线性代数居余马第3章 线性方程组.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第3章 线性方程组,3.1,n,维向量及其线性相关性,3.1,n,维向量及其线性相关性,如果,a,i,(,i,=1,2,n,),是,实,(复)数叫做,实,(复)向量。,行向量是,1,n,矩阵,记作(,a,1,a,2,a,n,),；,列向量是,n,1,矩阵,记作(,a,1,a,2,a,n,),T,。,如果,n,个分量全为零，叫做,零,向量，用,0,表示。,全体,n,元实向量组成的集合记作,R,n,。,常用,等表示,n,元向量。,1,n,元向量的概念,定义3.1,由,n,个数,a,1,a,2,a,n,组成的有序数组称为,n,元向量,记作(,a,1,a,2,a,n,)，,其中,a,i,称为第,i,个分量。,2,向量的线性运算,(2),与,之和:,+,=(,a,1,+b,1,a,2,+b,2,a,n,+b,n,),。,k,=1,时，,=(,a,1,a,2,a,n,),=,+,(,),加法满足4条运算律：,(1),+,=,+,；,(2)(,+,)+,=,+(,+,)；,有,+,0,n,=,；,有,(,),使,+,(,),=,0,n,。,定义3.2,设,=(,a,1,a,2,a,n,),F,n,=(,b,1,b,2,b,n,),F,n,F,。,(3)数,与,之乘积,:,=(,a,1,a,2,a,n,)，,简称数乘。,向量的加法与数量乘法统称为向量的线性运算，其运算规律与矩阵的相同,(1),=,当且仅当,a,i,=b,i，,i=,1,2,n,。,F,为数域,=,1,1,+,2,2,+,m,m,F,n,F,有：,1,=,；,数乘满足4条运算律：,其他:,(1),有 0,=,0,n,;,k,0,n,=,0,n,。,(,)=(,),；,(,+,)=,+,；,(2)若,k,=,0,n,，,则,=,0,n,或,k,=0,。,(3),向量方程,+,x,=,有唯一解:,x=,定义3.3,数域,F,上的全体,n,元向量，在其中定义了上述的加法和数乘运算,称为,数域,F,上的,n,维向量空间，记作,F,n,(,R,n,为实空间)。,称为向量,1,2,m,的线性组合，或,可用,1,2,m,线性表示。,矩阵,A,=,1,2,m,，x,=,1,2,n,T,。,定义3.4,设,i,F,n,i,F,(,i,=1,2,m,),则向量,=,1,1,+,2,2,+,m,m,(1),(1),式可表示为：,A x=,，,此时,，,1,2,m,为列向量，,(,+,),=,+,。,例如，在,R,3,中，任一向量,=(,a,1,a,2,a,3,),可由基本向量,e,1,=(1,0,0),e,2,=(0,1,0),e,3,=(0,0,1),线性表示为,=,a,1,e,1,+a,2,e,2,+a,3,e,3,在,R,3,中，如果三个向量,1,2,3,共面,，,则至少有一个向量可以由另两个向量线性表示，如图，,即存在不全为 0 的,k,1,，,k,2,，,k,3,使,k,1,1,+k,2,2,+,k,3,3,=,0,如果三个向量,1,2,3,不,共面,，,则任意一个向量都不能由其余两个向量线性表示，如,1,=,a,1,e,1,，,2,=,a,2,e,2,，,3,=,a,3,e,3,3,=,k,1,1,+k,2,2,2,3,1,k,2,2,k,1,1,定义3.5,设,1,2,m,R,n,如果存在不全为零的,1,2,m,R,使,成立，则称,1,2,m,线性相关，否则，线性无关。,“否则,”是指：不线性相关就是线性无关，,“仅当,1,2,m,全为零时，才使,(*),式成立”。这等价于“如果(*)式成立，则,1,2,m,必须全为零,”。,1,1,+,2,2,+,m,m,=,0 （*）,1,1,+,2,2,+,m,m,=,0,定理3.1,向量组,1,2,m,(,m,2),线性相关的充要条,件是,1,2,m,中至少有一个向量可由其余向量线性表示。,证,必要性：设,1,2,m,线性相关，则存在不全为零的数,1,2,m,使得,不妨设,1,0,于是,1,=,1,1,2,2,1,1,m,m,3向量的线性相关性,其中,1,j,1,1,j+,1,m,不全为零，充分性得证。,例1,R,n,中的,e,1,e,2,e,n,是线性无关的。,其中,e,i,=(0,0,1,0,0),是第,i,个分量为 1(,i,=1,2,n,）,其余分量全为零的向量。,解：因为，由,1,e,1,+,2,e,2,+,m,e,m,=,0,即 (,1,2,n,)=(0,0,0),必有,1,=,2,=,n,=0.,定理3.1 的等价命题,：,1,2,m,(,m,2),线性无关的,充要条件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示。,充分性：,若,1,2,m,中的一个向量可由其余向量线性表示，如,j,=,1,1,+,j,1,j,1,+,j+,1,j+,1,+,m,m,则,1,1,+,j,1,1,j,+,j+,1,j+,1,+,m,m,=,0,注意,:(1),单个向量,线性相关的充分必要条件是：,为零向量,因为,0,使,=0,成立的充要条件是,=,0,；,(2)两个非零向量,，,线性相关的充分必要条件是：,，,成比例,即存在,k,或,l,。,(3),R,3,中三个向量,，,，,线性相 关的充分必要条件是,，,，,共面,例2,含零向量的任何向量组,0,1,2,m,都线性相关。因为,1,0+0,1,+0,2,+0,n,=,0,从而有不全为零的,1,2,k,0,0,使,例如，,1,=(1,2,1),T,2,=(,2,4,2),T,3,=(1,1,3),T,。因为,1,2,线性相关（成比例），所以，,1,2,3,线性相关。,例3 的等价命题是：,线性无关向量组的任一子集（任一部分向量）都线性无关。,总之：向量组部分线性相关，则整体线性相关；,整体线性无关，则任一部分都线性无关。,例3,如果向量组,1,2,m,中有一部分向量线性相关，,则 整个向量组也线性相关。,证：,不妨设,1,2,k,线性相关,于是有不全为零的,1,2,k,使,1,1,+,2,2,+,k,k,=,0,成立，,1,1,+,2,2,+,k,k,+,0,k+,1,+,0,k+,2,+,+0,m,=,0,成立，所以,1,2,m,线性相关。,则,1,2,s,线性相关的充要条件是,s,元线性齐次方程组,Ax,=,0,有非零解,其中,定理3.2,设,1,2,s,F,n,其中,1,=(,a,11,a,21,a,n,1,),T,2,=(a,12,a,22,a,n,2,),T,s,=(a,1,s,a,2,s,a,ns,),T,此定理的等价命题是：,1,2,s,线性无关的充要条件是,Ax,=,0,只有零解。,因为,s,个未知量,n,个方程的齐次线性方程组必有非零解，,即,sn,时,A,n,s,x,=,0,必有非零解,。,定理3.3,若向量组,1,2,r,线性无关,而向量组,1,2,r,线性相关,则,可由,1,2,r,线性表示，且表示法唯一。,证：,由于向量组,1,2,r,线性相关，所以存在不全,为零的数,1,2,r,使得,+,1,1,+,2,2,+,r,r,=,0,其中,必不等于零(如果,=0,则由,1,2,，,r,线性无关,又得,1,2,r,全为零，与题设矛盾),于是,=,1,1,1,1,2,2,1,r,r,则,可由,1,2,r,线性表示。,推论,.任意,s,个,n,维向量，当,sn,时都线性相关。,故,n,+1,个,n,维向量必线性相关。,于是，(,b,1,c,1,),1,+,(,b,2,c,2,),2,+,(,b,r,c,r,),r,=,0,则,R,n,中任一个向量,可由,1,2,n,线性表示，,且表示法 唯一。,这是因为,R,n,中任何,n+,1,个向量都线性相关。故,1,2,n,线性相关，由,定理3.3，,向量,可由,1,2,n,线性表示，且表示法 唯一。,再证,表示法唯一,。设有两种表示法：,=,b,1,1,+,b,2,2,+,b,r,r,=,c,1,1,+c,2,2,+,c,r,r,而,1,2,r,线性无关，所以,b,i,=,c,i,(i=,1,2,r),故,由,1,2,r,表示是唯一的。,推论,如果,1,2,n,是,R,n,中线性无关的,n,个向量,例4,(1),a,取何值时，,1,=(1,3,6,2),T,2,=(2,1,2,1),T,3,=(1,1,a,2),T,线性无关？,解,(1),设,x,1,1,x,2,2,x,3,3,0(*),(2),a=,2,时，,3,可否由,1,2,线性表示？若可以，求表示式。,解,(2),设,3,x,1,1,x,2,2,(*),得,x,2,=4/5,x,1,=,3/5,所以，,例5 若,问：,解,是否线性无关？,思考：,由定理3.2,，,若向量组,1,2,r,线性无关,对每一个,i,各增加,m,个分量得到的向量组,1,2,r,也线性无关。其逆否命题是什么？,3.2 向量组的秩及其极大线性无关组,定义3.6,向量组,1,2,s,中存在,r,个线性无关的向量：,i,1,i,2,ir,且任意一个向量均可由它们线性表示,则称向量组的秩为,r,，,记,作,秩,1,2,s,r,或,r,1,2,s,r,并称,i,1,i,2,ir,是一个,极大线性无关组。,注意：一个向量组的秩是唯一确定的，但它的极大线性,无关组不是唯一的。例如,1,(1,0);,2,(0,1);,3,(1,2);,4,(2,1),秩,1,2,3,4,2,其中任意两个,i,j,(,i,j,=1,2,3,4,且,i,j,),都线性无关，都是,1,2,3,4,的一个,极大线性无关组。,定义3.7,若向量组,1,2,k,中每个向量均可由向量组,1,2,s,线性表示，则称,1,2,k,可由向量组,1,2,s,线性表示。如果它们可以互相线性表示，则称它们,等价,，记作,1,2,s,1,2,k,定理3.4,设向量,1,2,s,可由另一向量组,1,2,r,线性表示。如果,s,r,则,1,2,s,线性相关。,在,R,3,中的,几何背景是,：如果,1,2,线性无关,1,2,3,可由,1,2,线性表示，则,1,2,3,都位于,1,2,所确定的平面上,故,1,2,3,线性相关。,证:设,j,=1,s,再设,x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,s,s,=,0,(交换和号顺序),推论,(1),(,定理2.5的等价命题),:,若,1,2,s,线性无关,则,s,r,。,故,1,2,s,线性相关。,令,中,i,(,i,=1,2,n,),的系数全为零,即,（,i,=1,r,）（*）,此式是关于,x,1,x,2,x,s,的齐次线性方程组，由于,r s,（,方程个数 未知数个数,),必有非零解，从而有不全为零的,x,1,x,2,x,s,使,(*),式成立，即有,不全为零的,x,1,x,2,x,s,使,x,1,1,+,x,2,2,+,+,x,s,s,=,0,推论,(2),若,秩,1,2,s,r,则,1,2,s,中任意,r,+1,个向量都是线性相关的。,因为任意,r,+1,个向量都可经线性无关的,r,个向量线性表示。,若,秩,1,2,s,r,则,1,2,s,中任意,r,个线性,无关的向量都是,1,2,s,的一个极大线性无关组。,推论,(3),若向量组,1,2,k,可由向量组,1,2,s,线性表示，则,秩,1,2,k,秩,1,2,s,证 设,1,2,r,和,1,2,p,分别是,1,2,k,和,1,2,s,的一个极大线性无关组，则,1,2,p,线性表示，由推论(1)得,r,p,。,1,2,r,可经,1,2,k,线性表示。,已知,1,2,k,可由,1,2,s,线性表示，,又,1,2,s,可经其极大线性,无关组,1,2,p,线性表示。因此，,1,2,r,可经,推论(4)的逆命题不成立,。例如，,1,(1,0，0);,2,(0,1,0);,3,(0,0,1),秩,1,2,=,秩,1,3,2,但,1,2,和,1,3,不是等价向量组。,除掌握秩和极大线性无关组的定义外，还要掌握秩和极大线性无关组的求法，以及向量组中的一个向量如何用极大线性无关组线性表示。,这在下一节中讲。,推论,(4),若向量组,1,2,k,1,2,s,，,则,秩,1,2,k,秩,1,2,s,3.3 矩阵的秩 相抵标准形,A,的,n,个列(,m,个行)向量组成的向量组的秩称为,A,的列秩(行秩,)。,在阶梯形矩阵中，非零行的行数=,A,的行秩=,A,的列秩。,方程,x,1,1,+,x,2,2,+,x,3,3,=,0,易得只有零解,，,三个行向量,1,2,3,线性无关，,A,的行秩=3。,方程,y,1,1,+y,3,3,+y,4,4,=,0,也只有零解,，,三个列向量,1,3,4,线性无关，且任意4个列向量线性相关。所以,A,的列秩=3。,定义3.8,矩阵,A,=(,a,ij,),m,n,的每一列(行)称为,A,的一个列(行)向量。,A,的列秩,n,；,A,的行秩,m,1.,矩阵的行秩,=,列秩,=,矩阵的秩,(3)将,A,的第,i,行乘常数,c,加到第,j,行得到,B,，,则,B,的行向量组,1,j,m,为,j,=,c,i,+,j,;,k,=,k,(,k,j,),。,相应地,也有,j,=,j,c,i,;,k,=,k,(,k,j,),。,因此,A,与,B,的行向量组可以,互相线性表示（等价）。所以,A,与,B,的行秩相等。,定理3.5,初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩。,证,：只需证明,作一次倍乘，倍加和,对换,行变换，,A,的行秩不变。,设,m,n,矩阵,A,的,m,个行向量为,1,2,m,。,将,A,的第,i,j,行对换得到,B,则,B,与,A,的行向量组相同（只,是排列顺序不同），故,A,B,的行秩相等。,将,A,的第,i,行乘非零常数,c,得到,B,则,B,的行向量组为,1,i,-1,c,i,i+,1,m,，,它,与,A,的行向量组等价,。,因此,A,与,B,的行秩相等。,所以，初等行变换不改变矩阵的行秩。同理，初等列变换不改变矩阵的列秩。,这个定理给出了求,向量组,的秩,及其极大线性无关组,的一个简单而有效的方法。,定理3.6,对矩阵,A,作初等行变换化为,B,则,A,与,B,的任何对应的列向量组有相同的线性相关性。即,则向量组,i,1,i,2,r,i,与,i,1,i,2,ir,（,1,i,1,i,2,i,r,s),有相同的线性相关性。,证：,对,A,做行变换化为,B,，,即,B,=,P,k,P,2,P,1,A,其中,P,k,P,2,P,1,为若干初等矩阵的乘积，记,P=,P,k,P,2,P,1,(,P,可逆)，则,PA,=,B,或,P,j,=,j,j=,1,2,s,记,A,1,=,i,1,i,2,ir,B,1,=,i,1,i,2,ir,则,齐次线性方程组,A,1,x,=,0,与,B,1,x,=,0,(,即,PA,1,x,=,0,）,为同解方程组。,所以，,A,1,与,B,1,的列向量组,有相同的线性相关性。,推论,：对,矩阵,A,做初等行变换，不改变,A,的,列,秩。,例1,求向量组,1,2,5,的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示。其中,1,=(1,1,0,0),2,=(,1,2,1,1),3,=(0,1,1,1),，,4,=(,1,3,2,1),5,=(,2,6,4,1)(,i,为行向量,),解,：对,A,=,1,T,2,T,3,T,4,T,5,T,(,将,i,竖排)作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵,U,，,即,记阶梯形矩阵,U,=,1,2,3,4,5,。,U,中每个非零行第一个非零元所在的第1,2,4列,线性无关，所以，,1,2,4,是,U,的一个极大线性无关组，从而，,1,T,2,T,4,T,是,A,的列向量组的一个极大线性无关组。即,1,2,4,是,1,，,2,，,3,，,4,，,5,的一个极大线性无关组。,(1)设,x,1,1,+,x,2,2,=,3,，,此非齐次方程组的增广矩阵为,1,，,2,，,3,，用高斯消元法（初等行变换）化为,U,中的,前三列，其同解方程组为,x,1,x,2,0,x,2,1，,解得：,x,1,x,2,=1。,所以,，,3,1,+,2,。,(2)设,x,1,1,+,x,2,2,+,x,4,4,=,5,，,同理，方程组的增广矩阵经初等行变换化为,U,中的第1，2，4，5列,得同解方程组,3,5,可以用,1,2,4,线性表示，做法如下：,3,5,用,1,2,4,线性表示的另一个做法如下：,设,x,1,1,T,+,x,2,2,T,+,x,3,3,T,+,x,4,4,T,+,x,5,5,T,=,0,此齐次方程组的系数矩阵,A,用初等行变换化为,U,，,对,U,再做行变换,得,U,1,。,其同解方程组为,由定理3.5 和定理3.6的推论,得,定理3.7,初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。,定理3.8,矩阵,A,的行秩=,A,的列秩。,证,：对,A,做初等行变换，将其化为阶梯形矩阵,U,，,则,A,的行秩=,U,的行秩=,U,的列秩=,A,的列秩,定义3.8,A,的行秩=,A,的列秩,统称为,A,的秩，记作秩(,A,)，,或,r(,A,).,对,n,阶矩阵,A,，,r(,A,)=,n,时称为满秩矩阵。,定理3.9,n,阶矩阵,A,，,r(,A,)=,n,的充要条件是,A,为非奇异矩阵（即,A,0,）。,证,：若,r(,A,)=,n,，,则,对,A,做初等行变换，将其化为阶梯,形矩阵,U,，,则,U,有,n,个非零行，可以继续化为单位矩阵,I,即,存在可逆矩阵,P,使得,PA=I,。,所以，,P,A,=,P,A,=1,故,A,0。,若,A,0,，则,A,x,=,0,只有零解,x,=,A,1,0,=,0,A,的,n,个列向量线性无关，故,r,(,A,)=,n,。,矩阵,A,若存在,r,阶非零子式且所有,r,+1,阶子式都等于零，则矩阵,A,的非零子式的最高阶数为,r,（,因为由行列式的展开可知更高阶的子式也都等于零），,并称,r,为,A,的行列式的秩。,定义3.9,矩阵,A,=(,a,ij,),m,n,的任意,k,行,(,i,1,i,2,i,k,行)和任意,k,列(,j,1,j,2,j,k,列)的交点上的,k,2,个元素排成的行列式,称为矩阵,A,的一个,k,阶子式(,k,阶子式)。,等于零的,k,阶子式,称为,k,阶零 子式,否则叫做非零子式。,当,j,t,=i,t,(t,=1,2,k,),时，称为,A,的,k,阶,主,子式。,2.,矩阵的行列式的秩,=,矩阵的秩,定理3.10,秩(,A,)=,r,的充要条件是,A,的非零子式的最高阶数为,r,。,证,必要性,。,设秩(,A,)=,r,不妨设,A,的前,r,行线性无关。记,充分性,。不妨设,A,的左上角,r,阶子式,|,A,r,|,0,，,则,A,r,可逆,A,r,的,r,个行向量线性无关,添分量成为,A,1,的行向量组也线性无关。而,A,中任何,r,+1,行线性相关（否则，由必要性的证明可知,A,中存在,r,+1,阶非零子式）,。,A,的任意,r,+1,个行向量线性相关，所以,A,的任意,r,+1,阶子式都等于零(*)。由(*)和(*)得,A,的行列式的秩为,r,.,A,1,=,A,r,B,其中,A,r,是,r,阶方阵,r(,A,1,)=,r,。,不妨再设,A,1,的前,r,列向量线性无关,即,r(,A,r,)=,r,故,|,A,r,|,0,.,即 存在一个,r,阶子式不等零（*），,故 矩阵,A,的行秩=秩(,A,)=,r,。,3.,矩阵的秩的性质,(1)对任意的,A,m,n,，,都有:秩(,A,)min,m,n,和,秩(,A,T,)=,秩(,A,),。,秩(,A,+,B,),秩(,A,)+,秩(,B,),。,证,：,设,A,m,n,=,1,2,n,B,m,n,=,1,2,n,秩(,A,)=,p,秩(,B,)=,q,，,1,n,和,1,n,的极大线性无关组,分别为,1,p,和,1,q,，则,A,+,B,=,1,+,1,2,+,2,n,+,n,A,+,B,的列向量组可以由向量组,1,2,n,1,n,线性,表示。所以，,r(,A,+,B,),r(,1,2,n,1,n,),p+q,。,(3),秩(,AB,),min,秩(,A,),秩(,B,),。,证,：设,A,，,B,分别是,m,n,和,n,s,矩阵，,A,依列分块有,(4),设,A,为,m,n,矩阵，,P,和,Q,分别是,m,和,n,阶,可逆,矩阵,则,秩(,A,)=,秩(,P,A,)=,秩(,A,Q,)=,秩(,P,A,Q,),证,:秩(,PA,),秩,(,A,),由,P,1,(,PA,)=,A,，,得:秩(,A,),秩,(,PA,),所以 秩(,PA,)=,秩(,A,);,同理可证明其他情形。,或利用:可逆矩阵可表示为若干初等阵的乘积，初等阵左(右)乘,A,是对,A,作初等行(列)变换，初等变换不改变矩阵的秩。,AB,的列向量组可以由,A,的列向量组,1,n,线性表示。,所以，,r(,AB,)=,AB,的列秩,A,的列秩=,r,(,A,),类似地，对,B,依行分块，可以证明,r(,AB,),r(,B,),。或利用,r(,AB,)=r(,AB,),T,),=r,(,B,T,A,T,),r,(,B,T,)=,r,(,B,),例2,设,A,为,m,n,矩阵，且,mn,，,证明：,|,A,T,A,|=0,。,证：,由于秩(,A,T,A,),秩,(,A,),min,m,n,=m,n,),秩(,A,)=,n.,证明：存在,n,m,矩阵,B,使,BA=I,n,.,证,：,A,是,m,n,矩阵，秩(,A,)=,n,则存在,m,阶可逆矩阵,P,和,n,阶可逆矩阵,Q,使得,则,其中,0,1,是(,mn,),n,零矩阵,;,0,2,是,n,(,mn,),零矩阵。,故存在,n,m,矩阵,B=CP,使,BA=I,n,。,解:,若,a,=1,则,A,的各行成比例，,r(,A,)=1。,所以，排除,a,=1,。,例4,.设,n,阶矩阵,(,n,3),若矩阵,A,的秩为,n,或,n,1,，,则,a,必为_。,(1)若,k,=,1+(,n,1,),a,0,即,第一列乘,再将各行减去第一行，得到,可知,a,1,且,时,，,r(,A,)=,n,。,利用初等变换不改变矩阵的秩，将,A,的各列加到第一列。,(2)若,所以，,r(,A,)=,n,1,。,即,k,=,1+(,n,1,),a,=,0,。,A,的各列加到第,1,列。,再将第2，,，,n,行各行都减去第1行,再将第2，,n,行各行都乘,加到第,1,行，将第,1,行化为全零行,例5,.设,已知,r(,A,)=2,求,t,。,解,：,利用初等变换不改变矩阵的秩，将,A,化为,B,。,B,中第2，3行成比例,3.4,齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构,1.齐次线性方程组有非零解的充要条件,以,A,m,n,为系数矩阵的,齐次线性方程组,Ax,=,0,当,A,按列分块为,A,=(,1,2,n,),列向量,x,=,x,1,x,2,x,n,T,时，,方程组表示为向量方程：,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,=,0,。,定理,3.12,齐次线性方程组,Ax,=,0,有非零解的充要条件是,r(,A,)=r(,1,2,n,),n,，或,1,2,n,线性相关。,当,r(,A,)=,r,时，对,A,做初等行变换，可化为行阶梯形矩阵,Ax,=,0,与,Ux,=,0,为同解,方程组,有非零解的充要条件,:,rn,。,推论1：,A,为,m,n,矩阵,A,x,=,0,只,有零解的充要条件,:,r=n,。,推论2：,A,为,n,阶矩阵时,A,x,=,0,有非零解的充要条件,:,A,=0,。,证,：设,B,=(,b,1,b,2,b,n,)，,AB=,0,即,A,(,b,1,b,2,b,n,)=(,A,b,1,A,b,2,A,b,n,)=(,0,0,0,),。,例1,设,A,是,n,阶,矩阵，证明：存在,n,s,矩阵,B,0,使得,AB=,0,的充要条件是,:,A,=,0,。,A,b,i,=,0（,i,=1,2,n,),意味着,B,的每一列都是,A,x,=,0,的解。,由,B,0，,即,A,x,=,0,有非零解。所以，,A,=0。,反之，若,A,=0,，,A,x,=,0,有非零解。取非零解为,B,的,s,个,列向量。则,B,0,且,AB,=0,。,2.齐次线性方程组解的结构,定理,3.13,齐次线性方程组,A,x,=,0,的任意两个解,x,1,，x,2,的,线性组合,k,1,x,1,+,k,2,x,2,(,k,1,k,2,为任意,常数),也是它的解。,证：因为,A,(,k,1,x,1,+,k,2,x,2,),=k,1,A,x,1,+,k,2,Ax,2,=k,1,0,+,k,2,0,=,0,。,定义3.13,设,x,1,x,2,x,p,是,A,x,=,0,的解向量，且,A,x,=,0,的,任意一个解向量都可由,x,1,x,2,x,p,线性表示，则称,x,1,x,2,x,p,为,A,x,=,0,的一个基础解系。,基础解系的任意线性组合也都是,A,x,=,0,的解，称,证,：,对,A,作初等行,变换，化为行简,化阶梯形矩阵，,不妨设为,U,，,3.求,A,x,=0,的基础解系的常用方法,定理3.14,设,A,是,m,n,矩阵，,r(,A,)=,rn,则,齐次线性方程组,A,x,=,0,与,U,x,=,0,为,同解,方程组。,x,=,k,1,x,1,+k,2,x,2,+,+,k,p,x,p,(其中,k,1,k,2,k,p,为任意常数）为,A,x,=,0,的一般解（通解）,A,x,=,0,存在,基础解系，且基础解系包含,n,r,个解向量。,Ux,=,0，,即,选,x,r+1,x,r,+2,x,n,为自由未知量，对它们取下列,n,r,组值,(1,0,0),(0,1,0),，(0,0,1),再分别代入,(*)，,即可得到,Ax,=,0,的,n,r,个解：,x,1,=(,c,1,r+,1,c,2,r+,1,c,r,r+,1,1,0,0),T,x,2,=(,c,1,r+,2,c,2,r+,2,c,r,r,+2,0,1,0),T,x,n-r,=(,c,1,n,c,2,n,，,c,r,n,0,0,1),T,这,n,r,个解显然是线性无关的（增加分量不改无关性,），,(*),再证,A,x,=,0,的任意一个解向量都可由,x,1,x,2,x,n-r,线性表示。,且,x,*=k,1,x,1,+,k,2,x,2,+,+,k,n-r,x,n-r,也是,Ax,=,0,的解。,A,x,=,0,的任意一个解向量,x,，可取,自由未知量,x,r,+1,x,r,+2,x,n,和任意常数,k,1,k,2,k,n-r,代入(*,),得,x=,（,d,1,d,2,d,r,k,1,k,2,k,n-,r,),T,所以,x,1,x,2,x,n-r,是齐次线性方程组,A,x,=,0,的基础解系。,x-x*,也是,A,x,=,0,的解。,x,x*,=（,d,1,d,2,d,r,k,1,k,2,k,n-r,),T,(,k,1,x,1,+,k,2,x,2,+,+,k,n-r,x,n-r,),是自由未知量,x,r,+1,x,r,+2,x,n,全部取0时的解，此时由,(*)得,x,1,=,=,x,r,=0，,即,d,1,*,=,d,2,*,=,=,d,r,*,=0，,所以，,x,x*,=,0，,即,x=x,*=k,1,x,1,+,k,2,x,2,+,+,k,n-r,x,n-r,可由,x,1,x,2,x,n-,r,线性表示。,=（,d,1,d,2,d,r,k,1,k,2,k,n-r,),T,k,1,(,c,1,r,+1,c,2,r,+1,c,r,r,+1,1,0,0),T,k,2,(,c,1,r,+2,c,2,r,+2,c,r,r,+2,0,1,0),T,k,n-r,(,c,1,n,c,2,n,，,c,r,n,0,0,1),T,=,(d,1,*,d,2,*,d,r,*,0,0,0,),T,A,x,=,0,的基础解系不是唯一的，但基础解系所含向量的个数一,定是,n,r,。,任意一个基础解系的线性组合都是,A,x,=,0,的通解。,例2,求方程组,A,x,=,O,的基础解系和一般解。其中,A,x,=,0,的一般解为：,x,=,k,1,x,1,+,k,2,x,2,，,即,x,=,k,1,(,3,1,0,0,0),T,+,k,2,(7,0,2,0,1),T,解,对,A,做初等行变换，将,A,化为行简化阶梯形矩阵,U,。,选,x,1,x,3,x,4,为主元，,x,2,x,5,为自由未知量，,取,x,2,=0,x,5,=1，,得,x,2,=(7,0,2,0,1),T,x,1,，x,2,为,A,x,=,0,一个基础解系。,取,x,2,=1,x,5,=0,得,x,1,=(,3,1,0,0,0),T,。,r,(,A,)=3,n,-,r,=2,（k,1,，k,2,为,任意常数）,r(,B,),秩,1,2,s,n,r(,A,),即,r(,A,),+,r(,B,),n,证,：记,B,=(,1,2,s,),（,i,为,B,的第,i,列向量）。,例3,若,A,m,n,B,n,s,=,0,则,r(,A,),+,r(,B,),n,。,由,AB,=,0,，,得,A,i,=,0,(i=,1,s,),即,1,2,s,都是,Ax,=,0,的解，,又,Ax,=,0,的基础解系含,n,r(,A,),个解，,即,Ax,=,0,的任意一组解,中至多包含,n,r(,A,),个线性无关的解，,所以,，,设(,A,T,A,),x,=,0,(,x,R,n,)，,则,x,T,(,A,T,A,),x,=,0,，,即 (,Ax,),T,Ax,=,0,。,令,Ax,=,(,b,1,b,2,b,m,),R,m,（,实向量,），,则,(,Ax,),T,Ax,=,b,1,2,+b,2,2,+,+,b,m,2,=,0,，,故必有,b,1,=b,2,=,=,b,m,=0，,*例4,设,A,是,m,n,实矩阵，证明：,r(,A,T,A,),=,r(,A,),。,证：,由秩的性质知,r,(,A,T,A,),r(,A,),，,只需证明,r,(,A,T,A,),r(,A,),。,只要证明：,A,T,Ax,=,0,的解集合包含于,Ax,=,0,的解集合,。,即,Ax,=,0,。,因此，,A,T,Ax,=,0,的解必满足方程,Ax,=,0,，,所以，,n,r,(,A,T,A,),n,r(,A,),即,r,(,A,T,A,),r(,A,),。,例5,.设,r(,B,m,3,)=2,(,m,3),问：,（,1,）,a,b,满足什么条件时，将确保,r(,AB,)=2;,（,2,）,A,B,满足什么条件时，,r(,AB,)=1,。,解：(,1),当,|,A,|=,ab,10,时，,A,满秩（可逆）,r(,AB,)=r(,B,)=2。,(2)当,|,A,|=,ab,1=0,时，,A,不,可逆,r(,A,)=2(,因,A,中有两列不成比例)。,由,r(,B,m,3,)=2，,不妨设,B,=,（,x,1,x,2,x,3,）。,若,AB,=,（,Ax,1,Ax,2,Ax,3,）,=,（,0,0,）,其中,0,，,则,r(,AB,)=1,。,即,x,1,x,2,是,A,x,=,0,的解，而,x,3,不,是,A,x,=,0,的解。,由,r,(,A,)=2,知：,x,1,x,2,成比例,(基础解系仅含一个解向量）。,但,x,3,x,2,不成比例,（否则,x,3,也是,A,x,=,0,的解，矛盾）。此时，,r,(,B,)=,r,x,1,x,2,x,3,=2,所以，,当,A,B,满足：,ab,=1,，,B,的列向量中有两列,是,A,x,=,0,的解且 另一列不,是,A,x,=,0,的解时，,r,(,AB,)=1,。,3.5,非,齐次线性方程组有解的条件及解的结构,设,A,=(,1,2,n,),则,Ax,=,b,等价于向量方程,x,1,1,+,x,2,2,+,x,n,n,=,b,Ax,=,b,有解，即,b,可经,A,的列向量线性表示。,所以，,秩,(,1,2,n,，b,)=,秩,(,1,2,n,),定理3.15,对于非齐次线性方程组,A,x,=,b,，,下列命题等价:,(1),A,x,=,b,有解(或相容,);,(2),b,可由,A,的列向量组线性表示;,(3),r,(,A,b,)=,r,(,A,),即增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。,即,r(,A,b,)=r(,A,),Ax,=,b,与,Cx,=,d,为同解方程组，,Ax,=,b,有解,d,r,+1,=0,又,r(,C,d,)=r(,A,b,)；r(,C,)=,r,(,A,)，,所以，,Ax,=,b,有解,r,(,A,b,)=,r,(,A,),r(,C,d,),=,r(,C,),推论：,Ax,=,b,有唯一解,r(,A,b,)=r(,A,)=,n,(,A,的列数)。,因,b,由,A,的列向量组线性表示，且表示法唯一的的充要条件是,A,的列向量组,1,2,n,线性无关，即秩,1,2,n,=,n,。,证,：,A,(,x,1,x,2,)=,A,x,1,A,x,2,=,b,b,=,0,。,定理3.16,若,x,1,x,2,是,A x,=,b,的解，则,x,1,x,2,是对应的,齐次线性方程组,A x,=,0,的解。,可以表示为,x*,x,0,=,k,1,x,1,+k,2,x,2,+,+,k,p,x,p,。,因此,x*,=,x,0,+(,x*,x,0,),可以表示为,x,=,x,0,+,x,的形式，,即是,A,x,=,b,的一般解。,定理3.16,若,A,x,=,b,有解，则其一般解为,x,=,x,0,+,x,其中,x,0,是,A,x,=,b,的一个特解（某一个解）；,x,=,k,1,x,1,+,k,2,x,2,+,+,k,p,x,p,是,A,x,=,0,（,称为,A,x,=,b,的导出组）的一般解。,证：,由,A,(,x,0,+,x,)=,A,x,0,+,A,x,=,b,所以，,x,0,+,x,是,A,x,=,b,的解，,设,x*,是,A,x,=,b,的任意一个解，则,x*,x,0,是,A,x,=,0,的解。,取,x,2,=,x,4,=,x,5,=0,代入,Ux,=,d,，,求得,Ax,=,b,的一个特解,x,0,=(1/3,0,1/3,0,0),T,取自由未知量,x,2,x,4,x,5,的三组数,(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),并依次代入,Ux,=,0,，,得,Ax,=,0,的基础解系：,x,1,=(,1,1,0,0,0),T,x,2,=(1/3,0,2/3,1,0),T,也可取为,x,2,*,=(1,0,2,3,0),T,x,3,=(,2/3,0,1/3,0,1),T,也可取为,x,3,*,=(,2,0,1,0,3),T,例1,设非齐次线性方程组,Ax,=,b,的增广矩阵为,试求,Ax,=,b,的一般解。,解,x,=,x,0,+,k,1,x,1,+k,2,x,2,*,+k,3,x,3,*,=(1/3,0,1/3,0,0),T,+,k,1,(,1,1,0,0,0),T,+,k,2,(1,0,2,3,0),T,+,k,3,(,2,0,1,0,3),T,(,k,1,k,2,k,3,为任意常数)为,A,x,=,b,的一般解。,解法1,用初等行变换将增广矩阵化为阶梯阵。,例2,设线性方程组,就参数,a,b，,讨论方程组的解的情况，有解时并求出解。,(2)当,a,=1,且14,b,+2,ab,=12,b,=0，,即,b,=1/2,时，有无穷多解,(1)当（,a,1),b,0,时，有唯一解,(4),当,a,1,b,=0,时，,D,=0,r(,A,)=2,r(,A,b,)=3,无解。,(3)当,a,=1,b,1/2,时，14,b,+2,ab,0,方程组无解。,(4)当,b,=0,时，14,b,+2,ab,=1,0,时,方程组无解。,（原方程组中后两个方程是矛盾方程）,于是