孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.9 布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动.ppt

3.9,布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动,本节主要内容：,二、,均匀磁场中自由电子的量子化理论,三、,德哈斯-范阿尔芬效应,四、,回旋共振方法,一、,恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动,1.,恒定磁场,中的准经典运动,准经典运动的两个方程：,一、恒定磁场中布洛赫电子的准经典运动,所以，在,空间中，波矢 满足：,1).,垂直于 的方向,2),.(波矢的变化)垂直于 的方向,说明电子沿着等能面运动,因而,在,k,空间,电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动,.,说明,k,沿磁场方向的分量和电子的能量是运动常量,自由电子的等能面是球面,与,k,z,垂直的平面与等能面的交线就是一系列圆,.,(1),电子在 空间的,运动图象,在,k,空间，电子总是沿着垂直于磁场的平面和等能面的交线运动,以,自由电子为例,加以讨论：,k,z,保持不变,在,k,x,k,y,面内做匀速圆周运动,回转的频率,(2)电子在,实空间,的运动图象,电子在,r,空间做,螺旋运动,，即在,垂直磁场,的平面内做匀速圆周运动，回旋频率为,以上讨论的是自由电子，对于布洛赫电子，由于晶格周期场的作用，闭合轨道并不一定是圆形，但形式上仍可写成：,相应的周期为：,设,(,k,),是垂直于磁场的轨道平面内能量为,和,+,两个等能面间法线距离。,如图：,由 得：,与 比较可知：,它与只和电子态有关的电子的有效质量不一定相同。,对方程 两边用 叉乘，得：,所以,电子在实空间的轨道可由在,k,空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘以因子 得到,.,电子在实空间的轨道可由在,k,空间的轨道绕磁场轴旋转90度,并乘以因子 得到,.,二、均匀磁场中自由电子的量子化理论,考虑边长为,L,的立方体,以它们的边长为,x,y,z,轴,外磁场平行于,z,轴且均匀,.,即：,自由电子在外加磁场(沿,z,轴方向)的哈密顿算符为：,：电子的,运动学动量,，,：电子的,场动量,，,：,矢量势,1.,朗道能级,则由于 且,中不含,x,，,z,所以它和算符 及 是对易的。根据量子力学，可选 的本征波函数同时为 的本征波函数。,可令,这时波函数可以写成,：,代入方程 得到:,与量子力学中谐振子方程比较可知，上式是一个中心在,y,0,的谐振子波动方程,。,谐振子能量,回旋频率,电子的能量,由量子力学知,从准连续的能量 变成(,n,+1/2),c,沿磁场,B,方向,电子保持自由运动,相应的动能为,在与磁场垂直的,k,z,常数的平面内,轨道是量子化的,.,这些量子化的能级称为,朗道能级,。,在垂直磁场的,x,-,y,平面上,电子的运动是量子化的,电子的能量,因此，电子的能量从准连续的,能谱,变成一维的,磁次能带,如图,每个磁次能带是一条抛物线,开口向上.磁次能带的能量极小值是：,由于能量波矢关系的改变,在,k,空间描写状态的代表点的分布也改变了.,在没有外磁场时,状态的代表点在 平面是均匀分布的,每个代表点占据的面积为：,在有外磁场,B,时,，平面上的能量变为：,变成了谐振子，其中心位置在 ,代表电子的平均位置,可以位于晶体中不同的地点。所以：,这个数目代表,由于线性谐振子中心位置的不同而产生的简并度,。,可知,当,n,等于某整数时,在 平面内是一个圆环,称为朗道环.两个,相邻圆环之间的面积,为：,是一个,正比于外磁场的常量,在此面积中含有的原来没有外磁场时的状态数为：,即,简并度,。,包含了所有的简并态。,加了外磁场后,，这些,代表点都聚合到了圆周上,。,无外磁场,有外磁场,由于沿磁场方向 仍准连续变化,所以在三维,k,空间的代表点将聚集到一系列圆柱面上,每一个圆柱面对应一个确定的量子数,n，,最后形成所谓的,朗道管,。,n,一定，电子的能带是一条抛物线，,n,=0,是最低的次能带，,n,增加，次能带向上移，如图给出磁次能带的简图。,如图所示，在,波矢空间,形成一系列,“,圆柱面,”,，每一个圆柱面对应一个确定的量子数,n,，,可以看成是一个子带，在每一个子带中,只有一维自由度,k,z,。,电子的能量由,准连续的能谱,变成一维的,磁次能带,。,n,=,3,n,=,2,n,=,1,n,=,0,B,=,0,0,自由电子在磁场,中的能量,不同的,y,0,并不影响谐振子的本征值,，而,y,0,又依赖于波矢分量,k,x,，,因此不同的状态可能会是简并态。,其简并度是多少呢？,2.朗道能级简并度,该范围内的,波矢数,为：,朗道能级简并度,(考虑自旋),：,此简并度与磁感应强度,B,和晶体在垂直于磁场方向的截面积成正比，与能级序号无关，即无论,n,为何值，简并度不变。,有外磁场,无外磁场,在恒定磁场下形成朗道能级，实际上只是量子态的一种重新分布，量子态的总数是不变的。,3.,布洛赫电子的轨道量子化,对于布洛赫电子，电子的半经典闭合轨道将按玻尔量子化条件来量子化。即：,可以证明：布洛赫电子的闭合轨道在,k,空间所围面积也是以,这与自由电子相同,相邻闭合轨道的能量差为:,三、德哈斯-范阿尔芬效应,(de Hass-Van Alphen effect),德哈斯,-,范阿尔芬效应,是,1930,年,de Hass,和,Van Alphen,在低温、强磁场中研究,铋单晶的磁化率,时发现的,.,他们发现,低温下强磁场中金属的磁化率随磁场倒数,(1/,B,),周期性振荡,人们把这种现象称为,德哈斯,-,范阿尔芬效应,.,后来,人们进一步研究发现,电导率、比热,等物理量在低温下强磁场中也有类似的振荡现象,这些现象同金属,费米面,附近电子在强磁场中的行为有关,因而,它是研究金属费米面的一种有力工具。,在磁场中,电子的能级形成一系列高度简并的分立能级,类似于简谐振动的能量量子化,使得电子气系统能量随磁感应强度发生变化,从而导致磁化率随磁场的振荡,.,这就是产生,德哈斯-范阿尔芬效应的原因,下面我们以,二维自由电子系统,为例对,德哈斯-范阿尔芬效应,进行简单说明。,由于绝对零度时，电子系统的最高能量为,费米能量,，它所包围的面积就是费米圆的面积。,加上磁场后,费米圆内的状态收缩到朗道环上,但,总状态数目不变,.,外磁场,B,的变化,将引起朗道能级间距的变化,.,因此，,总能够通过改变磁场的大小,，使得费米园内的状态,恰好填满某一朗道能级,。,磁场增大,朗道环上的简并度增加,而总电子态数目一定,所以,随着磁场的增大,电子对应的,填满的朗道能级的级次变小,即,n,变小,.,图,3.32,朗道能级填充状况随,磁场增大,的变化,随着磁场连续变化，,相邻两个系统能量增量为零的范围,对应一个能量周期,。,如果以电子系统能量增值为零的两个相邻1/,B,值之差，表示系统能量变化的周期.则：,由于对二维自由电子系统：,为常数。,所以，,系统能量变化的周期,为：,由于系统的磁化强度和单位体积的,自由能,满足：,亦即,和磁场垂直的费米圆面积随周期的变化而变化,，周期大，则对应费米面积小。,所以,系统的磁化率也将以,1/B,为变量振荡。,所以,磁化强度将以,1/,B,为变量振荡,.,由于系统的磁化率为：,系统的磁化率随1/,B,变化的周期也将是：,在低温下，从实验上测出,随1/,B,变化的周期，便可确定 ,即,垂直磁场方向的费米面的极值面积。,因而，,只要从实验上测定,磁化率,在不同方向上随1/,B,的变化周期,，便,可确定沿不同晶向的费米面,，,进而得到金属费米面的形状。,对于二维自由电子系统,朗道能级简并度,：,小结：,所以,磁场,B,增大,则朗道能级的简并度变大,也就是每一朗道能级上电子数目变多.,假如,当磁场,B=B,1,时,电子恰好填满了,n-1,个朗道能级;而磁场,B=B,2,时,电子恰好填满了,n,个朗道能级;则,B,2,B,1,磁场,B,越强,则,N,个电子所需占据的朗道能级的级次越小.,每当调节磁场恰好,填满一个级次,则相应能量增量为零;,而当,一个级次的能量恰好和费米能量相等,则相应能量增量最大.两次最大或最小间相应的,(,1/B),即为所求的周期.,对于三维情况，我们不再讨论。,总之,对于自由电子系统,磁场的引入,导致系统能量增大,能量的增量依赖于,这就导致能量增量随1/,B,发生周期性变化,从而导致磁化强度或磁化率随1/,B,发生周期性变化.,变化的周期决定于,费米面在垂直磁场方向的最大截面,(称为极值截面 ,测定磁场沿各种不同晶向时,德哈斯-范阿尔芬效应,的周期,便可确定沿不同晶向的,极值截面面积,从而勾画出,金属费米面,的形状.,变化的周期与费米面在垂直磁场方向的最大截面 的关系为：,四、回旋共振方法,(,cyclotron resonance),在恒定外磁场作用下,费米面上由一个电子的,k,矢量所描绘的轨道,就是费米面与一个垂直于,B,的平面的交线.对于一个闭合轨道,具有确定的,回旋频率：,这是所有研究费米面方法的核心.,回旋共振实验,是,在施加磁场的同时,在垂直磁场方向加上频率为,的微波场,通过与微波场的共振来观察,回旋频率,c,.,实际上的程序是保持,微波场的,频率,不变,而改变磁场的大小,当,=,c,时,微波场的能量将迅速被电子共振吸收，从一个,朗道能级跳到另一个高能量的朗道能级上.这样,测量磁场与,微波吸收功率的关系曲线,就可得电子沿,闭合轨道运动的,回旋,频率,c,.进而得到,电子的有效质量.,回旋共振实验,是一个很精致的实验,它要求：,(1),样品很纯净；,(2),测量温度极低而磁场很强；,这两个条件是为了保证在目前可实现的磁场范围内,让电子在两次相邻的碰撞时间间隔内,绕,B,旋转许多圈，形成位相相干的回旋轨道.从而观察到明显的吸收峰(较小的吸收线宽和较大的吸收强度).,金属材料的各种物理过程，大部分都与费米面附近的电子行为有关，所以，从实验上测出费米面就很重要了。目前，用得最多的实验是,德哈斯,-,范阿尔芬效应,和,回旋共振法,。,不过，这些效应仅仅对,闭合轨道,有效，比如可以测出金属铜费米面存在“肚子”、“脖子”、“狗骨头”等形状。但是对于一个多连通的费米面，还存在,开轨道,，开轨道的信息可由,高场磁致电阻效应,的测量来判断。,