matlab_矩阵代数(2).ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,第三章 矩阵代数,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学实验,A,MATLAB,数学实验,A,矩阵代数,矩阵计算,线性方程组,建模举例：投入产出分析,一 矩阵计算,创建矩阵的方法,直接输入法,规则：,矩阵元素必须用,括住,矩阵元素必须用逗号或空格分隔,在,内矩阵的行与行之间必须用分号分隔,矩阵元素可以是任何,matlab,表达式，可以是实数，也可以是复数，复数可用特殊函数,i,，,j,输入,a=1 2 3;4 5 6,x=2 pi/2;sqrt(3)3+5i,1/30/2026,2,第三章 矩阵代数,注意,：,只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。,变量名尽可能不要重复，否则会覆盖。当一个指令或矩阵太长时，可用三个以上的,续行,逗号和分号的作用：,逗号,和,分号,可作为指令间的,分隔符,，,matlab,允许多条语句在同一行出现。,分号,如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。,1/30/2026,3,第三章 矩阵代数,冒号的作用,用于生成等间隔的向量，默认间隔为,1,。,用于选出矩阵指定行、列及元素。,循环语句,用,matlab,函数创建矩阵,空阵,matlab,允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。,rand,（,m,n,）,返回,mn,随机矩阵,eye(n,),返回,n,阶单位矩阵,zeros(m,n,）,返回,mn,全部元素都为,0,的矩阵,ones(m,n,),返回,mn,全部元素都为,1,的矩阵,1/30/2026,4,第三章 矩阵代数,还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵,(magic),、对角矩阵,diag,、范德蒙,(,vandermode,),等矩阵的创建。,注意：,matlab,严格区分大小写字母,，因此,a,与,A,是两个不同的变量。,matlab,函数名必须小写,。,1/30/2026,5,第三章 矩阵代数,矩阵的修改,直接修改,可用,键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改,。,指令修改,可以用,A(,)=,来修改。,1/30/2026,6,第三章 矩阵代数,例如,a=1 2 0;3 0 5;7 8 9,a=1 2 0,3 0 5,7 8 9,a(3,3)=0,a=1 2 0,3 0 5,7 8 0,可用,find,函数找出矩阵元素编址修改。,I=,find(a,=0);,a(I,)=100,;,a=,1 2 100,3 100 5,7 8 9,注：,I=5;9,1/30/2026,7,第三章 矩阵代数,2,.,矩阵运算,(1),矩阵加、减（,）运算,规则：,相加、减的两矩阵必须有,相同的行和列,两矩阵对应元素相加减。,允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。,1/30/2026,8,第三章 矩阵代数,(2),矩阵乘（,）,运算,规则：,A,矩阵的列数必须等于,B,矩阵的行数,标量可与任何矩阵相乘。,a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;,b=1;2;3;,c=a*b,c=14,32,23,d=-1;0;2;,f=pi*d,f=-3.1416,0,6.2832,1/30/2026,9,第三章 矩阵代数,(3),矩阵乘方,an,ap,pa,a p,a,自乘,p,次幂,方阵,1,的,整数,对于,p,的其它值,计算将涉及特征值,和特征向量，如果,p,是矩阵，,a,是标量,ap,使用特征值和特征向量自乘到,p,次,幂；如,a,p,都是矩阵，,ap,则无意义。,1/30/2026,10,第三章 矩阵代数,a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;,a2,ans=30 36 42,66 81 96,102 126 150,当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。,a0.5,ans=,0.4498+0.7623i 0.5526+0.2068i 0.6555-0.3487i,1.0185+0.0842i 1.2515+0.0228i 1.4844-0.0385i,1.5873-0.5940i 1.9503-0.1611i 2.3134+0.2717i,1/30/2026,11,第三章 矩阵代数,(4),矩阵的其它运算,inv(A,),求矩阵,A,逆,det(A,),求,A,行列式的值,eig(A,),返回矩阵,A,的特征值向量或特征向量列矩阵和特征值对角矩阵,diag(A,),返回矩阵,A,的对角元素向量,diag(x,),返回以向量,x,为对角的对角矩阵,矩阵转置,sqrt(A,),返回矩阵,A,方根,null(A,),返回矩阵,A,行向量正交补，即,Ax,0,的基础解系,1/30/2026,12,第三章 矩阵代数,相似对角化,如果,n,阶方阵,A,有,n,个线性无关的特征向量，则必存在可逆矩阵,P,使得,P,-1,AP=,其中,是,A,的特征值构成的对角矩阵。,P,的列向量是对应的,n,个正交特征向量。（,P,=,eig(A,),）,使用,MATLAB,函数,eig,求得的每个特征向量都是单位向量，并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交化。,1/30/2026,13,第三章 矩阵代数,例,3,用相似变换矩阵,P,将,A,相似对角化，并求,，这里,1.0000 0.4472 0,0 0 0,0 0 1.0000,q,A=1 0 0;1/4 1/2 1/4;0 0 1,；,V,D=,eig(A,),；,则,An,为,inv(V,)*,Dn,*V,，算得 为,q,A=1 0 0;1/4 1/2 1/4;0 0 1,；,V,D=,eig(A,),；,则,An,为,inv(V,)*,Dn,*V,，算得 为,q,A=1 0 0;1/4 1/2 1/4;0 0 1,；,V,D=,eig(A,),；,则,An,为,inv(V,)*,Dn,*V,，算得 为,q,A=1 0 0;1/4 1/2 1/4;0 0 1,；,V,D=,eig(A,),；,则,An,为,inv(V,)*,Dn,*V,，算得 为,1/30/2026,14,第三章 矩阵代数,(5),矩阵的一些特殊操作,矩阵的变维,a=1:12;b=,reshape,(a,3,4),c=zeros(3,4);c(:)=a(:),矩阵的变向,rot90,:,旋转,;,fliplr,:,左右翻,;,flipud,:,上下翻,矩阵的抽取,diag,:,抽取主对角线,;,tril,:,抽取主下三角,;,triu,:,抽取主上三角,矩阵的扩展,由小矩阵以矩阵格式扩展成大矩阵,1/30/2026,15,第三章 矩阵代数,(6),矩阵的,数组,运算,数组运算指元素对元素的算术运算，与通常意义上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同！,数组加减,(.+,.-),a.+b,a.-b,对应元素相加减（与矩阵加减等效）,1/30/2026,16,第三章 矩阵代数,数组乘除,(,，,./,，,.,）,ab,a,，,b,两数组必须有相同的行,和列两数组相应元素相乘。,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;,b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;,a.*b,ans,=,2 8 18,4 15 30,49 72 90,1/30/2026,17,第三章 矩阵代数,数组乘除,(,，,./,，,.,）,ab,a,，,b,两数组必须有相同的行,和列两数组相应元素相乘。,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;,b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;,a.*b,ans=,2 8 18,4 15 30,49 72 90,1/30/2026,18,第三章 矩阵代数,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;,b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;,a*b,ans=,25 37 46,55 85 109,85 133 172,矩阵乘法,1/30/2026,19,第三章 矩阵代数,a./b=b.a,a.b=b./a,a./b=b.a,都是,a,的元素被,b,的对应元素除,a.b=b./a,都是,a,的元素被,b,的对应元素除,a=1 2 3;,b=4 5 6;,c1=a.b;,c2=b./a,c1=4.0000 2.5000 2.0000,c2=4.0000 2.5000 2.0000,1/30/2026,20,第三章 矩阵代数,数组乘方,(.),元素对元素的幂,例,:,a=1 2 3;b=4 5 6;,z=a.2,z=,1.00 4.00 9.00,z=a.b,z=,1.00 32.00 729.00,1/30/2026,21,第三章 矩阵代数,3,.,多项式运算,matlab,语言把多项式表达成一个行向量，,该向量中的元素是按多项式降幂排列的：,f(x)=a,n,x,n,+a,n-1,x,n-1,+,+a,0,p=a,n,a,n-1,a,1,a,0,即用行向量,p=a,n,a,n-1,a,1,a,0,表示,1),矩阵特征多项式,函数,poly(A,),产生矩阵,A,的,特征多项式,系数向量,特征多项式一定是,n+1,维的,特征多项式第一个元素一定是,1,1/30/2026,22,第三章 矩阵代数,例,a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;,p=,poly(a,),p=1.00 -6.00 -72.00 -27.00,P,表示的多项式是,p(x,)=x,3,-6x,2,-72x-27,p1=poly2str(p,x,),将多项式,p,的向量形式转化为函数形式显示,p1=poly2str(p,x,),p1=x3-6 x2-72 x-27,1/30/2026,23,第三章 矩阵代数,例如,a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=,poly(a,),p=,1.00 -6.00 -72.00 -27.00,r=roots(p),r=12.12,-5.73,r,是矩阵,a,的特征值组成的向量,-0.39,2)roots,求多项式的根,注意，,我们可用,poly,命令由多项式的根向量返回多项式形式：,p2=,poly(r,),p2=,1.00 -6.00 -72.00 -27.00,matlab,规定多项式系数向量用,行,向量表示，一组根用,列,向量表示,。,1/30/2026,24,第三章 矩阵代数,3),多项式乘,/,除运算,conv(p,q,),返回多项式,p,与,q,的乘积,例,a(x,)=x,2,+2x+3;b(x)=4x,2,+5x+6;,c=(x,2,+2x+3)(4x,2,+5x+6),a=1 2 3;b=4 5 6;,c=,conv(a,b,)=conv(1 2 3,4 5 6),c=4.00 13.00 28.00 27.00 18.00,p=poly2str(c,x),p=4 x4+13 x3+28 x2+27 x+18,1/30/2026,25,第三章 矩阵代数,d,r=,deconv(c,a,),返回多项式,c,除多项式,a,的商与余,余数,c,除,a,后的整数,a=1 2 3;,c=4.00 13.00 28.00 27.00 18.00,d=,deconv(c,a,),d=4.00 5.00 6.00,1/30/2026,26,第三章 矩阵代数,二 求解代数方程,线性方程组,表示,为,A x=b,1/30/2026,27,第三章 矩阵代数,对于方程,Ax,b,，,A,为,n,m,矩阵，求解时分三种情况：,当,n=m,时，此方程成为,“,恰定,”,方程,当,nm,时，此方程成为,“,超定,”,方程,当,nm,时，此方程成为,“,欠定,”,方程,1/30/2026,28,第三章 矩阵代数,线性方程组的解,若秩,(A),秩,(A,b),，,则无解；,若秩,(A)=,秩,(A,b)=n,存在唯一解；,若秩,(A)=,秩,(A,b)n,存在无穷多解；,通解是齐次线性方程组,Ax=0,的基础解系与,Ax=b,的一个特,解之和。,1/30/2026,29,第三章 矩阵代数,1.,恰定方程组的解,方程,Ax=,b(A,为非奇异,),x=,A,-1,b,Matlab,的两种解法,:,x=,inv(A),b,采用求逆运算解方程,x=Ab,采用左除运算解方程,1/30/2026,30,第三章 矩阵代数,方程,Ax=b,A=1 2;2 3;b=8;13;,x=inv(a)*b,x=Ab,x=x=,2.00,2.00,3.00,3.00,例,x,1,+2x,2,=8,2x,1,+3x,2,=13,=,Ax=b,1/30/2026,31,第三章 矩阵代数,2.,超定方程组的解,方程,Ax=b,mA=1 2 3;2 3 4;b=1;2;,x=Ab x=,pinv(A),b,x=x=,1.00 0.83,0 0.33,0 -0.17,=,A x =b,1/30/2026,35,第三章 矩阵代数,例,2,线性方程组通解,用,rref,化为行最简形以后求解,用除法求出一个特解，再用,null,求得一个齐次组的基础解系,1/30/2026,36,第三章 矩阵代数,A=1-1 1-1 1;-1 1 1-1 1;2-2-1 1-1;,rref(A,),ans=,1 -1 0 0 0,0 0 1 -1 1,0 0 0 0 0,所以该方程组的通解为,x=0,0,1,0+c1*1,1,0,0+c2*0,0,1 1,A=1-1 1-1;-1 1 1-1;2-2-1 1,;,Ab,ans,=,0,0,1,0,1/30/2026,37,第三章 矩阵代数,null(A,),ans,=,0.7071 0.0000,0.7071 0.0000,0.0000 0.7071,0.0000 0.7071,则可给出该方程组的通解为,x=0,0,1,0+c1*0.7071,0.7071,0,0,+c2*0,0,0.7071,0.7071,1/30/2026,38,第三章 矩阵代数,相似对角化,如果,n,阶方阵,A,有,n,个线性无关的特征向量，则必存在可逆矩阵,P,使得,P,-1,AP=,其中,是,A,的特征值构成的对角矩阵。,P,的列向量是对应的,n,个正交特征向量。（,P,=,eig(A,),）,使用,MATLAB,函数,eig,求得的每个特征向量都是单位向量，并且属于同一特征值的线性无关特征向量已正交化。,1/30/2026,39,第三章 矩阵代数,例,3,用相似变换矩阵,P,将,A,相似对角化，并求 ，这里,1/30/2026,40,第三章 矩阵代数,三 建模举例,设有,n,个经济部门，,x,i,为部门,i,的总产出，,c,ij,为部门,j,单位产品对部门,i,产品的消耗，,d,i,为外部对部门,i,的需求，,f,j,为部门,j,新创造的价值。,分配平衡方程组,消耗平衡方程组,i,j,=1,2,n,1/30/2026,41,第三章 矩阵代数,令,C=,（,c,ij,），,X=(,x,1,x,n,),D,=(,d,1,d,n,),，,F=(,f,1,f,n,),则,X=CX+D,令,A=E,C,，,E,为单位矩阵，则,AX=F,C,称为,直接消耗矩阵,A,称为,列昂杰夫（,Leontief,）,矩阵,。,1/30/2026,42,第三章 矩阵代数,Y=1,1,1*B,Y,表示各部门的总投入，称为投入向量。,新创造价值向量,F=X Y,B=C,B,表示各部门间的投入产出关系，称为投入产出矩阵,。,1/30/2026,43,第三章 矩阵代数,例,某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一条铁路，,开采一元钱的煤，煤矿要支付,0.25,元的电费及,0.25,元的运输费,;,生产一元钱的电力，发电厂要支付,0.65,元的煤费，,0.05,元的电费及,0.05,元的运输费,;,创收一元钱的运输费,铁路要支付,0.55,元的煤费和,0.10,元的电费。,在某一周内煤矿接到外地金额,50000,元定货，发电厂接到外地金额,25000,元定货，外界对地方铁路没有需求。,问三个企业间一周内总产值多少才能满足自身及外界需求？三个企业间相互支付多少金额？三个企业各创造多少新价值？,1/30/2026,44,第三章 矩阵代数,解：,这是一个投入产出分析问题。设,x,1,为本周内煤矿总产值，,x,2,为电厂总产值,x,3,为铁路总产值,则,1/30/2026,45,第三章 矩阵代数,直接消耗矩阵,C=,外界需求向量,D=,产出向量,X,=,则原方程为,(E-C)X=D,，,X=(E-C)D,投入产出矩阵为,B=C*,diag(X,),总,投入向量,Y=ones(1,3)*B,新创造价值向量,F=X-Y,1/30/2026,46,第三章 矩阵代数,