定理,7,