第五节行列式按行(列)展开.ppt

上页,下页,铃,结束,返回,首页,第五节 行列式按行（列）展开,为了解决这个问题,一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式的计,算要简便,于是,自然地考虑用低阶行列式来表示,高阶行列式的问题,.,本节我们要解决的问题是：,如何把,高阶,行列式降为,低阶,行列式,行列式的计算转化为低阶行列式的计算,.,引言,从而把高阶,先学习余子式和代数余子式,的概念,.,一、余子式和代数余子式,A,ij,叫做元素,a,ij,的,代数余子式,.,和第,j,列划去后,中的相对位置组成的,n,-1,阶行列式叫做元素,a,ij,的,余子式,记,A,ij,=,(,-,1),i,+,j,M,ij,剩下的元素按它们在原行列式,记作,M,ij,.,定义,在,n,阶行列式中,把元素,a,ij,所在的第,i,行,行列式,M,23,=,A,23,=,=-M,23,元素,a,23,的,余子式,元素,a,23,的,代数余子式,(,-,1),2+3,M,23,注意：,1,.,行列式某个元素的余子式和代数余子式只和,此元素的,位置有关,而与,此元素的值无关,.,2,.,行列式某个元素的余子式和代数余子式最多,相差一个,正负号,.,3,.,行列式某个元素的余子式和代数余子式比,原行列式,低阶,.,二、行列式按行,(,列,),展开法则,除,a,ij,外都为零,余子式的乘积,引理,一个,n,阶行列式,如果其中第,i,行所有元素,那么这行列式等于,a,ij,与它的代数,即,D=,a,ij,A,ij,.,证明略,定理,行列式等于它的任一行,(,列,),的各元素,与其对应的代数余子式乘积之和,即,或,这个定理叫做,行列式按行,(,列,),展开法则,也称为：,作用：,将,高阶,行列式的计算转化为,低阶,行列式的,计算,.,Laplace,(,按行列,),展开定理,.,证明,根据引理,即得,类似地可证：,证毕,由定理还可得下述重要推论：,对应元素的代数余子式乘积之和等于零,.,即,或,推论,行列式某一行,(,列,),的元素与另一行,(,列,),的,把行列式,D,=det(,a,ij,),按第,j,行展开,有,在上式中把,a,jk,换成,a,ik,(,k,=1,2,n,),，,可得,证明,当,i,j,时,故行列式等于零,上式右端行列式中有,两行元素对应相同,即得,第,i,行,第,j,行,上述证法按列进行,证毕,即可得,分析：,此例上节课已经利用行列式性质计算出结果,在本节可利用行列式按行,(,列,),展开法则计算,但最好是将两种方法结合在一起来使用,.,例,1,计算四阶行列式,解,保留,a,33,把第三行其余元素变成,0,按第三行展开,称为,n,阶,范德蒙德,(,Vandermonde),行列式,.,证明：,例,2,行列式,当,n,=2,时，,结论成立,.,设对于,n,-1,阶,的范德蒙德行列式结论,成立，,在,n,阶,范德蒙德行,列式中,n,-2,行的,a,1,倍,.,减去它上一行的,a,1,倍，,现在来看,n,阶,的情形,.,第,n,行减去第,n,-1,行的,a,1,倍,有,证明,对,n,用归纳法,.,第,n,-1,行减去第,也就是由下而上依次地从每一行,a,2,-,a,1,按第,1,列展开,并把列的公因子,(,a,i,-,a,1,),提出,上式右端行列式是,n,-1,阶,范德蒙德行列式,纳法假设,2,j,i,n,.,故,证毕,按归,它等于所有,(,a,i,-,a,j,),因子的乘积,其中,例如：计算如下行列式的值,.,由,行列式,的性质可知：,解,显然，此行列式是,4,阶,范德蒙德行列式,a,1,=,1,a,2,=,2,，,a,3,=,3,a,4,=,4.,故,仿照上述推论证明中所用的方法,det(,a,ij,),按第,i,行展开的展开式中,依次代替,a,i,1,a,i,2,a,in,，,可得,在行列式,用,b,1,b,2,b,n,类似地,用,b,1,b,2,b,n,代替,det(,a,ij,),中的第,j,列,，,可得,D,的,(,i,j,),元的余子式和代数余子式依次记作,M,ij,和,A,ij,求,A,41,+,A,42,+,A,43,+,A,44,及,M,11,+,M,21,+,M,31,+,M,41,.,例,3,设,A,41,+,A,42,+,A,43,+,A,44,（因为行列式中有两行元素对应相等）,解,=,1,A,41,+1,A,42,+1,A,43,+1,A,44,M,11,+,M,21,+,M,31,+,M,41,=,1,A,11,+(-1),A,21,+1,A,31,+(-1),A,41,1.,直接用行列式定义计算,;,三、行列式的计算方法,到目前为止,行列式的计算是我们这一章的重点,须掌握的基本技能,.,行列式有以下三种计算方法,:,我们已能计算任意阶的行列式,.,也是同学们必,2.,利用性质化为上,(,下,),三角形行列式,;,3.,利用按行,(,列,),展开式法则降阶,.,余子式和代数余子式,主要内容,行列式按行,(,列,),展开法则及其推论,第五节 行列式按行,(,列,),展开,