第2章 线性系统的可控性与可观测性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,线性系统的可控性与可观测性,可控性,可观测性,线性定常连续系统的可控性判据,输出可控性,线性定常连续系统的可观测性判据,线性离散系统的可控性和可观测性,可控性、可观测性与传递函数(矩阵)的关系(*),线性时变系统的可控性和可观测性（*）,经典控制理论,中用传递函数描述系统输入输出特性，输出量即为被控量，只要系统稳定，输出量便可以受控，且输出量总是可观测得，故不需提出可控及可观测概念。,现代控制理论,用状态空间表达式来描述系统，揭示系统内部的变化规律，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就存在系统内部的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。,可控性 ：,分析输入,u,(t),对,状态,x,(t),的控制能力。,可观测性：,分析输出,y,(t),对状态,x,(t),的,反映能力。,可控性、可观测性概念，是,卡尔曼,于20世纪60年代首先提出的，是用状态空间描述系统而引伸出来的新概念。,可控性、可观测性是研究线性系统控制问题必不可少的重要概念，而且在许多最优控制、最优估计和自适应控制问题中，也常用到这一概念。,引言,可控性、可观测性的物理概念,例,已知某个系统的动态方程如下,将其分别表示为标量方程组和模拟,结构图形式，有,由此可见，状态变量,x,1,、x,2,都通过选择控制量,u,由始点达到原点，因而系统完全可控的。但输出,y,只能反映状态变量,x,2,，,而与,x,1,既无直接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。,例,右图所示桥式电路，选取电感电流,i,L,和电容端电压,u,C,作为状态变量,，,u,为网络输入，输出量,y=,u,c,。,系统中只要有一个状态不可控或不可观测，便称该系统不完全可控或不完全可观测，简称该系统不可控或不可观。,当电桥处于非平衡状态，即,R,1,R,4,R,2,R,3,时，,u,将控制两个状态变量的变化，且可通过选择,u，,使任意初态转移到任意终态，因而是可控的。,由于量测到输出量即,u,c,，,且,u,c,与,i,L,有确定关系，即,uc,含有,i,L,的信息，因而是可观测的。,图 电桥电路,当电桥处于平衡状态，即,R,1,R,4,R,2,R,3,时，,u,只能控制,i,L,的变化，不能控制,u,c,的变化，这时,u,c,0，,从而也不能由输出测量结果确定,i,L,，,因而,u,c,不可控，,i,L,不可观测。,例,下图所示两个网络，,当,R,1,R,2,，C,1,C,2,时，且初始状态,x,1,(t,0,)=x,2,(t,0,)，u,只能使,x,1,(t)x,2,(t)，,而不能将,x,1,(t),与,x,2,(t),分别转移到不同的数值，这表明此电路不完全可控，简称称为电路不可控。,由于,y=x,1,=x,2,，,故可观测。,网络（,a）,网络（,b）,2.1 可控性,考虑线性时变系统的状态方程,其中,x,为,n,维状态向量；,u,为,p,维输入向量；,T,t,为时间定义区间；,A（t）,和,B（t）,分别为,n,n,和,n,p,矩阵。现对状态可控和不可控分别定义如下：,状态可控,对于式(2100)所示线性时变系统，如果对取定初始时刻,t,0,T,t,的一个非零初始状态,x（t,0,）x,0,，,存在一个时刻,t,1,T,t,，t,1,t,0,，,和一个无约束的容许控制,u(t)，tTt,0,t,1,，,使状态由,x（t,0,）x,0,转移到,t,1,时的,x（t,1,）0，,则称,x,0,是在,t,0,时刻可控,的,系统可控,对于式(2100)所示线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在,t,0,(t,0,T,t,),时刻可控的，则称系统在时刻,t,0,是完全可控的,简称,系统在时刻,t,0,可控,。若系统在所有时刻都是可控的，则称,系统一致可控,。,系统不完全可控,对于式(2100)所示线性时变系统，取定初始时刻,t,0,T,t,，,如果状态空间中存在一个或一些非零状态在,t,0,时刻是不可控的，则称系统在时刻,t,0,是不完全可控的，也称为,系统不可控,。,补充说明（对,u,(,t,),的限制）,在上述定义中只要求系统在找到的控制,u,(,t,),的作用下，使,t,0,时刻的非零状态,x,0,在,T,t,上的一段有限时间内转移到状态空间的坐标原点，而对于状态转移轨迹则未加任何限制和规定。所以，可控性是表征系统状态运动的一个定性特性。定义中随控制,u,(,t,),的每个分量的幅值并未加以限制，可为任意大的要求值。但,u,(,t,),必须是容许控制，即,u,(,t,),的每个分量,均为时间区间,T,t,上平方可积，即,此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻,t,0,的选取有关，是相对于,T,t,中的一个取定时刻,t,0,来定义的。而对于线性定常系统，其可控性与初始时刻,t,0,的选取无关。,状态可达与系统可达,对于式(2100)所示线性时变系统，若存在能将状态,x（t,0,）0,转移到,x（,t,f,）,x,f,的控制作用，则称,状态,x,f,是,t,0,时刻可达的,。若,x,f,对所有时刻都是可达的，则称,状态,x,f,为完全可达,。,若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻,t,0,可达的，则称该系统是,t,0,时刻状态完全可达的，简称该,系统是,t,0,时刻可达的,。,注：,线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的；,离散系统、时变系统，严格地说两者是不等价的，有可能系统不完全可控却完全可达。,2.,2 可观测性,可观测性是表征状态可有输出完全反映的性能，所以应同时考虑系统状,态方程和输出方程,其中,A（t），B（t），C（t）,和,D（t）,分别为（,nn），（np），（qn）,和（,qp）,的满足状态方程解的存在唯一性条件的时变矩阵。式（2,101,a）,状态方程的解为,其中,(t,t,0,),为系统的状态转移矩阵。将式(2102)代入式(2-,101,b),输出方程，可得输出响应为,在研究可观测性问题时，输出,y,和输入,u,均假定为,已知,，只有初始状态,x,0,是,未知,的。因此，若定义,则式（2103）可写为,这表明可观测性即是,可取任意值，,所以这又等价于研究,u0,时由,y,来估计,x,0,的可能性，即研究零输入方程,的可观测性。式（2,103,）成为,下面基于式（2,105,）给出系统可观测性的有关定义。,系统完全可观测,对于式（2,105,）所示线性时变系统，如果取定初始时刻,存在一个有限时刻,对于所有,，系统的输出,y（t）,能唯一确定状态向量的初值,x（t,0,），,则称系统在,t,0,t,1,内是完全可观测,的，简称可观测。如果对于一切,t,1,t,0,系统都是可观测的，则称系统在,系统不可观测,对于式（2,105,）所示线性时变系统，如果取定初始时刻,存在一个有限时刻,对于所有,，系统的输出,y（t）,不能唯一确定所有状态的初值,即至少有一个状态的,初值不能被,y（t）,确定，则称系统在时间区间,t,0，,t,1,内是不完全可观测,的，简称不可观测。,2.3 线性定常连续系统的可控性判据,1 格拉姆矩阵判据,其中,x,为,n,维状态向量；,u,为,p,维输入向量；,A,和,B,分别为（,n,n）,和(,n,p),常阵。下面根据,A,和,B,给出系统可控性的常用判据。,线性定常连续系统的状态方程,线性定常连续系统式（2,107,）完全可控的充要条件是，存在时刻,t,1,0，,使如下定义的格拉姆矩阵：,非奇异。,证明,充分性：,已知,w（0，t1）,为非奇异，欲证系统完全可控。,已知,w,非奇异，故,w,1,存在。对于任一非零初始状态,x,0,可选取,u(t),为,则在,u（t）,作用下系统（2,107,）在,t,1,时刻的解为,必要性:,已知系统完全可控，欲证,W（0，t,1,）,为非奇异。,这表明，对任一取定的初始状态,x,0,0，,都存在有限时刻,t,1,0,和控制,u（t），,使状态由,x,0,转移到,t,1,时刻的状态,x（t,1,）0，,于是根据定义可知系统完全可控。充分性得证。,采用反证法。设,W（0，t,1,）,为奇异，则存在某个非零向量,成立，由此可导出,由此又可导出,其中,|,为范数，故其必为正值。于是，欲使式（2,111,）成立，应当有,另一方面，因系统完全可控，根据定义对此非零向量,再利用式（2112），由式（2115）可以得到,显然，此结果与假设,相矛盾，即,W（0，t,1,）,为非奇异得反设不成立。,因此，若系统完全可控，,W（0，t,1,）,必为非奇异。必要性得证。证毕。,可以看出，在应用格拉姆矩阵判据时需计算矩阵指数,e,At,，,在,A,的维数,n,较大时计算,e,At,是困难的。所以,格拉姆矩阵判据主要用于理论分析,。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵,A,和,B,判断可控性的秩判据。由于在推导秩判据时要用到凯莱哈密顿定理，所以下面先介绍凯莱哈密顿定理，然后再给出秩判据。,2 凯莱,-,哈密顿定理,设,n,阶矩阵,A,的特征多项式为,则,A,满足其特征方程，即,式（,2-,118,）称为凯特,-,哈密顿定理。,证明,据逆矩阵定义有,式中,B(,),为(,I-A,),的伴随矩阵，其一般展开式为,B(,),的元素均为,(,n+1),阶多项式，根据矩阵加法规则将其分解为,n,个矩阵之,和，即,B,n,-1,B,n,-2,B,0,为,n,阶矩阵。将式(2-,119),的两端右乘(,I,-A,),将式（2,120,）代入式（2,121,）并展开，有,由方程两端,同幂项系数相等的条件有,将式（2123）的前,n,个等式两端按顺序右乘,A,n,A,n-1,A,将式（2,124,）中各式相加，则,证毕。,证明,故上述推论成立。式中,m,与,A,阵的元素有关。该推论可用以简化矩阵的幂的计算。,推论1,矩阵,A,的,k,（kn,）,次幂，可表示为,A,的（,n-1,）,阶多项式,这是由于,令,推论2,矩阵指数,e,At,可表为,A,的（,n-1,）,阶多项式,则有,故推论,2,成立。式（2,126,）中的,0,(t),1,(t),n-1,(t),均为,t,的幂函数。,同理,对于,不同时刻构成的向量,是线性无关的向量组，其中任一向量都不能表为其它向量的线性组合。,式中,3 秩判据,线性定常连续系统（2,107,）完全可控的充要条件,其中,n,为矩阵,A,的维数，,称为系统的可控性判别阵。,证明,充分性,：已知,rank,S,n，,欲证系统完全可控。,采用反证法。反设系统为不完全可控，则根据格拉姆矩阵判据可知,为奇异，这意味着存在某个非零,n,维向量,使,成立。显然，由此可导出,将式（2,129,）求导直至,n1,次，再在所得结果中令,t0，,得到,式（2130）又可表示为,由于,0，,所以式（2,131,）意味着,S,为行线性相关，即,rank,S,n,这显然和已知,rank,S,=n,相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控。,必要性,：已知系统完全可控，欲证,rank,S,=n.,采用反证法。反设,rank,S,0,有,或,因而有,由于已知,0，,若式（,9135,）成立，则,W（0，t,1,）,必为奇异，系统为不完全可控，与已知结果相矛盾。于是有,rank,S,=n,必要性得证。,秩判据证毕。,例2,17,试用可控性判据判断图2,26,所示桥式电路的可控性。,解,该桥式电路的微分方程为,选取状态变量：,x,1,=i,L,x,2,=,u,c,。,将,i,1,，,i,2,，,i,3,，,i,4,消去，可得状态方程,列出其可控性矩阵,S,3,：,图226,这时状态方程变为,rankS,3,=2=n,系统可控。但当电桥处于,平衡状态即,R,1,R,4,=R,2,R,3,时，,系统不可控，,u,不能控制,x,2,，,x,2,是不可控状态变量。,例2,18,网络如图2,27,所示，试用可控性判据判断其可控性。,解,图2,27,所示网络的微分方程为,消去,i,1,i,4,，,得状态方程为,图227,例,2,19,试用可控性判据判断图,2,25所示网络的可控性,解,图2,25,所示网络的微分方程为,状态方程为,例2,20,解,n,2,，,A,的特征多项式为,据凯莱哈密顿定理，有,例2,21,判断下列状态方程的可控性,解,系统的可控性矩阵,显见,S,矩阵的第二、第三行元素绝对值相同，,rank,S,=23,系统不可控。,4,PBH,秩判据,线性定常连续系统（2,107,）完全可控的充要条件是，对矩阵,A,的所有特征值,i,(i=1,2,3,n),均成立，或等价地表示为,证明,必要性,：已知系统完全可控，欲证式（2,136,）成立。,采用反证法。反设对某个,为线性相关，因而必存在一个非零常数向量,，,使,成立。考虑到问题的一般性，由式（2,138,）可导出,即(,sI,-A),和,B,是左互质的。,由于这一判据由波波夫和贝尔维奇(,Belevitch,),首先提出并由豪塔斯(,Hautus,),最先指出其广泛应用性，故称为,PBH,秩判据。,进而可得,于是有,因已知,0，,所以欲使式（2,140,）成立，必有,这意味着系统不可控，显然与已知条件相矛盾，因而反设不成立，而式(2-136)成立。考虑到,sI,-A B,为多项式矩阵，且对复数域,C,上除,i,(i=1,2,3,n),以外的所有,s,均有,det(,sI,-A)0，,所以式（2136）等价于式（2137）。必要性得证。,充分性,：已知式（2,136,）成立，欲证系统完全可控。,采用反证法。利用与上述相反的思路，即可证明充分性。至此，,PBH,秩判据证毕。,例,2,22,已知线性定常系统的状态方程为,试判断系统的可控性。,解,根据状态方程可写出,考虑到,A,的特征值为,所以只需对它们来检验,上述矩阵的秩。通过计算可知，,计算结果表明，充分必要条件（2,136,）成立，故系统完全可控。,5,PBH,特征向量判据,线性定常连续系统（2,107,）完全可控的充分必要条件是，,A,不能有与,B,的所有列相正交的非零左特征向量。即对,A,的任一特征值,i,，,使同时满足,证明,必要性,：已知系统完全可控，设存在一个向量,0，,使,式（2-141）成立，则有,从而得到,这意味着,rank,S,n,即系统不完全可控。,这与已知条件相矛盾，因而反设不成立。必要性得证。,充分性,：也用反证法，利用与上述相反的思路来进行，具体过程略。证毕。,PBH,特征向量判据主要用于理论分析，特别是,线性系统的复频域分析,中。,的特征向量,0。,6 约当规范型判据,线性定常连续系统（2,107,）完全可控的充要条件分两种情况：,矩阵,A,的特征值,i,(i=1,2,3,n),是两两相异的。由线性变换可将式(2-107)变为对角规范型,则系统（2,107,）完全可控的充分必要条件是，在式（2,142,）中，,不包含元素全为零的行。,证明,可用秩判据予以证明，推证过程略。,矩阵,A,的特征值为,由线性变换可将式（2,107,）化为约当规范型,其中,（2,144,）,（,2,145,）,（,2,146,）,续,（,2,147,）,的最后一行所组成的矩阵,证明,可用,PBH,秩判据予以证明，此处略去推证过程。,例2,23,已知线性定常系统的对角线规范型为,（9148,）,试判定系统的可控性。,解 由于此规范型中,不包含元素全为零的行，故系统完全可控。,例224,给定线性定常系统的约当规范型如下，试判定系统的可控性。,解,由于,2.4 输出,可控,性,1 输出可控性定义,2 输出可控性判据,若在有限时间间隔内,t,0,，t,1,内，存在无约束的分段连续控制函数,u(t),，,tt,0,，t,1,，,能使任意初始输出,y(t,0,),转移到任意,最终输出,y(t,1,),则称该系统输出可控。,设系统动态方程为,其状态方程的解为,其输出为,可不失一般性地假定,y(t,1,)=0，,于是有,令,则,记,S,0,称为输出可控性矩阵，它是,q(n+1)p,矩阵。与状态可控性研究相,似,输出可控的充分必要条件是：矩阵,S,0,的秩为输出变量的数目,q,，,即,rank,S,0,=,q,(2-155),注意：状态可控性与输出可控性是两个概念，其间没有必然的联系,例225,判断下列系统的状态可控性、输出可控性,解,状态可控性矩阵,S,为,detS,3,=0，rank S 0，,使如下定义的格拉姆矩阵：,为非奇异。,证明,充分性,：已知,M（0，t,1,）,非奇异，欲证系统为完全可观测。由式(2-156)可得,已知,M（0，t,1,）,非奇异，即,M,-1,（0，t,1,）,存在，故由式（2159）得,这表明，在,M（0，t,1,）,非奇异条件下，总可以根据,0,t,1,上的输出,y（t）,唯一地确定非零初始状态,x,0,。,因此，系统为完全可观测。充分性得证。,必要性,：系统完全可观测，欲证,M（0，t,1,）,非奇异。,采用反证法。反设,M（0，t1）,奇异，假设存在某一非零初始状态,成立，这意味着,这与已知矛盾，故必要性得证。证毕。,2 秩判据,线性定常连续系统（2,156,）完全可观测的充要条件是,或,式,(2-,161),和式(2-,162),中的矩阵均为系统可观测性判别阵，简称,可观测性阵。,证明,证明方法与可控性秩判据相似，略。,以下从式(2-,158),出发，进一步论证秩判据的充要条件。,由式(2158)，利用,e,At,的级数展开式,，及凯莱-哈密顿定理,推论2,可得,式中,I,q,为,q,阶单位阵。已知,0,(t),I,q,1,(t),I,q,n-1,(t),I,q,的,nq,列线性无关，于是根据测得的,y(t),可唯一确定,x,0,的充要条件是,例,226,判断下列系统的可观测性,解,故系统不可观测。,故系统可观测。,3,PBH,秩判据,线性定常连续系统(2156)完全可观测的充要条件是，对矩阵,A,的所有特征值,1,2,n,，,均有,或等价地表示为,即(,sI,A),和,C,是右互质的,4,PBH,特征向量判据,线性定常连续系统(2156)完全可观测的充要条件是，,A,没有与,C,的所有行相正交的非零右特征向量。即对,A,的任一特征值,1,2,n,使同时满足,的特征向量,0,。,5 约当规范型判据,线性定常连续系统(2156)完全可观测的充要条件分两种情况：,矩阵,A,的特征值,1,2,n,是两两相异的。由线性变换可将式(2-156)变为对角规范型,矩阵,A,的特征值为,由线性变换可将式（2,156,）化为约当规范型,式中,不包含元素为零的列。,其中,的第一列所组成的矩阵,对,i,=1,2,l,均为列线性无关,例2,27,已知线性定常系统的对角线规范型为,试判定系统的可观测性。,解,显然，此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统为完全可观测。,例228,已知系统的约当规范型为,解,根据判断法则可定出下列矩阵,它们都是列线性无关的，并且,131,的元素不全为零，故系统为完全可观测。,2.6 线性离散系统的可控性和可观测性,1 线性离散系统的可控性和可达性,由于线性定常系统只是线性时变系统的一种特殊情况，和前面一样，在讨论线性离散系统时，利用时变离散系统给出相关定义。,设线性时变离散时间系统的状态方程为,其中,T,k,为离散时间定义区间。如果对初始时刻,l,T,k,和状态空间中的所有,非零状态,x(,l,),都存在时刻,m,T,k,m,l，,和对应的控制,u(k)，,使得,x(,m,)=0，,则称系统在时刻,l,为完全可控。对应地，如果对初始时刻,l,T,k,和初始状态,x(,l,)=0,存在时刻,l,T,k,m,l,和相应的控制,u(k)，,使,x(,m,),可为状态,空间中的任意非零点，则称系统在时刻,l,为完全可达。,线性定常离散时间系统,的可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵,G,为非奇异。,如果离散时间系统（2,173,）或（2,174,）是相应连续时间系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性是等价的。,证明,略。,时变或定常离散系统,的,可控性和可达性等价的条件,：,线性离散时间系统（2,173,）的可控性和可达性为等价的充要条件是，系统矩阵,G,(,k,),对所有,k,l,m-,1,为非奇异；,线性定常离散系统的可控性判据,设单输入线性定常离散系统的状态方程为,其中，,x,为,n,维状态向量；,u,为标量输入。状态方程（2,175,）的解为,根据可控性定义，假定,k,=,n,时,x,(,n,)=0，,则,将上式两端左乘,G,-,n,，,则有,称 为可控性矩阵，该阵为（）矩阵。,由于满秩矩阵与另一满秩矩阵,G,n,相乘，其秩不变，故,交换矩阵的列，且记为,S,1,，,其秩也不变，故有,式（2-,177,）是一个非奇次线性方程组，含,n,个方程，有,n,个未知数,u(0),u(n-1)。,根据线性方程组解的存在定理，在,x(0),为任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：,矩阵 满秩，即,或行列式不为零,或矩阵是非奇异的。,由于式,(,2-,182),避免了矩阵求逆，在判断可控性时，使用式(2-,182),较方便。,记,式(2-179)至式(2-182)都称为可控性判据，,S,1,，,S,1,都称为单输入离散,系统的可控性矩阵。显见，状态可控性取决于,G,和,h,。,当,rank,S,1,n,时，系统不可控，表示不存在能使任意,x,(0),转移到,x,(,n,),的控制。,以上研究假定了终态为,x,(,n,)=0，,若令终态为任意给定状态,x,(,n,)，,则式(2-176)变为,将式（2,183,）两端左乘,G,-n,，,有,当,G,满秩时，该式左端不过是任一给定的另一状态，其状态可控性条件可用以上推导方法得出完全相同的结论。,若令,x(0)=0，,上述结论同样成立。可见，,当,G,为非奇异时，系统的可控性和可达性是等价的,。,上述研究单输入离散系统可控性方法可推广到多输入系统。设系统的状态方程为,所谓,可控性问题,即,是能否求出无约束控制序列,u,(0),u,(1),u,(n-1)，,使系统能从任意初态,x,(0),转移到,x,(,n,)=0。,式（2185）的解为,令,k,=,n,，,x,(,n,)=0，,且方程两端左乘,G,-n,有,记,为(,n,np,),矩阵，由子列向量,u,(0),u,(1),u,(n-1),构成的控制列向量是,np,维的。式（2187）含,n,个方程，但有,np,个待求的控制量。由于初态,x,(0),可任意给定，根据解存在定理，矩阵,S,2,的秩为,n,时，方程组才有解。,于是多输入线性定常离散系统状态可控的充要条件是,或,或,或,或,式,(2-,189),至式(2-,193),都是多输入离散系统的可控性判据。通常使用式(2-,191),或式(2-,192),较为方便。,由于式（2-187）中方程个数少于未知量的个数，方程组的解不唯一，可以任意假定（,np,-n）,个控制量，其余,n,个控制量才能唯一确定。多输入系统控制序列的选择，通常是具有无穷多种方式的。,还可看出，,S,2,的行数总少于列数。在列写,S,2,时，若能知道,S,2,的秩为,n，,便不必把,S,2,的其余的列都写出来。由于,S,2,满秩时其,S,2,T,必满秩，,n,阶方阵,detS,2,S,2,T,也必满秩，这时计算一次,n,阶行列式,detS,2,S,2,T,便可确定可控性了，这比可能需要多次计算,S,2,的,n,阶行列式要简单一些。,多输入线性定常离散系统使,任意初态转移到原点一般可少于,n,个采样周期,。,例229,设单输入线性定常离散系统状态方程为,设单输入线性定常离散系统状态方程为,试判断可控性；若初始状态,x,(0),=,2 1 0,T,确定使,x,(3)=0,的控制序列,u,(0),u,(1),u,(2),；,研究使,x,(2)=0,的可能性。,解,由题意知,故该系统可控。,可按式（,2,177,）求出,u,(0),u,(1),u,(2),。,求逆运算比较麻烦，尝试,用递推法。令,k,0,，,1,，,2,可得状态序列,令,x,(3)=0,，,得下列方程组,其系数矩阵即可控性矩阵,S,1,，,是非奇异的，因此,若要使,x,(2)=0,，,即解下列方程组,上式中，系数矩阵的秩为,2,，但增广矩阵,的秩为,3,，,两个秩不等，方程组无解，意味着不能在二个采样周期内使系统从定初始状态转移至原点。若该两个秩相等，则可用两步完成转移。,例230,双输入线性定常离散系统的状态方程如下，试判断其可控性，并研究使,x,(1)=0,的可能性。,解,显见由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故该系统可控，一定能求得控制使任意初态在三步内转移到原点。,由,x,(1)=,Gx,(0)+,Hu,(0)=0,可得,设初始状态为,x,(0)=-1 0 2,T,可求得,u,1,(0)=1,，,u,2,(0)=0,，,在一步之内使系统由该初态转移到原点。,设初始状态为,x,(0)=2 -3,T,时，亦然，但,u,1,(0)=0,，,u,2,(0)=1,。,本例不能使系统由任意初态在一步内转移到原点。,2 线性离散系统的可观测性,若对初始时刻,任一非零初始状态,都存在有限时刻,且可由,l,m,上的输出,y(,k,),唯一确定,x,0,。,则称系统在时刻,l,是完全可观测的。,线性定常离散系统的可观测性判据,设线性定常离散系统的动态方程为,其中,x(k),为,n,维状态向量，,y(k),为,q,维输出向量，其解为,设离散系统为,研究可观测性问题时，,u,(,k,),G,H,C,D,均为已知，故可不失一般性地将动态方程简化为,对应的解为,将,y（k）,写成展开式,其向量矩阵形式为,令,称,V,1,T,为线性定常离散系统可观测矩阵，它是,(,nq,n,),矩阵。式(2-,201),含有,nq,个方程，若其中有,n,个独立方程，便可确定唯一的一组,x,1,(0),x,2,(0),x,n,(0)。,当独立方程个数多于,n,时，解会出现矛盾；当独立方程个数少于,n,时，便有无穷解。故可观测的充要条件为：,由于,rank,V,1,T,=,V,1,，,故离散系统可观测性判据常表示为,例231,判断下列线性定常离散系统的可观测性，并讨论可观测性的物理解释。其中输出矩阵取了两种情况。,解,当输出矩阵为,C,1,时，,计算可观测性矩阵,V,1,故系统可观测。由输出方程,y,(,k,),C,1,x,(k)=,x,2,(,k,),可见，在第,k,步便可由输出确定状态变量,x,2,(,k,),。,由于,故在第（,k,1,）,步便可确定,x,3,(,k,),。,由于,故在第（,k,2,）,步便可确定,x,1,（,k,）。,该系统为三阶系统，可观测意味着至多以三步便能由,y,(,k,),y,(,k,+1),y,(,k,+2),的输出测量值来确定三个状态变量。,当输出矩阵为,C,2,时,故系统不可观测。,由系统动态方程,可导出,可看出三步的输出测量值中始终不含,x,2,（,k,），,故,x,2,（,k,）,是不可观测状,态变量。只要,有一个状态变量不可观测,，,称系统不完全可观测,，简称不可观测。,一个可控的或可观测的连续系统，当其离散化后并不一定能保持其可控性或可观测性。现举例来说明。,设连续系统状态方程为,由于系统的状态方程为可控标准型，故一定可控。根据可观测性判据有,故系统可观测。,系统的状态转移矩阵为,3 连续动态方程离散化后的可控性和可观测性,已知,G,(,T,)=,(,T,),系统离散化状态方程为,离散化系统的可控性矩阵为,离散化系统的可观测性矩阵为,当采样周期,T,=,k,/,(,k,=1,2,),时，可控性矩阵,S,1,和可观测性矩阵,V,1,均出现零行，,rank,S,1,=1,n,，rank,V,1,=1,n,，,系统不可控也不可观测。,结论：,对于可控或可观测的连续系统，若采样周期选择不当，对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测，也有可能既不可控又不可观测。,若连续系统不可控或不可观测，不管采样周期,T,如何选择，离散化后的系统一定是不可控或不可观测的。,2.7 可控性、可观测性与传递函数（矩阵）的关系,可控性、可观测性与传递函数都是系统特性的描述，但系统的可控性、可观测性质不同时，其对应的传递函数（矩阵）将具有的怎样的特点，给定了传递函数时又怎样确定系统的可控、可观测性质，需要揭示其间的关系。以下研究结果将提供一种新的可控性、可观测性判据，并指明传递函数描述的局限性。,1,SISO,系统,系统动态方程,A,阵具有相异特征值,1,2,n,时,，通过线性变换可使,A,对角化为,利用,A,阵对角化的可控、可观测性判据可知：,当,r,i,=0,时，,x,i,不可控；,当,f,i,=0,时，,x,i,不可观测。,传递函数,G,(,s),所具有的相应特点,由于,其中,乃是输入至状态向量之间的传递矩阵，这可由状态方程,两端取拉氏变换（令初始条件为零即,x,(,0),0,）,来导出。,故,当,时，,不可控，则,矩阵一定会出现零、极点,对消现象。比如，,式(222,2),中,C,(,s,I,A,),-1,乃是初始状态至输出向量之间的传递矩阵，这可由下列动态方程经过拉氏变换来导出。,这里假定,u,0,，,对于可观测性问题的研究，这是不失一般性的。于是有,当,f,1,=0,时，,x,1,不可观测，则,C,(,s,I,A,),-1,矩阵也一定出现零、极点对消现象。比如，,当,r,i,=0,及,f,i,=0,时，系统不可控、不可观测；,当,r,i,0,及,f,i,0,时，系统可控、可观测。,A,阵约当化的情况,对于,A,阵约当化的情况，经类似推导可得出相同结论，与特征值是否分布在一个约当块内无关。,SISO,系统可控、可观测的充要条件是,由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数不可约）,。,系统可控的充要条件是,(,s,I,A,),-1,b,不存在零极点对消，系统可观测的充要条件是,C,(,s,I,A,),-1,不存在零极点对消。,以上判据不适用于,MIMO、MISO、SIMO,系统。,传递函数描述与状态空间描述,由不可约传递函数列出的动态方程必是可控、可观测的，不能反映系统中不可控、不可观测的特性。由动态方程导出可约传递函数时，表明系统或是可控不可观测，或是可观测不可控，或是不可控不可观测，三者必居其一。由可约传递函数列写动态方程时，也有上述类型。,传递函数可约时，传递函数分母阶次将低于特征方程的阶次。若对消的是系统的一个不稳定特征值，便可能掩盖了系统固有的不稳定性而误认为系统稳定。,通常说用传递函数描述系统特性不完全，就是指它,可能掩盖系统的不可控性、不可观测性及不稳定性,。,只有当系统是可控又可观测的条件下，传递函数描述与状态空间描述才是等价的。,例236,已知下列动态方程，试研究其可控性、可观测性与传递函数的关系,解,三个系统的传递函数,均为,显见存在零极点对消,A,、,b,为可控标准形，故可控不可观测。,A,、,c,为可观测标准形，故可观测不可控。,由,A,阵对角化时的可控可观测判据可知，系统不可控、不可观测。,例237,设二阶系统结构如图所示，试用状态空间及传递函数描述判断系统的可控性与可观测性，并说明传递函数描述的不完全性。,解,由结构图列写系统微分方程,整理成向量矩阵形式,由状态可控性矩阵,S,3,及可观测性矩阵,V,2,有,由传递矩阵,2,MIMO,系统,多输入多输出系统传递矩阵存在零极点对消时，系统并非一定是不可控或不可观测的，需要利用传递矩阵中的行或列的线性相关性来判断。,传递矩阵,G,(s),的元素是,s,的多项式，设,G,(s),以下面列向量组来表示,若存在不全为零的实常数,使下式,成立，则称函数,是线性相关的。若只有当,全为零时，式（222,6,）才成立，则称函数,是线性无,关的。,多输入多输出系统可控性判据,定理,多输入系统可控的的充要条件是：(,s,I,A,),-1,B,的,n,行线性无关,证明,已知,(,s,I,A,),-1,B,是输入向量至状态向量间的传递矩阵，由于,考虑,B,是常数矩阵，于是有,将左端展开,式中,I,p,为,p,阶单位矩阵，是为写成矩阵形式而引入的。,其中,是（,np,p,）,矩阵，其中的行与列均线性无关。当（,n,np,）,可控性矩阵,B,AB,A,n-1,B,的,n,行线性无关时，其,e,At,B,及其,L,e,At,B,必行线性无关，故多输入系统可控性的充要条件是：,(,sI,-,A,),-1,B,的,n,行线性无关,。,多输入多输出系统可观测性判据,定理,多输出系统可观测的充要条件是：,C,(,s,I,A,),-1,的,n,列线性无关。,证明,已知,C,(,s,I,A,),-1,是初始状态向量至输出向量间的传递矩阵，考虑,C,是常数矩阵，于是有,将左端展开,式中,I,q,为,q,阶单位矩阵，是为写成矩阵形式而引入的。,其中,是（,q,nq,）,矩阵，其中的行与列均线性无关。当（,nq,n,）,可观测性矩阵的,n,列线性无关时，其,Ce,At,及其,L,Ce,At,必列线性无关，故多输出系统可观测的充要条件是：,C,(,sI,-,A,),-1,的,n,列,线性无关,总结,运用以上判据判断多输入多输出系统的可控性、可观测性时，只需查对应传递矩阵的行或列的线性无关性，至于对应传递矩阵中是否出现零极点对消是无妨的。,以上判据可适用于单输入单输出系统，不过，线性无关时必不存在零极点对消；线性相关时必存在零极点对消。也就是说，它们是一致的，但行（列）线性相关性的判据更具一般性。,从证明过程可以看出，还可以用,e,At,B,的,n,行线性无关性来判断系统的可控性，用,Ce,At,的,n,列线性无关来判断系统的可观测性。,例2,3,8,试用传递矩阵判据判断下列双输入双输出系统的可控,性、可,观测性。,解,故,若存在不全为零的实常数,a,1,，,a,2,，,a,3,能使下列向量方程,成立，则称三个行向量线性相关；,若只有当,a,1,=,a,2,=,a,3,=0,时上式才成立，则称行向量线性无关。运算时可先令上式成立，可分别列出,解得,据同幂项系数对应相等的条件有,故只有,a,1,=,a,2,=,a,3,=0,时才能满足上述向量方程，于是可断定(,sI,-,A,),-1,B,的三行线性无关，系统可控,。,由,令,可分别列出,解得,故,C,(,sI,-,A,),-1,的三列线性无关，系统可观测。,显见，这时与传递矩阵出现零极点对消无关。,例239,试用传递矩阵判据判断下列,SISO,系统的可控性、可观测性,解,故,令,分别得出,解得,a,2,=,a,3,=0，,a,1,可为任意值。于是能求得不全为零的,(,a,1,a,2,a,3,),使上述方程满足，故(,sI,-,A,),-1,b,的,三行线性相关，系统不可控。,对于,SISO,系统，(,sI,-,A,),-1,b,存在零极点对消，同样可得不可控的结论。由于,令,可分别为,解得,可见存在不全为零的,(,a,1,a,2,a,3,),满足上述代数方程，故,C,(,sI,-,A,),-1,的,三列线性相关，系统不可观测。,2.8 线性时变系统的可控性、可观测性,前言,时变系统动态方程中的,A,(t),、,B,(t),、,C,(t),的元素含有时间函数，这时，定常系统中按常数矩阵,A,、,B,、,C,构成的可控性、可观测性判据不再适用。,1,格兰姆,(,Gramian,),矩阵及其在时变系统中的应用,2 时变系统的可控性,3 时变系统的可观测性,4 可控性判据小结,本节主要内容：,5 可观测性判据小结,1 格兰姆(,Gramian,),矩阵及其在时变系统中的应用,设（,m,n,）,矩阵,F,，,记为列向量组有,其转置矩阵,则格兰姆矩阵,G,定义为,式中元素(,f,i,f,j,)=,f,i,T,f,j,i,