一阶线性微分方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、线性方程,二、伯努利方程,7.4,一阶线性微分方程,形如,y,P,(,x,),y,Q,(,x,),的方程称为一阶线性微分方程,并且当,Q,(,x,),恒为零时称为齐次线性方程,Q,(,x,),不恒为零时称为非齐次线性方程,一阶线性微分方程,考察下列方程是否是,(,或能否化为,),线性方程？,是非齐次线性方程,y,3,x,2,5,x,是非齐次线性方程,(2)3,x,2,5,x,y,0,(3),y,y,cos,x,e,sin,x,一、线性方程,一、线性方程,形如,y,P,(,x,),y,Q,(,x,),的方程称为一阶线性微分方程,并且当,Q,(,x,),恒为零时称为齐次线性方程,Q,(,x,),不恒为零时称为非齐次线性方程,一阶线性微分方程,齐次线性方程的通解,齐次线性方程,y,P,(,x,),y,0,是变量可分离方程,其通解为,提示,齐次线性方程的通解,解,:,原方程可变为,这是齐次线性方程,。,由通解公式得原方程的通解为,即,y,C,(,x,2),例,求方程,y,dx,dy,x,=,-,),2,(,的通解,.,提示,:,这里所用的方法称为常数变易法,这种方法就是把齐次线性方程的通解中的任意常数,C,换成末知函数,u,(,x,),然后代入非齐次线性方程并确定出函数,u,(,x,),提示,:,代入后得到,非齐次线性方程的通解,代入非齐次线性方程求得,齐次线性方程的通解,设非齐次线性方程,y,P,(,x,),y,Q,(,x,),的通解为,于是非齐次线性方程的通解为,非齐次线性方程的通解,代入非齐次线性方程求得,齐次线性方程的通解,设非齐次线性方程,y,P,(,x,),y,Q,(,x,),的通解为,积分得,注,非齐次线性方程的通解也可为,上式表明,非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和,非齐次线性方程的通解,齐次线性方程的通解,非齐次线性方程,y,P,(,x,),y,Q,(,x,),的通解为,解,（,1,）,非齐次线性方程,y,P,(,x,),y,Q,(,x,),的通解为,设：,例,1,求方程,2,5,),1,(,1,2,+,=,+,-,x,x,y,dx,dy,的通解,.,解（,2,）,由通解公式得,非齐次线性方程,y,P,(,x,),y,Q,(,x,),的通解为,例,1,求方程,2,5,),1,(,1,2,+,=,+,-,x,x,y,dx,dy,的通解,.,令,x,y,u,则原方程化为,以,u,x,y,代入上式,得原方程的通解,解,：,经过变量代换,某些方程可以化为变量可分离的方程,或化为已知其求解方法的方程,两端积分得,u,ln|,u,1|,x,ln|,C,|,。,y,ln|,x,y,1|,ln|,C,|,或,x,Ce,y,y,1,。,例,3,解方程,y,x,dx,dy,+,=,1,.,二、伯努利方程,叫做伯努利方程,伯努利方程,方程,(,n,0,1),，,下列方程是什么类型方程？,是伯努利方程,.,是伯努利方程,.,是伯努利方程,.,不是伯努利方程,.,令,z,=,y,1,-,n,得线性方程,伯努利方程的解法,以,y,n,除方程的两边,得,例,5,求方程,解,：,以,y,2,除方程的两端,得,令,z,y,1,则上述方程成为,这是一个线性方程,它的通解为,以,y,1,代,z,得所求方程的通解为,求下列各微分方程的解：,