第20章 动力学专题(单自由度系统的振动).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,20,章 动力学专题：单自由度系统的振动,大学物理,下册（天大李金锷编）第一章详细阐述了单自由度系统的振动，包括振动方程的建立、各种基本概念、有阻尼与无阻尼自由振动和强迫振动解的性质（运动规律及其各种现象）。这些内容与本章大部分内容相同，故不再详细介绍。,本课主要讲解以下内容：,振动的二重性；,振动的分类。,2.,用理论力学各种动力学理论建立振动微分方程，而不仅是用牛顿第二定律。主要是刚体及刚体系统的振动问题。,3.,固有频率的求法；,4.,振动在工程中的应用。简介弹性体的振动，固有频率、固有振型、模态的概念。,1.,概述：,振动是一大类特殊的动力学问题，是,动力学与控制（一般力学）,专业研究的主要内容之一。,1,20-1,概 述,1.,振动,（,机械振动,）,特殊的运动形式，特殊的动力学现象。,一个振动系统必须伴随保守力场的存在。常见有弹性力场、重力场。,描述振动规律的方程为关于坐标的二阶微分方程（组）。,2.,振动的二重性：,缺点,：振动过大引起系统动态特性不良、噪音过大，大多数问题中应避免振动过大。,解决办法,：,改变结构；,振动控制（如隔振）。,优点,：利用振动。如振动机械；一些测量仪器中利用临界阻尼以使指针平稳等。,3.,振动的分类：,按自由度分类：,a.,单自由度振动系统,：常微分方程,如：,物理形式,数学形式,或,同学举例,事实上,动静法,外部激振力,惯性力,阻尼力,(,弹性,),恢复力,2,b.,多自由度振动系统,：常微分方程（组）,c.,弹性体振动（无穷多自由度）,：偏微分方程（组）,如：,加速度列阵,速度列阵,位移列阵,激振力幅值列阵,均为,n,阶,均为,n,n,阶,质量矩阵,阻尼矩阵,刚度矩阵,如等直杆的无阻尼纵向强迫振动方程：,按振动微分方程分类：,b.,非线性振动,：,a.,线性振动,：,如,如,(,广义,van,der,Pol,方程,),两种方程（系统）在解法上和解的性质上存在本质的差异：,大部分非线性方程不存在封闭解，只能得到近似解或作定性分析；,非线性系统的解不再具有迭加性；,非线性振动（非线性动力学）是目前数学、力学、物理学、生物学、社会科学等多个领域研究的热点和前沿。,3,按受力分类：,b.,强迫振动,（受迫振动）：,按解的周期性分类：,a.,自由振动,：,b.,非周期振动,：,a.,周期振动,：解是周期的。,有阻尼自由振动（衰减振动）：,如,如,无阻尼自由振动：,如,如简谐振动（线性系统），倍周期运动（非线性系统）,如自由衰减振动（线性系统），概周期运动、混沌运动（非线性系统）,了解上述概念对今后的学习和工作是有益的！,4,如：非线性转子（有非线性油膜力和汽流力）在不平衡激励（周期的）下的响应（辛晓辉,2005,）：,周期,1,周期,2,周期,4,混沌,分岔图,相图,Poincar,映射图,混沌吸引子,5,P,Q,Q,C,O,A,B,20-2,振动微分方程的建立,除牛顿第二定律外，可以试用各种动力学方法建立,振动微分方程,。只是将列出的动力学方程写成位移坐标的导数形式,事实上是含（角）加速度的动力学方程,。,例,1,（例,12-1,改）在重物下加弹簧，设初始静止，弹簧为原长，弹簧系数为,k,。,可用多种方法建立振动微分方程。,对本题，你会用什么方法？哪种方法有效？,动能定理；,动量定理；,动量矩定理；,达朗贝尔原理（动静法）；,动力学普遍方程；,拉格朗日方程。,机械能守恒定律；,对本题，共,6,大类方法有效。,6,解,：（动能定理）,研究整体。,设重物自初始上升,s,，,各物体速度如图。,代入,(1),式，整理得,对,t,求导，得,代入,(2),式，整理得标准振动方程：,(1),(2),含常数项，非标准形式,你可以试一下其它方法。,事实上，,x,为重物从平衡位置开始的位移（坐标）,P,Q,Q,v,v,C,C,O,A,B,s,s,x,x,7,20-3,固有频率的求法,一、通过建立振动微分方程求,二、能量法,两种方法：,对单自由度、无阻尼、线性、自由振动系统，你已经会用各种动力学方法建立振动微分方程，写成标准形式：,固有频率指无阻尼线性系统的固有频率。,0,即系统的,固有频率（圆频率）,。,对单自由度、无阻尼、线性、自由振动系统，其解一定为：,位移振幅：,速度振幅：,最大势能,零势能点为平衡位置,8,例,2,求例,1,中系统振动的固有频率。,解,2,：,（能量法）,设重物自初始上升,s,，,各物体速度如图。系统在任一位置的动能：,设系统在,静平衡位置,时，弹簧伸长量为,s,0,。,解,1,：,（通过建振动方程求）,例,1,已求得标准振动方程：,则系统振动的固有频率为：,则,则系统振动时最大动能：,而速度振幅：,P,Q,Q,v,v,C,C,O,A,B,s,s,x,x,s,0,9,P,Q,Q,C,O,A,B,F,设系统,静平衡位置为,0,势能点,，此时弹簧伸长量为,s,0,，,系统在任一位置的势能为,在静平衡位置，给系统虚位移，由虚位移原理：,则系统势能：,而位移振幅：,则系统最大势能：,P,Q,Q,v,v,C,C,O,A,B,s,s,x,x,s,0,10,在静平衡位置，考虑,滚子、滑轮、重物,的平衡：,系统为单自由度自由振动，由能量法：,即,注：也可由静力学平衡方程求出关系式：,考虑如何求？,P,Q,Q,C,O,A,B,F,E,作业：,20-5,，,20-7,（试用两种方法求）,11,20-4,（无阻尼）自由振动,一、模型,两种最简模型如图。,直线振动,二、振动方程,式中：,（无阻尼）固有（圆）频率,固有周期,固有频率,或,(1),三、方程的解,由常微分方程理论知方程,(1),的解：,振幅,相位角,初相角,扭转振动,对扭转振动：,扭转刚度,式中,A,和,为由初始条件确定的两个常数。,12,20-5,衰减振动（有阻尼自由振动）,一、模型,二、振动方程,式中：,衰减指数,或,(2),三、方程的解,由常微分方程理论知方程,(2),的解：,式中,A,和,为由初始条件确定的两个常数。,最简模型如图。,（粘性）阻尼系数,c,阻尼固有频率,振幅衰减,无量纲阻尼比,阻尼大小决定振动形态：,1,（,1,（,0,）过阻尼,不振动。,通常讲的衰减振动即此种情形，如图。,13,20-6,强迫振动（受迫振动）,一、模型,二、振动方程,或,(3),三、方程的解,由常微分方程理论知方程,(3),的解：,当,t,足够大时，第一项趋于,0,。,最简模型如图。,设简谐激励。,非齐次方程,对应齐次方程的通解：,该非齐次方程的特解：,强迫振动通解,通常总关心稳态解,强迫振动,稳态解,(4),可见，对线性系统，周期激励下的稳态解一定是周期的，且与激励频率相同，但相位滞后。而非线性系统则不一定如此。,14,四、稳态解的幅频特性和相频特性,将稳态解,(4),代入方程,(3),，可求得稳态解的两个常数：,当系统一定时，,d,、,为常数。我们特别关心当激励幅值,f,一定时，外激励频率,的变化对振动的影响。因此,B,和,为,的函数,，故称之为,幅频特性,和,相频特性,。其关于,的曲线分别称为,幅频,(,特性,),曲线,和,相频,(,特性,),曲线,。如图。,式中,频率比,静力偏移,共振点,15,对非线性振动，幅频特性曲线有明显的区别：,如：单质体振动筛，如图,1,。其幅频特性曲线如图,2,。,1,2,3,4,5,6,7,8,筛体（,1,）、支撑橡胶弹簧（,2,）、导向板簧（,3,）、硬式非线性主振簧（,4,）、电机（,5,）、弹性曲柄连杆（,6,）、支架（,7,）、基础梁（,8,）。,图1,X,/mm,n,/rpm,工作区,15,12,9,6,3,0,800,700,600,图2,16,又如：在考虑压电材料非线性时，压电超声电机（,USM,）,定子主共振响应（高健,2005,），如图,3,。,振幅,/,a,激励频率失调参数,/,图,3,阴影部分：不稳定,17,20-7,多自由度系统振动简介,多自由度系统（均指线性）的振动与单自由度系统最本质的区别是：,多自由度系统具有,振型,的概念,。,一般地，,n,自由度系统具有,n,个固有频率和,n,个振型（,固有振型,、,模态,）。,如：,2,自由度系统具有,2,个固有频率和振型。,1,阶振型,2,阶振型,对连续体，可通过离散，化为有限多自由度系统。,有限元分析,是最常用的一种方法。常用软件有,ALGOR、ANSYS、ADINA,等,。,还,可以通过,模态分析,实验得到结构的各阶固有频率和振型。,18,如：电吉他模态,通过实验模态分析，测出电吉他的前,4,阶模态：,19,又如：基于计算模态分析的动画。,基于计算模态分析，模拟刚体碰撞发出的声音。,20,下次课预习,：,不用再预习了！准备复习考试吧！,祝大家有个好的考试成绩！,再 见！,愿大家不断努力，自强不息！,谢谢大家！,联系我,：,lili_tju,更有好的,学习方法,和,学习品质,！,21,