什么是全同粒子.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,全同粒子,本讲介绍多粒子体系的量子力学基本,原理。首描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。,1.,全同粒子的基本介绍,1.1,全同粒子：,静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒,子。例如，电子、质子，中子等。,在经典力学中，粒量子力学中，微观全同粒子,的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空,间，即处于同一数目），而这个概率（或数目）,究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有,不可,区分性，这是微观粒子的基本性质之一。,1.2,全同性原理：,由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系,中，任意两个可观测的物理效应，该论断称,为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。,1.3,哈密顿算符的交换对称性,考虑,N,个全同粒子组成的体系，表示第,i,个粒子的空,间坐标 与自旋变量 ，表示 第,i,个粒子在外场中,的能量，表示,j,粒子的相互作用能量，则体系的,哈密顿算符 写为,（,1,）,任何两个粒子（如第,i,个与第,j,个）相互交换后，显然,是不变的，记为,称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈,密顿算符的这种交换对称性又可记为,（,2,）,（,3,）,1.4,全同粒子波函数的交换对称性,（,1,）对波函数的作用,设,N,个全同粒子体系用波函数,描述，则有,根据全同性原理，之间最多只能相差一个常,数因子 ，即,上式用 再作用一次，相当于 中的交换复原，即,（,4,）,（,5,）,（,6,）,由此得 ，所以交换算符的本征值为,（,2,）波函数的交换对称性,当,+1,时，则 ，表示交换两个粒子后波函数,不变，这时的波函数称为对称波函数，记为 。,当,-1,时，则 ，表示交换两个粒子后波函数,变号，这时的波函函数对于任何两个粒子的交,换，或者是对称的，或者是反,另外，由于 ，可见 是守恒量，即全同粒子体系,波函数的交换对称性不隨时间而变化。,（,7,）,1.5,全同粒子的分类,实验表明，全同粒子体系波函数的交换对称性，与粒,子的自旋有确定的联系。,（,1,）凡是自旋为 整数倍的粒子 所组成的,全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是对称的。例,如，介子 ，,粒子（,S,0,），基态的,He(S,=0),，光,子（,S,1,）。它们在统计物理中遵从玻色,(Bose),爱因斯,坦,(Einstein),统计规律，称为玻色子。,（,2,）凡是自旋为 半奇数倍的粒子 ，所,组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是反对,称的。例如，电子、质子、中子等，,S,1/2,，它们在统计物,理中遵从费米（,Fermi,）,狄拉克,(Dirac),统计规律，称为费,米子。,2,全同粒子体系的波函数,介绍如何由单粒子波函数来组成全同粒子体系的具有交,换对称性的波函数,2.1,两个全同粒子体系的波函数,假设两个全同粒子组成的体系，其中单个粒子的哈密,顿算符为,归一化本征函数为,本征值为 ，则应有,对于全同粒子，在形式上是完全相同的，不考虑,两粒子的相互作用时，两个粒子体系的哈密顿算符为,（,8,）,（,9,）,相应的本征方程,式中的 可以分离成两个单粒子波函数的乘积,（因为不考虑相互作用）,当第一个粒子处于,i,态，第二个粒子处于,j,态时，波函数为,它是满足（,10,）式的解，对应的本征能量,当第一个粒子处于,j,态，第二个粒子处于,i,态时，波函数为,它也是满足（,10,）式的解，具有同样的本征能量,（交换简并）,（,10,）,（,11,）,（,12,）,注意：是否具有交换对称性？,称波函数构成如下,当 时,（,13,）,（,14,）,（,2,）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对,称的，归一化的反对称波函数构成如下,由上式可以看出，当 时，则 ，所以两个费米子,处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能,有两个或两个以上的费米子处于同一状态,（,15,）,2.2 N,个全同粒子体系的波函数,设粒子间相互作用可以忽略，单粒子哈密顿量 不显,含时间，以 和 表示 的第,i,个本征值和本征函数，则,N,个全同粒子体系量为,对应本征值 的本征态,体系的本征方程为,（,16,）,（,17,）,（,18,）,由此可见，在粒子无相互作用的情况下，只要求得单粒,子的本征值和本征函数，多粒子体系的问题就可以迎刃而解,了。,但 并不满足全同粒子体系波函数交换对称,性的要求，还须作变换。,（,1,）对于,N,个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒,子态，则组合中的每一项都是,N,个单粒子态的一种排列，用,来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为 ，,所以玻色子系统的对称波函数是,（,19,）,单粒子态的交换不会产生新的,结果，故所有可能排列的总项数等于下列组合数,所以,N,个玻色子体系的对称波函数为,例一 求三个全同玻色子组成的体系所有可能的状态。,解：设三个单粒子态分别为,（,1,）若三个粒子各处于不同状态 （共,6,项），则,（,2,）三粒子中有两个处于相同态，而另一个处于不同态，,如 则 （共,3,项），有,也可以是 或 等,这样的对称波函数共有六个,（,3,）三粒子都处于相同的单粒子态，如,则,也可以是 或,这样的对称波函数共有三个,（,2,）对于,N,个费米子，若它们分别处于 态，则,反对称的波函数为,式中 规定了求和号下每一项的符号，若把,作为基本排列（第一项），则任一种排列,都是基本排列经过每两个粒子的若干次对换而得到，对于偶,次对换 为正，奇次对换 为负。在 项中，奇偶,次对换各占一半。,（,20,）,3,氦原子,多粒子体系的薛定谔方程只能近似求解，这里我们讨论,氦原子（两个电子）。通过此例，即反映角动量耦合的规,律，又表现全同粒子的特性，同时介绍微扰法在多体问题的,应用。,氦的原子核带电 ，不考虑核的运动，即视为两个全,同粒子的体系。以 和 分别表示两个电子的坐标和,自旋，系统的哈密顿量为,等式右边最后一项表示两个粒子的相互作用能量，中不含,自旋变量,，,即粒子的轨道和自旋是相互独立的,。,（,21,）,氦原子的定态波函数可以写成坐标与自旋分离变量的形式,可见，在不考虑轨道和自旋相互作用的情况下，问题归结,为两电子体系的轨道运动和两电子体系的自旋运动，但由于,电子属于费米子，故 必须是反对称的，这就要求,（,1,）是对称的，是反对称的；或,（,2,）是反对称的，是对称的。,3.1,两个电子的自旋函数,（,1,）从角动量耦合理论考虑。单粒子态只有 和,现在的问题是 ，故耦合后的,总角动量,（,22,）,可见，对应 的耦合态矢有三个：,对应 的耦合态矢有一个：,（,2,）从全同粒子波函数的要求出发。,由于单粒子态只有 ，忽略二个电子自旋之间,相互作用，两个电子的自旋波函数可以取共同本征函数四个：,（,23,）,（,24,）,它们是正交归一完备系，是无耦合表象基矢：,任意二个电子体系波函数都可以用它们展开。是对称自,旋波函数，但 电子自旋函数分别为,（,25,）,证明以上自旋函数都是自旋总角动量平方 与其在 轴,上的投影 的共同本征函数，因,由电子自旋一讲中例一可知,（,26,）,（,27,）,上关系适用于每一个电子，但各自算符只对自身波函数有作用，所以以,即 是 ，的共同本征函数，相应的本征值为,和 （相应的量子数为 ，）,（,28,）,（,29,）,其它同理可得，将结果列表如下,本征函数,本征值 量子数,对称,1,1,自旋,三重态,-1,0,反对称,0,0,0,0,自旋单态,3.2,氦原子的轨道运动,采用微扰法，将两电子间的库仑作用视为微扰，即,（,1,）坐标波函数的零级近似,由（,31,）可见，是两个类氢原子哈密顿量之和，所,以它的本征值是二者能量和，本征函数是两个类氢原子波函,数之积，则,（,30,）,（,31,）,（,32,）,归一化的对称本征函数为,归一化的反对称本征函数为,它们可作为 的本征函数的零级近似。,（,33,）,（,34,）,（,2,）基态能量的一级修正,因为两个电子都处于基态，所以,能量的一级修正为,（,35,）,（,36,）,上式说明，基态能量的一级修正是电荷密度分布为,的电子与电荷密度分布为 的电子相互作用的库仑,能量。这样氦原子基态能量的一级近似为,（,37,）,（,3,）激发态能量的一级修正,平均电荷密度为 的电子与平均电荷密度,为 的电子间的相互作用库仑能,（,38,）,（,39,）,两电子的交换能,最后写出激发态能量的一级近似,它们分别对应零级近似的对称和反对称波函数。尽管,K,和,J,实质上都属于两电子的库仑作用，但交换能没有简单的经,典对应，它完全属于波函数的对称性所导致的一种量子效,应。交换能的大小，主要依赖于两个电子波函数的重叠程,度。,（,40,）,（,41,）,3.3,氦原子的反对称波函数,由（,22,）直接可得,由于 只有一个，故 是独态，这样的氦又称仲氦。,而 有三个态，故 是三重态，这样的氦又称正氦。,例如,氦原子基态的二个电子波函数，忽略二个电子的相互作,用，氦原子基态是,1s1s,组态，基态波函数只有一个,氦原子第一激发态的二个电子波函数 氦原子第一激,发态是,1s2s,组态，第一激发态波函数有四个,是三重态，（,1s2s,）,是单态，（,1s2s,）,