高考数学一轮复习-第9单元第54讲-空间距离及其计算、折叠问题课件-理-湘教版.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,54,讲 空间距离及计算、折叠问题,1.,了解空间各种距离的概念，掌握求空间距离的一般方法,.,2.,能熟练地将直线与平面之间的距离，两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离,.,3.,了解折叠问题的基本内涵，掌握分析求解折叠问题的基本原则,.,1.,在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，若,AB,=,BC,=,a,AA,1,=2,a,则点,A,到直线,A,1,C,的距离为,(),C,A.,a,B.,a,C.,a,D.,a,解析：,如图，点,A,到直线,A,1,C,的距离，即为,Rt,A,1,AC,斜边上的高,AE,.,由,AB,=,BC,=,a,得,AC,=,a,.,又,AA,1,=2,a,所以,A,1,C,=,a,所以,AE,=,a,.,2.,在正三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中，若,AB,=2,，,AA,1,=1,，则点,A,到平面,A,1,BC,的距离为,(),B,A.B.C.D.,解析,：取,BC,的中点,M,，连接,AM,、,A,1,M,，可证平面,A,1,AM,平面,A,1,BC,.,作,AH,A,1,M,，垂足为,H,则,AH,平面,A,1,BC,.,在,Rt,A,1,AM,中，,AA,1,=1,，,AM,=,，,A,1,M,=2,故,AH,=.,3.,如图，四边形,ABCD,中，,AD,BC,，,AD,=,AB,，,BCD,=45,，,BAD,=90,，将,ABD,沿,BD,折起，使平面,ABD,平面,BCD,，构成几何体,ABCD,，则在几何体,ABCD,中，下列命题中正确的是,(),D,A.,平面,ABD,平面,ABC,B.,平面,ADC,平面,BCD,C.,平面,ABC,平面,BCD,D.,平面,ADC,平面,ABC,解析：,由已知,BA,AD,CD,BD,，又平面,ABD,平面,BCD,所以,CD,平面,ABD,.,从而,CD,AB,又,BA,AD,故,AB,平面,ADC,.,又,AB,平面,ABC,所以平面,ABC,平面,ADC,.,4.,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,a,E,、,F,分别是,B,1,C,1,、,BB,1,的中点，则：,(1),直线,EF,与平面,D,1,AC,1,的距离是,;,(2),平面,AB,1,D,1,与平面,C,1,BD,间的距离是,.,解析：,(1),易知,EF,平面,D,1,AC,1,.,过,E,作,EH,BC,1,H,.,因为,D,1,C,1,平面,BB,1,C,1,C,，所以,D,1,C,1,EH,故,EH,平面,D,1,AC,1,，从而,EF,与平面,D,1,AC,1,的距离为,EH,=,a,.,(2),因为平面,AB,1,D,1,平面,C,1,BD,连接,A,1,C,设,A,1,C,分别与平面,AB,1,D,1,和平面,C,1,BD,交于,O,1,、,O,2,则,为所求距离,且,O,1,O,2,=,A,1,C,=,a,.,一、空间距离,1.,两点间的距离,:,连接两点的,的长度,.,2.,点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，,的长度,.,3.,点到平面的距离：自点向平面引垂线，,的长度,.,4.,平行直线间的距离：从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线,.,的长度,.,线段,点到垂足之间线段,点到垂足间线段,点到垂足间线段,5.,异面直线间的距离,:,两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的,的长度,.,6.,直线与平面间的距离,:,如果一条直线和一个平面平行,从这条直线上任意一点向平面引垂线,的长度,.,7.,两平行平面间的距离：夹在两平行平面之间的,的长度,.,线段,这点到垂足间线段,公垂线段,二、求距离的一般方法与步骤,（一）,传统方法,1.,两点间距离、点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题，可用,求解,.,2.,平行直线与平面间的距离、平行平面间的距离可归结为求,的距离,.,3.,求距离的基本步骤是：,(),找出或作出有关距离的图形；,(),证明它符合定义；,(),在平面图形内计算,.,平面几何方法,点面间,三、折叠问题,1.,概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题,.,2.,折叠问题分析求解原则：,(1),折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；,(2),折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持,.,不变,题型一 用基本法求空间距离,评析：,点到平面的距离是有关距离的重点，它主要由两种方法求得：,(1),用定义直接作出这段距离，经论证再计算，即“找,(,作,),证,算”；,(2),等积法：转化为锥体的高，用锥体的体积公式求解,题型二 用向量法求空间距离,则,评析：,由上可知，用向量求立体几何中有关距离的问题，不但可以减少一些辅助线的添加，而且求解简捷利用向量法求点到平面的距离的步骤如下：,(1),求出该平面的一个法向量,n,；,(2),找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量,a,；,(3),利用公式,d,=,求距离,题型三 折叠问题,例,3,在直角梯形,ABCD,中，,D,=,BAD,=90,，,AD,=,DC,=,AB,=,a,(,如图），将,ADC,沿,AC,折起，使,D,到,D,，记平面,ACD,为,，平面,ABC,为,，平面,BCD,为,（如图）,.,（,1,）,若二面角,-,AC,-,为直二面角，求二面角,-,BC,-,的大小；,（,2,）,若二面角,-,AC,-,为,60,，求三棱锥,D,-,ABC,的体积,.,解析：,(1),在直角梯形,ABCD,中，由已知,DAC,为等腰直角三角形，,所以,AC,=,a,CAB,=45.,过点,C,作,CH,AB,由,AB,=2,a,，,可推得,AC,=,BC,=,a,，,所以,AC,BC,.,取,AC,的中点,E,，连接,D,E,，则,D,E,AC,.,又二面角,-,AC,-,为直二面角,所以,D,E,.,又因为,BC,平面,，所以,BC,D,E,，,所以,BC,.,而,D,C,，所以,BC,D,C,，,所以,D,CA,为二面角,-,BC,-,的平面角,.,由于,D,CA,=45,，,所以二面角,-,BC,-,的大小为,45.,(2),取,AC,的中点,E,，连接,D,E,，再过点,D,作,D,O,，垂足为,O,，连接,OE,.,因为,AC,D,E,，所以,AC,OE,，,所以,D,EO,是二面角,-,AC,-,的平面角，,所以,D,EO,=60.,在,Rt,D,OE,中，,D,E,=,AC,=,a,，,D,O,=sin60,D,E,=,a,，,所,V,D,-,ABC,=,S,ABC,D,O,=,AC,BC,D,O,=,a,a,a,=,a,3,.,评析,分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不变关系，在求解过程中充分利用不变量和不变关系,.,素材,3,如图，已知四边形,ABCD,是上、下底边长分别为,2,和,6,，高为,3,的等腰梯形（如图）,.,将它沿对称轴,OO,1,折成直二面角,(,如图,).,(1),证明：,AC,BO,1,；,(2),求二面角,O,AC,O,1,的正弦值,.,解析：（方法,1,）,（,1,）,证明：由题设知，,OA,OO,1,，,OB,OO,1,所以,AOB,是所折成的直二面角的平面角，即,OA,OB,.,从而,AO,平面,OBCO,1,.,OC,是,AC,在面,OBCO,1,内的射影,.,因为,tan,OO,1,B,=,tan,O,1,OC,=,所以,OO,1,B,=60,，,O,1,OC,=30,从而,OC,BO,1,，由线面垂直得,AC,BO,1,.,(2),由,(1),知,AC,BO,1,OC,BO,1,知,BO,1,平面,AOC,.,设,OC,O,1,B,=,E,过点,E,作,EF,AC,于,F,连接,O,1,F,则,EF,是,O,1,F,在平面,AOC,内的射影,.,由线面垂直得,AC,O,1,F,，,所以,O,1,FE,是二面角,O,-,AC,-,O,1,的平面角,.,由已知，,OA,=3,，,OO,1,=,，,O,1,C,=1,，,所以,O,1,A,=,=2 ,AC,=,，,从而,O,1,F,=.,又,O,1,E,=,OO,1,sin30=,所以,sin,O,1,FE,=.,(,方法,2),(1),证明,:,由题设知,OA,OO,1,OB,OO,1,.,所以,AOB,是所折成的直,二面角的平面角，即,OA,OB,.,故可以,O,为原点，,OA,、,OB,、,OO,1,所在直,线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐,标系，如右图,.,则相关各点的坐标是,(2),因为,=-3+=0,所以,BO,1,OC,.,由,(1),知,AC,BO,1,，,AC,OC,=,C,，,所以,BO,1,平面,OAC,，,所以 是平面,OAC,的一个法向量,.,设,n,=(,x,y,z,),是平面,O,1,AC,的一个法向量，,n,=0 -3,x,+,y,+,z,=0,n,=0,y,=0,，,由,，得,取,z,=,得,n,=(1,0,).,设二面角,O,A,C,O,1,的大小为,，由,n,、的方向可知,=,n,，,所以,cos,=,cos,n,，,=,，,则,sin,=.,即二面角,O,AC,O,1,的正弦值为,.,n,1.,对于空间中的距离，我们主要研究点到平面的距离、直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离，其重点是点到直线、点到平面的距离,.,点到平面的距离要注意其作法，一般要利用面面垂直的性质来做,.,求点到平面的距离也可以用等体积法,.,2.,求距离传统的方法和步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出表示距离的线段，再证明它是所求的距离，然后再计算,.,其中第二步证明易被忽略，应当引起重视,.,3.,用向量法求距离，方便快捷，应注意掌握一般转化为点面距离后，按如下步骤操作：,(1),求出平面的法向量,n,；,(2),找出以该点及面内某点为端点的线段对应的向量,a,；,(3),代入公式,d,=,求距离,4.,将平面图形折叠，使形成立体图形，通过对折叠问题的研究进一步树立空间概念，提高空间想象能力,.,5.,平面图形折叠成空间图形，主要抓住变与不变的量，所谓不变的量，即是指“未折坏”的元素，包括“未折坏”的边和角，一般优先标出未折坏的直角,(,从而观察是否存在线面垂直,),，然后标出其他特殊角，以及所有不变的线段,错解：,错解分析：,正解：,