孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.1布洛赫定理及能带.ppt

第一节 布洛赫定理、布洛赫波及能带,一、布洛赫定理及证明,三、能带的图示,二、布洛赫波能谱特征,本节主要内容:,四、能带的对称性,五、等能面垂直于布里渊区界面,一、布洛赫定理及证明,1.布洛赫定理,(,Bloch theorem),对于,周期性势场,即 其中 取,布拉维格子,的所有格矢,单电子薛定谔方程(波动方程),:,的,本征函数,是,按布拉维格子周期性调幅的平面波,即:,且,且对 取,布拉维格子,的所有格矢成立。,这就是布洛赫定理,显然,按照该定理：,具有上述形式的波函数称为,布洛赫波函数,。,且,因此,布洛赫定理,也可以表述为:,在以布拉维格子原胞为周期的势场中运动的电子，当平移晶格矢量,R,n,时，单电子态波函数只增加一个相位因子,亦即满足,对属于,布拉维格子,的所有格矢 成立。,把遵从周期势单电子薛定谔方程的电子,或用布洛赫波函数描述的电子称为,布洛赫电子,(,Bloch electron),相应的描述晶体电子行为的这种波称为布洛赫波.,与自由电子相比,晶体周期势场的作用只是用一个调幅平面波取代了平面波,.,显然,它是一个,无衰减,的在晶体中传播的波,不再受到晶格势场的散射,.,因此可以认为,布洛赫电子在整个晶体中自由运动,布洛赫函数的平面波因子描述晶体中电子的,共有化运动,而周期函数的因子描述电子在,原胞,中运动,这取决于原胞中电子的势场,.,2.,布洛赫定理的证明,(1)引入,平移对称算符,(2)说明:,对属于,布拉维格子,的所有格矢 ,只要证得,即可。,(3),证明思路,对易的算符有共同的本征函数,(1)引入,平移对称算符,平移对称算符的,定义：,平移对称算符的,性质：,即平移算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿算符对易,(2)说明:,所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的,。,因为,：,晶体中单电子哈密顿量 具有晶格周期性。,推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量改变一常矢量不影响微分结果。即：,由于,对易的算符有共同的本征函数,所以如果波函数 是 的本征函数,那么 也一定是算符 的本征函数。,利用对易性，则有,:,（,3,）平移算符的本征值,设 对应的本征值为 ，波函数 是 和 共同的本征函数。则有,所以波函数 和 或 是哈密顿算符的同一能量本征值的本征函数，它们只能相差一个常数。,根据波函数的归一性：,但是,：,所以只能有,：,从而 可以写成如下形式,：,另外，根据平移算符的性质：,从 可以看出，,仅差一个相位因子。,将 代入 中得：,两边取对数得：,上式仅当 之间呈线性关系才能得到满足，所以，可取：,所以平移算符的本征值为,：,所以：,-,-布洛赫定理得证。,可以看出,平面波,能满足上式：,因此矢量 具有波矢的意义,当波矢增加一个倒格矢 ,平面波 也满足上式。,因此电子的波函数一般是这些,平面波的线性叠加。,则上式化为,所以,线性叠加后的平面波是布洛赫波函数,可以描述晶体电子,.,说明：,在第一章描述的自由电子情形,由于波函数：,所以,对自由电子情形,动量算符有确定的本征值,代表电子的动量。,但是,对于布洛赫电子,由于布洛赫波函数：,所以,布洛赫波函数,不再是动量算符的本征函数,不再代表,布洛赫电子,的动量。,一般把 称为,晶体动量,(,crystal momentum),而把 理解为标志电子在具有平移对称性的周期场中不同状态的,量子数,其取值由边界条件来确定,.,设晶体在三个基矢,a,1,、,a,2,、,a,3,方向各有,N,1,、,N,2,、,N,3,个原胞，与第一章类似，我们选取,周期性边界条件,(,平移对称性的要求,),则波函数应满足：,即：,其中 为布拉维格子的三个基矢；为晶体沿 方向的原胞数目,的量级为 的整数；原胞总数,3.,波矢,k,的取值,注：周期性边条件去掉了表面对平移对称性的破坏，使有限大的晶体具有了完全的平移对称性，也是数学处理上最简便的边条件,将,布洛赫定理,用于周期性边条件：,为整数,前面我们已知，波矢 空间为,倒格子空间,，因而，波矢 可用相应的倒格子基矢 表示，即：,将其代入 并考虑到,：,只能取一些分立的值。,得波矢 ：,为整数,布洛赫波波矢 可看成是在倒格子空间中,以 为基矢的布拉维格子的格矢，取值是量子化的,在 空间均匀分布，,每个许可的 值,，相当于上述,布拉维格子原胞的体积,：,为晶体的体积,容易计算在,简约布里渊区,内,电子的波矢数目,电子的波矢密度,为,:,一个,波矢代表点对应的体积,为：,在,简约布里渊区,内,电子的波矢数目等于晶体的原胞数目,N,=,N,1,N,2,N,3,.,在,波矢空间,内,由于,N,的数目很大,波矢点在倒格子空间看是极其稠密的，所以波矢点的分布是准连续的,.,从而,可把对有关波矢的求和变成积分来处理。,例1：一维周期场中电子的波函数 应当满足布洛赫定理，若晶格常量为,a,，,电子波函数为,f,为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢,。,解：据,布洛赫定理,，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：,令,m,-,n,=,l,，,据布洛赫定理，,即,在,简约布里渊区,中,即,解得：,s=-1,从而有：,二、布洛赫波能谱特征,且,由布洛赫定理：,应满足单电子薛定谔方程：,1.能带的形成,考虑到：,整理单电子薛定谔方程得：,边条件为：,周期性边条件,意味着方程实际上是,限制在晶体一个原胞的有限区域,内的,厄米本征值问题.,厄米方程：,方程有形如 的解。,对于 中的每一个参数 ,应有,无穷个分立,的本征值,描写布洛赫电子的状态应由两个量子数,n,和,k,来标记,相应的,能量和波函数,为 和,此外,对于一个确定的量子数,n,来说,其中,G,h,为倒格矢，,R,n,为布拉维格子的正格矢,。,所以,因为,仍然描述布洛赫波函数,。,将其代入单电子薛定谔方程，整理可得,亦即,前面我们曾得到,两式比较可知,它们的,算符完全一样,且函数满足同样的周期,因而两个方程一样,.,根据,解的唯一性定律,所以 和 ，也就是 和 完全一样，因而其能量本征值也一样。,所以,对于一个确定的量子数,n,来说,n,(,k,),是,k,的,周期函数,只能在一定的范围内变化,必然有,能量的上、下界,.,由于布洛赫电子的本征能量和波函数都是倒格子空间的周期函数，所以可以将波矢,k,的取值限制在倒格子原胞体积内，常取倒格子空间的,W-S,原胞,，即,第一布里渊区,或,简约布里渊区,，在此区间任意两波矢之差均小于一个最短的倒格矢，相应的波矢称为,简约波矢,。,由于波矢,k,的取值是准连续的,所以能量本征值构成一能带,(energy band).,从而,对于每一个,n,对应一个能带,(energy band),n,称为,能带指标,.,n,=1,，,2,，,，,亦即,对于每个,n,值,有,N,个分立的能值从属于它.由于,N,很大,这些能值表现为准连续的序列,形成能带.因此,能谱由带指数,n,不同的一些能带组成.每个能带包含,N,个本征值.,从而本征值 对应：,前面我们已知，在周期性边条件下，波矢 有,N,个分立的取值，,N,为原胞数目,:,为整数,各能带按照能量尺度排列起来时,他们或者是由,能量间隙给隔开,或者,部分交叠,在一起。,2 由于 取值的周期性,也可允许 的取值遍及全 空间,这种图示方法称为,周期布里渊区图示,(,repeated zone scheme),3,扩展布里渊区图示,(,extended zone scheme).,将不同的能带绘于 空间不同的布里渊区的做法。,(具体的图示在后面谈到具体的例子时再给出),三、能带的图示,1 将所有的能带 绘于第1布里渊区内的图示方法，称为,简约布里渊区图示,(,reduced zone scheme),布洛赫电子的能谱对称性的讨论，将有助于简化能带结构的计算。下面我们给出一些关于能带对称性的结论，严格证明已经超出固体物理基础的范围。,四、能带 的对称性,利用该特点,可以使能带结构的计算限制在一个倒格子原胞内进行,.,1.,周期性,倒格子原胞的取法有多种,标准的做法是取以,k,=0,为中心的,W-S,原胞,即,第一布里渊区,.,从而可将所有的能带,n,(,k,),绘于第,1,布里渊区中,即,简约布里渊区图示法,.,如果不考虑电子的自旋,-,轨道相互作用，在布里渊区中，晶体能谱具有与晶体点阵相同的宏观对称性。,2.,能带的点群对称性,n,(,k,),的点群对称性使得在能带计算中可将第一布里渊区体积按对称元素,(,点群对称操作,),的数目分成若干,等价的小区域,若有,f,个点群对称操作,(,三维立方晶体,f,=48),则只需讨论,f,个小区中的一个,.,所占体积为,第一布里渊区的,1/,f,，因而工作量变小,.,为晶体所属点群中的任一操作。,3.,反演对称性,中心反演对称,属于点群对称操作的一个基本元素，所以当然成立。但是对于不包含反演对称的晶体来说，该结论仍然成立。,由于晶体中单电子薛定谔方程中的哈密顿量是,实数,，则：和 为属于同一本征值的解,按照,平移算符,的定义和,布洛赫定理,，易知,证明,:,所以,有相同的本征值。,从而 为简并态，,所以有,五、等能面垂直于布里渊区界面,等能面定义为在,k,空间中,所有能量相等的,k,构成的曲面.,如图设,A、B,为布里渊区的两个界面,m,为镜面反演面.,由于,布里渊区界面是,倒格矢 的垂直平分面,因此对应于 和 的一对,布里渊区界面,具有,镜面反演对称,.,A,B,m,a,b,o,a,b,为布里渊区界面上关于,m,对称的两个点,显然它们相距一个倒格矢,A,B,m,a,b,o,过,a,b,两点等能面的法线(梯度)分别为：,由于：,所以，过,a,b,两点等能面法线相对于各自,布里渊区界面,A,B,的垂直分量和平行分量应该严格相等,亦即：,但是,由于,a,b,两点关于,m,镜面反演对称,必须满足：,所以有：,即,等能面法线,在,布里渊区界面上,的垂直分量为零,所以,等能面,必定垂直于,布里渊区界面。同样可以证明,等能面垂直于,布里渊区中过原点的对称面。,A,B,m,a,b,o,一维情况下,等能面退化为两个,等能点,二维情况下,等能面退化为,等能线,.,本节讨论的内容没有涉及周期性势场,V,(,r,),的具体形式，是,普遍性的结果,。也就是说布洛赫定理给出了严格的周期势场中单电子波函数和能谱的,普遍规律,。固体能带的具体计算则涉及晶体结构和晶体原子势场的具体空间分布。下面我们针对,V,(,r,),的具体情况来讨论晶体电子波函数和能谱的,具体结果,。,