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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,章 数字信号的最佳接收,问题提出,以二元码为例,1,发送端：二元通信发送两种波形以表达两种信息,接收端：试图从受噪声干扰的波形中识别出发送信息,观察到,r,(,t,),后，接收机该怎么做才是最佳的？,最佳的含义：误码率最小,信噪比最大（模拟通信）,2,在数字通信系统中，信道的传输特性和传输过程中噪声的存在是影响通信性能的两个主要因素。本章将要讨论的最佳接收，就是研究在噪声干扰中如何有效地检测出信号。,所谓最佳是在某种标准下系统性能达到最佳，最佳标准也称最佳准则。因此，最佳接收是一个相对的概念，在某种准则下的最佳系统，在另外一种准则下就不一定是最佳的。在数字通信中，最常采用的最佳准则是输出信噪比最大准则和差错概率最小准则。,3,贝叶斯接收机,数字信号接收的统计模型,MAP,准则（,MAP,接收机）,确知信号的相关接收机（,MAP,接收机的工程实现）,匹配滤波器,二元确知信号最佳接收机的性能,最佳基带传输系统,主要内容：,4,2.1,数字信号接收的统计模型,在数字通信中，人们更关心判决输出的数据正确率。因此，使输出总误码率最小的最小差错概率准则，更适合于作为数字信号接收的准则。为了便于讨论最小差错概率最佳接收机，我们需首先建立数字信号接收的统计模型。,5,2.2,确知信号的最佳接收机,一、贝叶斯接收机,数字通信系统的任务是传输数字信号，数字信号负载着各种媒体所表达的信息：,6,先验概率（,a priori probability,）：事件未发生就预先知道的发生概率，接收机的主要功能是作出判决，唯一的依据只是接收信号,是一个随机过程,。,7,当某一 已发出时，就具有条件概率密度函数：,接收机的任务就在于：在 内，观察 按一定的方法（准则）判断究竟是哪一个 包含在 中（所有确知波形 是事先约定的。接收端是已知的，或已存储于接收机中的），即判断哪一个 被发送，并把对应的消息 送给接收者。这一过程对应于统计数学中的“统计假设检验”问题（,Statistical Hypothesis Test,）。,8,这里选择的判决要达到的目标,“,错误概率极小化”称为这种最优化的“代价”（,cost,），他体现了最优化所追求的目标（,target,），或者说体现了这种最优化的价值取向。不同的代价下，优化的结果是不同的。,按以上命题的要求，可以在前面的数字通信系统（物理）模型基础上，建立接收过程的统计假设检验数学模型。（令,M,=2,，再推广到任意,M,）。,为噪声函数,假设 ：对应于信源发出 ，即 包含在,中,假设 ：对应于信源发出 ，即 包含在 中,9,概率转换机构,:,主要指噪声的引入，使信源发出消息的先验分布 转换为接收信号 的条件密度函数。,观察空间,：接收信号 的抽样空间，由所有对 的抽样的可能值的全体构成的实数空间。,10,11,实现 代价的方法不是唯一的。不管采用哪一种方法，判决都不可能是绝对无误的。,而绝不可能为,0,。,判决可能出现的错误有两种：,信源发出消息 ，却选取了 成立，称为第,类错误或称,“,虚报”错误（,false alarm,）。,信源发出消息 ，却选取了 成立，称为“第,类错误”或“漏报”错误（,false dismiss,）,即发送为,0,，接收却判决为,1,的错误。,即发送为,1,，接收却判决为,0,的错误。,12,不同的应用，两类错误的重要性不同。在通信中是同等看待两类错误，两种消息 具有同等重要性。总错误概率 平均错误概率,Min,假定在 期间，消息 被发出，但接收信号 的观察取样,r,却落入子空间 ，从而产生第,类错误。这一事件发生的概率：,同理，第,类错误产生的概率：,13,不管信源发出哪一种消息，接收判决的平均错误概率：,上式中，是先验概率为已知。在,r,已到达后是客观存在，可以获得的。,上式取极小化的唯一办法就是适当划分抽样空间。,14,代入 表达式，并化简，得,（从子空间 ，可以写出类似的表达式）,上式中：为固定值，且直观地 ，所以上式取极小化的必要条件是：选择门限，划分观察空间,S,使,15,上式中，所有概率表示都只能,0,，因此，只能有,16,或,如果信源发出的消息是先验等概,则使判决错误概率 的必要条件就是：,这就是说，要选择一种划分观察空间的（门限）方法，使接收取样一旦落入子空间,就一定满足以上条件，那么，这时所作出的选取 成立的判决结果就一定能达到平均判决错误概率,17,这一点，从 图可以清楚看见（在,内所有曲线,都在 曲线之下）。,反过来，能使 的条件，就是判决时选取,成立的条件，即,同时，从子空间,S1,出发，在积分过程中用,S1,置换,S0,可,以得到选取,H1,成立的条件为,18,从代价 出发，接收机作出判决的依据（准则）是：,这实际上是通过比较条件分布 的大小来作出判决。,*如果信源发出的消息并非先验等概，即,那么判决条件将变为,这时判决空间的划分就不是均匀的（不在中点）而是,向先验概率小的一边移动。,19,称为似然比（,Likelihood Ratio,）,是讨论统计检测问题的一个重要参量。它表示了在接收到的中 或 出现的可能性的相对大小，或 与 或 的相对接近程度。,有时也采用对数的形式,以似然比作判决准则的接收机统称贝叶斯,(,Bayes,),接收机,20,二、,MAP,准则（,MAP,接收机）,MAP,：最大后验概率,M,aximum,a,posteriori,p,robability,a posteriori:,拉丁文,后验,的意思,先验概率,：,a priori probability,未获任何观察的情况下，预先知道的，发送,s,1,(,t,),或,s,2,(,t,),的概率,写成概率的形式为：,21,利用概率论中的,Bayes,公式,代入,Bayes,判决准则，得：,表示接收波形 的观察取样已经得到时，信源实际发出 的（包含在 中）的条件概率值。它表示结果已知时，引起此结果的原因的统计状况,由结果去推测原因的概率，称为后验概率或逆概率。,上述判决准则即为极大后验概率（,MAP,）准则，以此建立的接收机称为,MAP,接收机。它是目前所有各种数字通信中接收机建立的基础。,MAP,准则不保证判断结果一定正确，但保证，如果这样判断的话，判断正确的概率是最大的，也即误码率最小。,22,推广到,M,进制，,MAP,接收机的结构图：,23,三、,MAP,接收机的实现,确知信号的相关接收机,MAP,判法的立足点：同时计算,M,个后验概率，立足于,M,种可能性的比较。,直接计算后验概率 是困难的，可以找到与后验概率对应，而又可以实际计算的当量作为比较的依据。,接收端能得到的只是接收波形 ，接收机的一切行为只能立足于对 的处理,其中 为噪声函数。,都是能量有限的实函数（能量信号），可以在由正交基函数 构成的,N,维线性空间展开,（,1,）最小距离判决准则,24,为均方收敛。,正交基函数满足正交性：,系数 是 在 方向的投影，即 方向的分量,正交展开的意义：,当 时，均方误差（,Mean Square Error,MSE,）,25,因为 是随机过程，代表统计误差的统计平均值（误差的平均功率）,这时，系数集合 就唯一地在均方收敛意义下代表了 这一过程。,26,27,同理有：,是,AWGN,平稳高斯过程，在作正交展开时，积分是线性运算，所以它的各个分量 都是高斯随机变量，且有：,均值,相关函数：,显然有,28,的各个分量（可以看作,0,，,T,内各个取样值）的联合密度函数：,的概率密度函数为,29,*当 已发出时，的统计特征与 的统计特征一致，而不是 与 相同。,定义：,在,MAP,接收机中，就可以用对,M,个,的比较来代替对于,的比较，而且,是容易计算的。于是,MAP,判决准则变换为（假设先验等概）：,30,更简单地，两边取对数（单调函数）,代表了在线性,N,维空间中 与 的欧氏距离,在解析几何中，,2D,平面上两点的距离为：,31,于是，,MAP,准则进一步变换为：,这一判决准则称为,最小距离判决准则,。,及 都是在,0,，,T,内能量有限的实波形，其欧氏距离可按下式计算,是确知波形，是发收端事先约定的，可以预先存储在接收机中，接收机结构如下：,32,例：,4,相,PSK,的判决：只要 落在阴影区内（的判决区域内），一定是最小的（软判决的概念）,33,由上例可以看出：的距离越大，对噪声的容忍度越高，判决的可靠性也越高。但是单纯提高距离要增大发送功率是不可取的。需要,优化星座结构。,以上过程可以在,DSP,中 通过 预先编程来实现，以实现,系统的日益软件化。,34,（,2,）最小均方误差判决准则,再进一步简化接收机的运算和结构。当一个过程 用正交基,表示时,有：,35,在最小距离判决准则表达式中，对 和 都按上式代换，于是有,这一准则称为最小均方误差（,MMSE,）准则。它表示：在均方误差最小的意义下，选取与随机过程（接收信号）在统计意义上最接近（相似）的波形 作为判决输出，也将能使 。,36,（,3,）最大相关判决准则,展开,MMSE,（最小均方误差）表达式，当确知信号 ，是等能量时,MAP,准则的另一种表达形式成为：,这一准则称为,最大相关准则,。积分表示 与 的零相关期间的短时相关函数，它说明 与哪一个 最相关，即统计联系更严密。,37,38,推广到,M,进制信号的最大相关准则接收机：,39,40,