第8章 阻抗和导纳.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,变换方法的概念,复数,振幅相量,相量的线性性质和,基尔霍夫定律的,相,量形式,三种基本电路元件,VCR,的相量形式,VCR,相量形式,的统一,-,阻抗与导纳的引入,相,量模型的引入,正弦稳态混联电路分析,相量模型的网孔分析和节点分析,相量模型的等效,有效值与有效值相量,*相量图法,第8章 阻抗和导纳,本章讨论单一频率正弦电源作用下的动态电路分析。,以一,RC,电路为例讨论。,电路如图，已知：,求,解：由,KCL,得方程,正弦电源作用下的一阶电路,(1)式通解为：,其中,设,将(3)、(4)代入(1)式，化简可得：,比较(5)式两边可得：,即(1)式通解为：,代入初始条件(2)式，得：,方程(1)满足初始条件的解为：,自由分量(暂态分量),强制分量(稳态分量),自由分量的绝对值随时间按指数规律衰减，因此又称为暂态分量。,强制分量是与电源同频率的正弦量，当,t,=,，,响应中只剩下该正弦分量，此时称电路进入了正弦稳态。(工程上认为，时间为 或 时，电路已进入稳态。),暂态分量的初值与 有关。若 ，则暂态分量为零，电路直接进入稳态；若 或 ，则暂态分量初值为 ，暂态分量在最初一段时间绝对值较大，使,u,c,在这段时间某些瞬时可能产生过电压。下图 为,u,=0,时,u,c,波形图。,由于,u,与,i,有关，而,i,与计时起点（即开关动作的时刻）有关，因此开关动作时刻的不同将会影响暂态分量的大小。,稳态分量,暂态分量,8,-1,变换方法的概念,由此例可知：,（,a,）变换方法可使运算简化；,（,b,）与直接求解不同，需经三个步骤；,（,c,）要知道如何“,变换,”和“,反变换,”。,求解,解,：,取对数（变换）,2.35,lg,x,=,lg,5,运算（除法）,答案（反变换）,例,：,复数的表达形式,直角坐标形式：,其中,a,1,、a,2,均为实数，,a,1,是,A,的,实部,，,a,2,是,A,的,虚部,。,向量表示：,a：,复数,A,的,模,：,复数,A,的,辐角,有：,8,-2,复数,三角函数形式：,指数形式（极坐标形式）：,根据欧拉公式：,可得：,简写作：,A a ,例1,：已知 ，求其极坐标形式。,解：,故,A44.72 -116.57,o,例2：,已知,A=13 112.6,o,，,求其直角坐标形式。,解：,复数的运算,取实部、取虚部,设,则,加减法运算,设,则,乘除运算,设,则,或,例：,设,则,随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流（有时又称为交流电压和电流），它们的瞬时值可用时间,t,的,sin,函数或,cos,函数表示，在以后的讨论中，均将它们表示为,cos,函数。,给出正弦电压（电流）瞬时值表达式时，一定要先给出其参考方向。表达式和参考方向一起可确定正弦电压（电流）任一时刻的真实方向。,8,-3,振幅相量,正弦量的三要素,振幅,I,m,I,m,是电流,i,的最大值。,角频率,是,i,的相角随时间变化的速度，称为角频率。单位：弧度/秒，或写作(1/秒),电流,i,的频率为,f,(,赫兹、周/秒)，周期为,T,(,秒)，有如下关系,初相位,i,i,是,t=0,时刻,i,的相位，称为初相位（初相角）单位：弧度、度。,由于,cos,函数是周期函数，故,i,是多值的，一般取,i,的值与计时起点的选择有关。,i,0,i,0,i,0,同频率正弦量的相位差,例:,u,与,i,的相位差,u i,（,可简计为,）为：,同频率正弦量的相位差等于其初相位之差。,相位差,的单位：弧度、度。,相位差,是多值的，一般取,。,同频率正弦量相位差的几种情况,u,与,i,正交,u,与,i,同相,u,超前,i,u,与,i,反相,u,滞后,i,例1：,已知,求,u,1,与,u,2,的相位差,。,解：,即,u,1,超前,u,2,(2,/3),弧度。,例2：,已知,求,u,与,i,的相位差,。,解：,u,超前,i,(2,/3),弧度。,即,一个正弦量的振幅相量是复常数，其模是该正弦量的振幅值，其辐角是该正弦量的初相位。若给定正弦量的角频率，则正弦量与其振幅相量间一一对应。,相量的运算规则即复数的运算规则。相量也可用向量图表示，称为,相量图,。,可表示为：,设某一正弦电流为,定义：,称 为电流,i,的,振幅相量,。,有：,可记为,正弦量的相量表示,求相量 及 ，并画出相量图。,例1：,已知,解：,画相量图时，和 的长度采用不同的比例。,由 知,也可直接写出正弦量表达式,：,得：,例2：,已知,求,i,1,及,i,2,。,解：,8.,4,相量的线性性质和基尔霍夫定律的相量形式,例：正弦稳态电路的某节点如图所示，已知,i,3,i,2,i,1,同频率正弦量之和仍为一同频率的正弦量,由此可设想：,i,1,、,i,2,和,i,3,的关系也可用相量表示，即,检验：,因此，正弦稳态电路,KCL,可表为,基尔霍夫电压定律,时域方程：,（对任一回路）,在正弦稳态电路中，所有电压和电流都是同频率正弦量，对上式两边同时取相量，有,相量形式方程：,（对任一回路）,基尔霍夫电流定律,时域方程：,（对任一节点）,相量形式方程：,（对任一节点）,注意相量求和的含义！,例1：,已知,，求,i,3,。,解:,例2：,已知,，求,u,ac,。,解：,8.5,三种基本电路元件,VCR,的相量形式,电阻元件,时域方程：,正弦稳态电路中，设,则,对时域方程两边同时取相量，得：,相量形式方程：,相量方程可分为两个实数方程：,特点：,u,与,i,同频率的正弦量，相位相同，最大值之间满足欧姆定律；,u,与,i,幅值之比等于,R。,电感元件,时域方程：,正弦稳态电路中，设,则,对时域方程两边同时取相量，得：,相量形式方程：,相量方程可分为两个实数方程：,特点：,u,超前,i,(,/2),弧度,；,u,与,i,幅值之比等于,L，L,反映电感对正弦电流的阻碍作用，这一阻碍作用随着电源频率的升高而增大,。,电容元件,时域方程：,正弦稳态电路中，设,则,对时域方程两边同时取相量，得：,相量形式方程：,相量方程可分为两个实数方程：,特点：,u,滞后,i,(,/2),弧度,；,u,与,i,幅值之比等于(1/,C),它反映电容对正弦电流的阻碍作用，这一阻碍作用随着电源频率的升高而减小,。,相量方程分别为：,8.6 VCR,相量形式的统一,-,阻抗和导纳的引入,电阻元件：,电感元件：,电容元件：,阻抗定义：,元件,VCR,统一表述为：,导纳定义：,元件,Z,R,R,C,L,阻抗表,导纳表,对于电容、电感,:,元件,Y,R,C,L,容抗：,感抗：,对于电容、电感,:,感纳：,容纳：,*受控源,时域方程：,正弦稳态电路中，各电流、电压均为同频率的正弦量。对时域方程两边同时取相量，得：,相量形式方程：,VCVS,VCCS,CCCS,CCVS,VCVS,VCCS,CCCS,CCVS,8-7,相量,模型,的引入,两类约束的类比：,电阻电路的时域形式,正弦电路的相量形式,两类约束是分析集总电路的基本依据。引用相量并引用阻抗,(,导纳,),，上述典型问题可以仿照电阻电路处理方法来进行。为便于仿照，引入相量模型。,相量模型的获得,拓扑结构与原电路相同；,各电流电压变量及独立电源用其相量表示（电流和电压相量为待求相量，独立源相量为已知相量。）；,R,、,L,、,C,元件用其阻抗或导纳表示；,受控源参数不变。,相量模型的求解,分析相量模型的约束条件是两类约束条件的相量形式。将,R,、,L,、,C,元件参数统一用阻抗或导纳表示后，以前推得的分析电阻电路的所有方法和定理均可用于分析相量模型。,用相量法分析正弦稳态电路的步骤,画出原电路的相量模型；,分析相量模型（可用各种分析方法），求出待求电流、电压的相量；,给出原问题的解（写出待求电流、电压的时间表达式或回答其它问题）。,若,题目中未给出电源以及所有电流、电压的初相位，即未规定计时起点，解题时要令某一电流或电压初相位为零（对应相量为参考相量），然后进行求解。,例：,正弦稳态电路如图。已知电源,u,的频率为,800Hz,，振幅值为,2V,，,求,I,m,、,U,Rm,、,及,u,与,u,R,的相位差,。,解：,原电路的相量模型如下图所示,令 为参考相量，即,由,KVL,，,有,阻抗的串联，具有分压的作用,分压公式：,等效阻抗：,串联阻抗的计算与电阻电路中串联电阻的计算形式上是一致的。,阻抗的串联,阻抗的串、并联电路分析,Z,1,Z,2,Z,k,Z,n,+,-,U,km,Um,导纳的并联，它具有分流的作用,分流公式：,等效导纳：,阻抗的并联,阻抗的倒数定义为导纳，记为,Y,。,I,m,I,km,Y,1,Y,2,Y,k,Y,n,若是两个阻抗并联，有：,导纳并联时，等效导纳等于各导纳之和。,式中,阻抗和导纳的等效变换：,一个无源二端电路既可用一个阻抗表示，也可用,导纳表示。在满足 或 的条件下，两,者可等效变换。,由本例可知，含电感和电容的串联电路中，元件电压有可能大于总电压。但若串联电路中仅含电感和电阻，或仅含电容和电阻，总电压一定大于元件电压。,例：,已知,R=30,L=100,(1/C)=60,，,U,Cm,=60V,，,求,U,m,。,解：,R,I,m,j,w,L,C,j,w,1,-,U,m,U,Rm,U,Lm,U,Cm,含电感和电容的并联电路中，元件电流有可能大于总电流。但若并联电路中仅含电感和电阻，或仅含电容和电阻，则总电流一定大于元件电流。,例：,已知,R=15,，,L=20,，,U,1m,=120V,，,求,I,m,。,解：,R,I,m,U,1m,I,Rm,I,Lm,j,w,L,例：已知,i,(t,),原电路,u,(,t,),-,-,+,+,-,-,+,+,R,C,相量模型,+,+,+,+,-,-,-,-,U,m,I,m,Z,R,Z,C,8-8,正弦稳态混联电路的分析,（负号表示,i,超前,u,，相位差角为,）,U,m,I,m,141,.,3,0,0,+,+,+,+,-,-,-,-,U,m,I,m,Z,R,Z,C,解：,例：,已知,R,1,=10,，,L=0.5H,，,R,2,=1000,，,C,10F,，,=314,弧度,/,秒,，,U,Sm,100V,。求 。,R,2,I,m,U,Sm,I,2,m,I,1m,j,w,L,C,j,w,1,-,R,1,令 为参考相量，即,R,2,I,m,U,Sm,I,2m,I,1m,j,w,L,C,j,w,1,-,R,1,),(,3,.,52,6,.,0,3,.,52,99,.,166,0,100,A,Z,U,I,o,o,o,Sm,m,=,-,=,=,&,&,R=5,，,L=,5,，,1/C=,2,，,求 、。,解：,用网孔法求解,例,1,：,正弦稳态电路如图，已知,，,，,8-8,相量模型的网孔分析和节点分析,j,L,C,j,1,-,I,1m,I,2m,R,+,-,+,-,I,1m,I,2m,I,3m,U,S1m,U,S2m,解得,j,L,C,j,1,-,I,1m,I,2m,R,+,-,+,-,I,1m,I,2m,I,3m,U,S1m,U,S2m,例,2:,正弦稳态电路如图，,求,u,1,(t),。,解：,电路相量模型如图,:,节点法例,1,2,0,I,s1m,2,U,1m,+,-,U,1m,1,I,s,2m,j2,-j,j,其中,:,用节点法求解，节点方程为：,整理得,解得,1,2,0,I,s1m,2,U,1m,+,-,U,1m,1,I,s,2m,j2,-j,j,网络,N,0,是正弦稳态电路中不含独立源的线性单口网络，其电压和电流分别为：,定义,称,Z,为网络,N,0,的输入阻抗,又称等效阻抗或简称为,阻抗,。,Z,是复数，可表示为：,、,Z,、,R,、,X,的单位均为,欧姆,。,其中,为网络,N,0,阻抗,Z,的模；为,N,0,的阻抗角；,R,为,N,0,的 等效电阻；,X,为,N,0,的等效电抗。,8-9,相量模型的等效,称,Y,为网络,N,0,的输入导纳,又称等效导纳或简称为,导纳,。,定义,Y,是复数，可表为：,其中 为网络,N,0,导纳,Y,的模；为,N,0,的导纳角；,G,为,N,0,的 等效电导；,B,为,N,0,的等效电纳。,、,Y,、,G,、,B,的单位均为西门子。,显然，对同一网络，有：,对于二端网络，,z,0,，,端口电压超前于端电流，称该二端网络呈感性；,z,0,电流超前于电压，该网络呈容性；若,z,=0,电流与电压同相，该网络呈电阻性。,N,0,i,+,-,u,R,jX,等效阻抗：,等效导纳：,等效转换：,G,jB,例,3,：,电路的相量模型如图所示。已知,试求 。,戴维南定理例,W,5,j,2m,U,&,W,-,5,j,1m,U,&,W,5,W,5,W,-,5,j,0m,I,&,解：,用戴维南定理求解,W,5,j,2m,U,&,W,-,5,j,1m,U,&,W,5,W,5,+,-,ocm,U,&,a,b,首先求开路电压 ，,由此图可求得 为,求,等效阻抗 ，电路如图所示：,AB,端的,戴维南等效电路如右下图所示：,W,-,5,j,0m,I,&,ocm,U,&,0,Z,8-9,有效值 有效值相量,若周期电流,i,的周期为,T，,则其有效值,I,定义为：,以电流为例讨论。,正弦电流 的有效值为：,有效值相量,同样可推得正弦电压,u,的有效值为：,有效值相量,两类约束的相量形式也可用有效值相量表示。按照国内习惯，相量是指有效值相量。相量图根据有效值绘制。,有效值 的物理意义：,周期电流,i,1,通过电阻,R，R,在一周期时间,T,内吸收的电能为,恒定电流,I,2,通过电阻,R，R,在,T,时间内吸收的电能为,若有,即,则有,例,1,：,已知,求网络,N,0,的阻抗和导纳。,解：,例,4,：,试用叠加定理求如图所示电路的电流 已知,叠加原理例,W,=,2,2,R,W,=,1,1,R,H,L,1,3,=,2,s,u,1,s,u,),(,t,i,解：,作用于电路的两电压源频率相同，作出 的相量模型图，计算任一电源单独作用时的电流。,根据叠加定理：,其中 和 分别是相量模型图中 和 时支路 的电流。,即,故得,