第一章 计算声学中的数值计算及误差分析2.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,2,误差与数值计算的误差估计,有效数字的判断,精确值：,358.467,、,0.00427511,8.000034,、,8000.034,近似值：,358.47,、,0.0042751,8.0000,、,8000.0,分别有几位有效数字？,2,误差与数值计算的误差估计,有效数字,定义：设 的近似值 可以写成如下的标准形式,所以当其绝对误差限满足 时，称近似值 具有 位有效数字。,2,误差与数值计算的误差估计,结论：,如果,，有 位有效数字，则其相对误差限为,反之，如果 的相对误差限满足,则 至少有 位有效数字。,2,误差与数值计算的误差估计,例,1.3,要使 的近似值的相对误差小于 ，至少需取几位有效数字？,误差的传播与估计,实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是近似值，,带有误差,。而在进一步运算中都会产生,舍入误差,或,截断误差,，这些误差在运算过程中会进行,传播,，影响计算结果。,数值计算的误差估计,二元函数：，当 、时,2,误差与数值计算的误差估计,2,误差与数值计算的误差估计,泰勒（,Taylor,）公式估计误差的方法：,以二元函数 为例，设 和 分别是,和 的近似值，是函数值 的近似值。函数,在点 处的,Taylor,展开式为,2,误差与数值计算的误差估计,式中 ，,，一般都是小量值，如果忽略它们的高阶无穷小量，则上式简化为,的绝对误差：,2,误差与数值计算的误差估计,系数 、分别是一阶偏导数在 处的,值，称为 对 的绝对误差的,增长因子,，分别,表示绝对误差 经过传播后增大或缩小的,倍数。,2,误差与数值计算的误差估计,的相对误差：,分别是 对 的相对误差,的,增长因子,，表示相对误差 经过传,播后增大或减小的倍数。,由此可以得到两近似数 的和、差、积、,商的误差估计为,2,误差与数值计算的误差估计,2,误差与数值计算的误差估计,例,1.4,测得某电阻两端的电压和流过的电流分别,为 伏、安，求电阻的阻值 ，,并求 及 。,例,1.5,经过四舍五入得到 ，问他们,分别具有几位有效数字？，的,绝对误差限分别是多少？,2,误差与数值计算的误差估计,例,1.6,设 ，都精确到,2,位小数，,估计 的相对误差。,2,误差与数值计算的误差估计,在由误差估计式得出绝对误差限和相对误差限,的估计时，由于取了绝对值并用三角不等式放大，,是按照,最坏情形,得出的，所以结果是,保守,的。,一般来说，为了保证计算结果的精确度，在计,算过程中，比结果中所要求的有效数字位数,多取,1,位,或,2,位,就可以了。,2,误差与数值计算的误差估计,计算机只能对有限位数进行计算，从而在运算,中产生误差是不可避免的。许多实际问题的求解往,往需要进行成千上万次的数值计算，为了保证计算,结果的可靠性，必须,防止误差的产生、传播与扩大,。,3,选用和设计算法时应遵循的原则,3,选用和设计算法时应遵循的原则,选择算法应遵循的原则：,1.,算法是否稳定；,2.,算法的逻辑结构是否简单；,3.,算法的运算次数和算法的存储量是否尽量少。,减少运算误差的几项措施：,1.,选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传播；,在数值计算中，对于某一问题选用不同的算法，所得到,的结果往往不同，有时甚至大不相同。这主要是由于,初始数,据的误差,或计算时的,舍入误差,在计算过程中的,传播,因算法的,不同而异。对某一算法，如果初始数据的误差或舍入误差对,计算结果的影响较小，则称该算法是,数值稳定,的；否则，称,为,数值不稳定,算法。,3,选用和设计算法时应遵循的原则,例,1.7,计算积分,解：由,算法一：,将,代入递推公式分别计算，由于,3,选用和设计算法时应遵循的原则,所以 。的近似值所产生的误差每计算一次放大,10,倍，误差随,n,的增大迅速递增，因此算法一误差过大。,算法二,：,由后项递推前项，中的误差传递到 时下降为原来的,1/10,。由于,令：,3,选用和设计算法时应遵循的原则,代入递推公式分别计算，计算结果如表所示。,3,选用和设计算法时应遵循的原则,n,（算法一）,n,（算法二）,0,0.0953,12,0.00734,1,0.047,11,0.00760,2,0.03,10,0.00833,3,0.0333,9,0.00917,4,-0.083,8,0.0102,5,1.03,7,0.0115,6,-10.133,6,0.0131,3,选用和设计算法时应遵循的原则,2.,尽量简化计算步骤以便减少运算次数；,3.,避免两个相近数相减；,4.,绝对值太小的数不宜作除数；,5.,合理安排运算数序，防止大数淹没小数；多个数相加时，绝对值小者先加；多个数相乘时，有效位数多者先乘。,